2015高三数学一轮复习041平面的基本性质.doc

2015级高三数学一轮复习学案（理） 编写： 审核： 时间： 编号：041
第四十一课时 平面的基本性质
课前预习案
考纲要求
1.理解空间直线、平面位置关系的定义；
2.了解可以作为推理依据的公理和定理．
基础知识梳理
1．平面的基本性质：
公理1 ：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．
公理2：过 的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线．
2.直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类：
（2）异面直线所成的角
①定义：设，是两条异面直线，经过空间中任一点作直线，，把与所成的 叫做异面直线，所成的角（或夹角）．
②范围： ．
3.直线与平面的位置关系
、 、 三种情况．
4.平面与平面的位置关系
、 两种情况．
5.平行公理
平行于 的两条直线互相平行．
6.定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ．
预习自测
1.已知一个平面，为空间中的任意一条直线，那么在平面内一定存在直线使得（ ）
A． B．与相交 C．与是异面直线 D．
2.已知异面直线，分别在平面，内，且面，则直线与，的位置关系是（ ）
A．与，都相交 B．至多与，中的一条相交
C．与，都不相交 D．至少与，中的一条相交
课堂探究案
典型例题
考点1 平面的基本性质
【典例1】正方体中，、分别是和的中点．
求证：（1）、、、四点共面；
（2）、、三线共点．

【变式1】正方体中，、、分别是、、的中点，那么正方体的过、、的截面图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

考点2 空间线面的位置关系
【典例2】 如图所示，正方体中，、分别是、的中点．问：（1）和是否是异面直线？说明理由；
（2）和是否是异面直线?

【变式2】 用、、表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④

考点3 异面直线所成的角
【典例3】在三棱锥中，，，，求与所成角的余弦值．

【变式3】 直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
当堂检测
1．若直线，，则直线与的位置关系是（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．异面或相交
2.长方体中，既与共面，又与共面的棱的条数为 ．

课后拓展案
A组全员必做题
1.已知，为不重合的两个平面，直线，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2.给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
③若直线，与同一平面所成的角相等，则，互相平行；
④若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.，，是空间中的三条直线，下面给出三个命题：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③若，与成等角，则．上述命题中正确的命题是 （只填序号）．
4.若是两条异面直线，外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是 ．
①过点有且仅有一条直线与，都平行；
②过点有且仅有一条直线与，都垂直；
③过点有且仅有一条直线与，都相交；
④过点有且仅有一条直线与，都异面．

B组提高选做题
1.在三棱锥中，底面，，，求直线与所成的角．

参考答案
预习自测
1.D
2.D
典型例题
【典例1】证明：（1）连接，，（图略）．
∵、分别为、的中点，
∴，又，
∴，
∴、、、四点共面。
（2）∵，，
∴与必相交，设交点为，
则由，平面，
∴平面．同理平面，
又平面平面，
∴直线，
∴、、三线共点．
【变式1】D
【典例2】（1）不是异面直线．证明如下：
连接、、（图略），
∵、分别是、的中点，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，∴，
∴、、、在同一平面内．
∴和不是异面直线．
（2）和是异面直线．
【变式2】C
【典例3】解：取的中点，在平面内作，在平面内作，则异面直线与所成的角为∠．
过作，连接，，则△为直角三角形．

由题知，，，可得，，，
在△中，．
∴与所成角的余弦值为．
【变式3】C
当堂检测
1.D
2.5
A组全员必做题
1.A
2.D
3.①
4.①③④
B组提高选做题
1.解：设．
，
∴，
∴与所成的角为60°．

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