高三数学-泰州市2016届高三上学期第一次模拟考试数学试题.doc

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合，集合，则 【答案】【解析】试题分析：，则考点：集合运算2.如图，在复平面内，点对应的复数为，若（为虚数单位），则 （第2题）【答案】【解析】试题分析：，考点：复数运算3.在平面直角坐标系中，双曲线的实轴长为 【答案】【解析】试题分析：由双曲线方程得，则实轴长为考点：双曲线性质4.某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么 【答案】200【解析】试题分析：男学生占全校总人数，那么考点：分层抽样（第5题）5.执行如图所示的伪代码，当输入的值分别为时，最后输出的的值为 【答案】5【解析】试题分析：第一次循环，第二次循环，考点：伪代码6.甲乙两人下棋，若甲获胜的的概率为，甲乙下成和棋的概率为，则乙不输棋的概率为 【答案】【解析】试题分析：“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”，P（乙不输棋）=1-P（甲获胜）=考点：概率7.已知直线与圆相交于两点，若，则 【答案】【解析】试题分析：圆心，半径为1，圆心到直线距离，而，得，解得考点：直线与圆位置关系8.若命题“存在”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由题意得 ，解得考点：命题真假9.如图，长方体中，为的中点，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则的值为 （第9题）【答案】【解析】试题分析：设长方体长宽高分别为，考点：棱锥体积10.已知公差为的等差数列及公比为的等比数列满足，则的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：，则的取值范围是考点：等差数列与等比数列综合11.设是上的奇函数，当时，记，则数列的前项和为 【答案】【解析】试题分析： 考点：奇函数性质12.在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 【答案】考点：直线与圆位置关系13.若正实数满足，则的最大值为 【答案】【解析】试题分析：令，则，因此，当时，因此的最大值为考点：判别式法求最值14.已知函数（其中为常数，），若实数满足：，则的值为 【答案】考点：三角函数图像与性质二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在中，角的对边分别为，向量（1）若，求证：；（2）若,，求的值【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）因为，所以由正弦定理得，得证（2）由，又得，从而试题解析：证明：（1）因为，所以，所以. 7分（2）因为，所以，即，因为，所以，又，所以，则，12分所以. 14分考点：正弦定理，向量平行与垂直16.如图，在三棱锥中，点，分别为， 的中点（1）求证：直线平面；（2）求证：【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行，一般从平面几何中进行寻找，如三角形中位线性质，本题点，分别为，的中点，故再应用线面平行判定定理即可（2）线线垂直证明，一般利用线面垂直的判定及性质定理，经多次转化进行论证：先从平面几何中找垂直，为的中点，再利用线面垂直判定定理进行转化，由已知条件及，转化到平面，再转化到，因此得到平面，即试题解析：证明（1）点，分别为，的中点，又平面，平面，直线平面 6分（），又，在平面内，平面， 8分平面，为的中点，在平面内，平面， 12分平面， 14分考点：线面平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理17.一个玩具盘由一个直径为米的半圆和一个矩形构成，米，如图所示小球从点出发以的速度沿半圆轨道滚到某点处后，经弹射器以的速度沿与点切线垂直的方向弹射到落袋区内，落点记为设弧度，小球从到所需时间为（1）试将表示为的函数，并写出定义域；（2）求时间最短时的值【答案】（1），（2）【解析】试题分析：（1）小球从到所需时间为分两段计算：；而，EF必过圆心O，所以，从而，又由矩形限制得定义域（2）利用导数求函数最值：先求导数，再求导函数零点，列表分析得结论当时，时间最短试题解析：解：（1）过作于，则，所以，7分（写错定义域扣1分）（2），9分记，-0+故当时，时间最短 14分考点：函数实际问题，利用导数求函数最值18.已知数列满足，其中是数列的前项和 （1）若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式；（2）若，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积【答案】（1）（2）（3）详见解析【解析】试题分析：（1）先根据等比数列通项公式得，再根据等比数列前项和公式得，代入得（2）由题意得，因此利用与关系得，即，利用累加法得（3）因为，所以由确定k,t，解不定方程，首先先分离，再根据整数性质，可取，则.试题解析：解：（1）因为， ， 2分所以4分（2）若，则，两式相减得，即，当时，两式相减得，即， 8分又由，得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 故数列的通项公式是10分（3）由（2）得 ，对于给定的，若存在，使得，只需， 即，即，则， 12分取，则， 对数列中的任意一项，都存在和使得 16分考点：等比数列通项公式及前项和公式，累加法求和，不定方程正整数解19.如图，在平面直角坐标系中， 已知圆，椭圆， 为椭圆右顶点过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，其中设直线的斜率分别为（1）求的值；（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得？