甘肃省天水一中高三数学信息卷试题-文.doc

2013天水一中信息卷数学文
第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。满分100分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为集合，集合，所以。
2．已知是虚数单位，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】。
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．12 B．11 C． D．
【答案】A
【解析】由三视图知：该几何体为四棱锥，四棱锥的底面是边长为3和4的长方形，四棱锥的高是3，所以该几何体的体积为。
3．若数列的前n项和为，则下列命题：
（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；
（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；
（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是
（4）若是等比数列，则的充要条件是
其中，正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】数列的前n项和为，故 ，
若数列是递增数列，则数列不一定是递增数列，如＜0 时，数列是递减数列，
故（1不正确；
由数列是递增数列，不能推出数列的各项均为正数，如数列：0，1，2，3，…，满足是
递增数列，但不满足数列的各项均为正数，故（2）不正确；
若是等差数列（公差d≠0），则由不能推出，例如数列：-3，-1，1，3，满足，但 ，故（3）不正确；
若是等比数列，则由可得数列的公比为-1，故有
；由可得数列的公比为-1，可得，故（4）正确．
5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．3 B．—6 C．10 D．

【答案】C
【解析】因为即小于5又是奇数，所以；
因为即小于5且是偶数，所以；
因为即小于5又是奇数所以；
因为即小于5且是偶数，所以；
因为小于5不成立，所以此时输出的S的值为10.
6．已知:命题：“是的充分必要条件”；命题：“”．则下列命题正确的是（ ）
A．命题“∧”是真命题 B．命题“（┐）∧”是真命题
C．命题“∧（┐）”是真命题 D．命题“（┐）∧（┐）”是真命题
【答案】B
【解析】易知：命题：“是的充分必要条件”是假命题，应该是充分不必要条件；命题：“”是真命题。因此命题“（┐）∧”是真命题正确，所以选B。
7．若空间三条直线a、b、c满足，则直线（ ）
A．一定平行 B．一定相交
C．一定是异面直线 D．一定垂直
【答案】D
【解析】若，则直线可能相交、也可能异面，不管相交还是异面他们都是垂直的，但直线一定不平行，因此选D。
8．函数 的图象大致是（ ）

【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，又，所以函数是奇函数，因此B排除。又，由，由此可以排除A、D，因此选C。
9．如图所示的方格纸中有定点，则（ ）
A． B． C． D．

【答案】C
【解析】设，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对角线对应的向量即为向量，由长度相等，方向相同，所以。
10．设的最大值为（ ）
A． 80　　　　 B． 　　　　 C． 25　　　 D．
【答案】A
【解析】画出约束条件表示的可行域，目标函数的几何意义为：可行域内的点与点（-1，0）的距离的平方。由可行域知：点（3,8）与点（-1,0）的距离最大，最大为，所以的最大值为80.
11．若双曲线的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，且，那么α的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知双曲线的左顶点为A（-a，0），右顶点为B（a，0）设P（m，n），得：直线PA的斜率为；直线PB的斜率为，所以，…………⑴，因为P（m，n）是双曲线上的点，所以，得，代入（1）式得，因为直线PA、PB的倾斜角分别为α，β，得，所以tanα•tanβ=1，因为P是第一象限内双曲线上的点，得α、β均为锐角，所以。

12．若实数满足，则称是函数的一个次不动点．设函数与函数（其中为自然对数的底数）的所有次不动点之和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数与函数（其中为自然对数的底数）的图像关于直线对称，所以函数函数与的交点函数与的交点关于直线对称，所以。
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
13．已知与之间的部分对应关系如下表：

11
12
13
14
15
…

…
则和可能满足的一个关系式是 ．
【答案】（不唯一）
【解析】将11、12、13、14、15、对应的函数值分别写成，由此可得和满足的一个关系式是（写成也可）。
14．在中，已知分别为，，所对的边，为的面积．若向量满足，则= ．
【答案】
【解析】因为，所以，由三角形的面积公式和余弦定理，得：，所以=。
15．在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，则＜的概率为
【答案】
【解析】在区间（0，1）上任意取两个实数a，b，记为，则点构成的区域边长为1 的正方形，＜表示的区域为阴影部分，所以其概率为：。

16、已知，，，。
根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ；
【答案】，
【解析】根据等式：，，，，可猜想出的一般结论是。

2

4
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；
（Ⅱ）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．

18．（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好． 已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品．
（Ⅰ）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；
（Ⅱ）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率．

19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，，平面平面，是线段上一点，，，．
（Ⅰ）证明：平面；
M
S
D
C
B
A
（Ⅱ）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值．

20．（本小题满分12分）
已知数列的前项和。
（Ⅰ） 求数列｛｝的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列｛｝的前项和．

21．（本小题满分12分）给定椭圆：． 称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”． 若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程；
（Ⅱ）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由。

22．（本小题满分14分）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同。
（Ⅰ）用表示，并求的最大值；
（Ⅱ）求证：（）．

参考答案
一、选择题
1、D；2、A；3、A；4、B； 5、C；6、B；7、D；8、C；9、C；10、A；11、D；12、B；
二．填空题
13、（不唯一）；14、；15、；
16、，。
三．解答题
17．解析：（Ⅰ） …………………2分
．……………………………4分
所以的最小正周期为．………………………………………6分
（Ⅱ）将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，
．…………………8分
时，， …………………………………………………9分
当，即时，，取得最大值2． …………10分
当，即时，，取得最小值．………12分
18．解析：（Ⅰ）由样本数据知，30件产品中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件． …………3分
∴样本中一等品的频率为，
故估计该厂生产的产品的一等品率为, ………4分
二等品的频率为，故估计该厂产品的二等品率为, …5分
三等品的频率为，故估计该厂产品的三等品率为．…6分
（Ⅱ）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件， ……………………7分
记等级系数为7的3件产品分别为、、，等级系数为8的3件产品分别为、、,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为： ,,，，，,, ,,，,,, 共15种， …………10分
记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件，
则包含的基本事件有 共3种， ………11分
故所求的概率． ……………………12分
19．（Ⅰ）证明: 平面平面,平面平面,
平面，，平面,…………………1分
平面 ………………………………2分

四边形是直角梯形，,
都是等腰直角三角形,
…………………………4分
平面，平面，,
平面…………………………………………………………………6分
（Ⅱ）解: 三棱锥与三棱锥的体积相等,
由（ 1 ） 知平面,
得,……………………………………………9分
设由,
得
从而 …………………………………………………………12分
20．解析：（Ⅰ）时，; ……………………………………2分
．………………………………………4分
　　 ……………………………………………6分
（Ⅱ） 设，
当时，；…………………………………7分
　时，， ……………10分
＝……………12分
21．解析：（Ⅰ），
椭圆方程为， ………… 4分
准圆方程为． ……………………5分
（Ⅱ）①当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，
因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，
当方程为时，此时与准圆交于点，
此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；
同理可证方程为时，直线也垂直． ………………7分
②当都有斜率时，设点，其中．
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，
则由消去，得
． ………9分
由化简整理得：．
因为，所以有 ． …10分
设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足上述方程，
所以，即垂直． …………………11分
综合①②知垂直． ……………………12分
22．解析：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．
，，………………………………………………………1分
由题意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．………………………………………4分
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，……………………………………8分
于是在的最大值为．…………………………………………9分
（Ⅱ）设…………………………10分
则．………………………………………11分
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．…………13分
故当时，有，即当时，．…………………14分

15