高三数学-第六篇-第四节课时精练-理-北师大版.doc

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一、选择题
1．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是(　　)
A.　　　 B.
C．1 D.
【解析】　圆心为(1,0)，直线方程为x－3y＝0，
∴圆心到直线的距离d＝＝.
【答案】　A
2．以点(2，－1)为圆心，与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
【解析】　由题意知圆的半径r＝＝3，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
【答案】　C
3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　)
A．这些圆的圆心都在直线y＝x上
B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上
C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上
D．这些圆的圆心不在同一条直线上
【解析】　圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，
∴圆心坐标为(－a，－a)，
故圆心都在直线y＝x上．
【答案】　A
4．(2008年山东高考)已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积
为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．40
【解析】　由x2＋y2－6x－8y＝0，
得(x－3)2＋(y－4)2＝25，
圆心为(3,4)，半径为5.
又点(3,5)在圆内，则最长弦|AC|＝10，
最短的弦|BD|＝2·＝2＝4，
∴S四边形ABCD＝×10×4＝20.
【答案】　B
5．(2009年西南师大附中模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA、PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)
A．3 B.
C．2 D．2
【解析】　圆C方程为x2＋(y－1)2＝1，
圆心C(0,1)，半径为1，∴|PC|2＝|PA|2＋1.
又S四边形PACB＝2××|PA|×1＝|PA|，
∴当|PA|最小时，面积最小，而此时|PC|最小．
又|PC|最小为C到直线kx＋y＋4＝0的距离d＝，
∴面积最小为2时，有22＝()2－1，
解得k＝2.
【答案】　D
二、填空题
6．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．
【解析】　圆的方程变为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，
∴其圆心为(－1,2)，且5－a＞0，即a＜5.
又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，
∴2＝－2＋b，∴b＝4.∴a－b＝a－4＜1.
【答案】　(－∞，1)
7．定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合{(x，y)|＜r}⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：
①{(x，y)|x2＋y2＝1}；
②{(x，y)|x＋y＋2＞0}；
③{(x，y)||x＋y|≤6}；
④{(x，y)|0＜x2＋(y－)2＜1}．
其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)
【解析】　集合{(x，y)|＜r}表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，
由开集的定义知，集合A应该无边界，
故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．

【答案】　②④
8．圆x2＋y2－2axsin α－2bycos α－a2cos2α＝0在x轴上截得的弦长为________．
【解析】　在圆的方程中令y＝0得
x2－2axsin α－a2cos2α＝0，
设圆与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，
则x1＋x2＝2asin α，x1x2＝－a2cos2a，
∴|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝2|a|.
【答案】　2|a|
三、解答题
9．已知圆C方程为(x－m)2＋(y＋m－4)2＝2.
(1)求圆心C的轨迹方程．
(2)当|OC|最小时，求圆C的一般方程(O为坐标原点)．
【解析】　(1)设C(x，y)则，
消去m得y＝4－x，
∴圆心C的轨迹方程为x＋y－4＝0.
(2)当|OC|最小时，OC与直线x＋y－4＝0垂直，
∴直线OC的方程为x－y＝0，
解，得x＝y＝2.
即|OC|最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m＝2.
圆的方程是(x－2)2＋(y－2)2＝2.
其一般方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0.
10．(2009年南通模拟)已知以点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
【解析】　(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0，
由于圆心C(t，)，
∴D＝－2t，E＝－，
令y＝0得x＝0或x＝－D＝2t，
∴A(2t,0)，
令x＝0得y＝0或y＝－E＝，
∴B(0，)，
∴S△OAB＝|OA|·|OB|＝·|2t|·||
＝4(定值)．
(2)∵OM＝ON，
∴O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C，
∴kOC＝，
∴＝，解得t＝2或t＝－2，
而当t＝－2时，直线与圆C不相交，
∴t＝2，
∴D＝－4，E＝－2，
∴圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0.

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