若存在，求值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线必过点【答案】（1）（2）（3）详见解析试题解析：解：（1）设，则，所以 4分（2）联立得，解得，联立得，解得， 8分所以，所以，故存在常数，使得 10分（3）当直线与轴垂直时，则，所以直线必过点当直线与轴不垂直时，直线方程为：，联立，解得，所以，故直线必过点 16 分（不考虑直线与轴垂直情形扣1分）考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系20.已知函数，(1)若，求证：（）在的单调减区间上也单调递减；（）在上恰有两个零点；(2)若，记的两个零点为，求证：【答案】（1）（i）详见解析（ii）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）（i）先确定导函数的单调减区间：因为，所以的递减区间为，再确定时，（ii），变量分离得，利用导数研究函数得当时，单调递增，值域为；当时，单调递增，且，值域为；因此与有两个交点，所以在上恰有两个零点（2）由零点存在定理确定取值范围：，所以， 试题解析：证：（1）（i）因为，所以，由得的递减区间为， 2 分当时，所以在的递减区间上也递减 4 分（ii）解1：，因为，由得，令，则，因为，且，所以必有两个异号的零点，记正零点为，则时，单调递减；时，单调递增，若在上恰有两个零点，则， 7 分由得，所以，又因为对称轴为所以，所以，所以，又，设中的较大数为，则， 故在上恰有两个零点 10 分解2：，因为，由得，令，若在上恰有两个零点，则在上恰有两个零点，当时， 由得，此时在上只有一个零点，不合题意；当时，由得， 7 分令，则，当时，单调递增，且由值域知值域为；当时，单调递增，且，由值域知值域为；因为，所以，而与有两个交点，所以在上恰有两个零点 10 分（2）解1：由（2）知，对于在上恰有两个零点，不妨设，又因为，所以，12 分又因为，所以，所以 16 分解2：由（2）知，因为时，单调递增，所以，12 分当时，单调递增，所以，所以 16 分考点：利用导数研究函数单调性，零点存在定理附加题21.A（几何证明选讲，本题满分10分）如图,圆是的外接圆,点是劣弧的中点,连结并延长,与以为切点的切线交于点,求证:.【答案】详见解析【解析】试题分析：由弦切角定理得,因此，从而，又等弧对等弦，所以,即. 试题解析：证明：连结，因为为圆的切线，所以, 又是公共角，所以， 5分所以 , 因为点是劣弧的中点,所以,即. 10分考点：三角形相似，弦切角定理21.B（矩阵与变换，本题满分10分）已知矩阵的一个特征值为,求.【答案】【解析】试题分析：由矩阵特征多项式得一个解为，因此，再根据矩阵运算得试题解析：解：代入，得 矩阵 5分 10分考点：特征多项式21.C（坐标系与参数方程，本题满分10分）在平面直角坐标系中,已知直线与椭圆的一条准线的交点位于轴上,求实数的值.【答案】【解析】试题分析：利用加减消元得直线普通方程：，利用平方关系消参数得椭圆普通方程，得准线：，因此，即试题解析：解：直线：， 椭圆:， 5分准线： 由得， 10分考点：参数方程化普通方程21.D（不等式选讲，本题满分10分）已知正实数满足，求证：.【答案】详见解析【解析】试题分析：由均值不等式得，因此试题解析：证明：因为正实数满足， 所以，即， 5分 所以因此， 10分考点：均值不等式22.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC = 3，BC = 4，AB = 5，AA1 = 4 （1）设，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，求的值；（2）若点D是AB的中点，求二面角DCB1B的余弦值【答案】（1）或（2）【解析】试题分析：（1）利用空间向量研究线线角，先建立恰当的空间直角坐标系，设出各点坐标，表示出向量AC1及向量CD坐标，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据线线角与向量夹角之间关系确定等量关系，求出的值（2）先根据方程组求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系，求二面角的余弦值。试题解析：解：（）由AC = 3，BC = 4，AB = 5得分以CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则(3,0,0)，(0,0,4)，B(0,4,0)，设D(x,y,z)，则由得，而，根据解得，或分（），可取平面的一个法向量为；分而平面的一个法向量为，并且与二面角DCB1B相等，所以二面角DCB1B的余弦值为分（第（）题中少一解扣分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分第（）题如果结果相差符号扣分）考点：利用空间向量研究线线角及二面角23.已知，若存在互不相等的正整数，使得同时小于，则记为满足条件的的最大值（） 求的值；（） 对于给定的正整数，（）当时，求的解析式；（）当时，求的解析式【答案】(1) (2)(i) (ii) 【解析】试题分析：(1) 阅读理解题意，具体验证：取，满足题意，若，则必有，不满足题意，即(2)(i) 取一串数为：，满足题意，若，则必有，不满足题意，因此， (ii) 取一串数为：，满足题意，若，则必有，不满足题意，因此试题解析：解：（1）由题意，取，满足题意，若，则必有，不满足题意，综上所述：的最大值为，即 4分（）由题意，当时，设，显然，时，满足，从集合中选出的至多个， 时，从集合中选出的必不相邻，又从集合中选出的至多个，从集合中选出的至多个，放置于从集合中选出的之间， 6分（）当时，取一串数为：，或写成，（），此时，(),，满足题意， 8分（）当时，从中选出的个：，考虑数的两侧的空位，填入集合的两个数，不妨设，则，与题意不符，取一串数为：或写成，（），此时，（），满足题意，10分（写出（）、（）题的结论但没有证明各给分）考点：新定义，构造数列22