高三数学数列部分复习专题(二)人教实验版(B)知识精讲.doc

高三数学数列部分复习专题（二）人教实验版（B）

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
数列部分复习专题（二）

二. 教学目的：
1. 数列部分方法与技巧解析
2. 数列部分易错题剖析

三. 知识分析
（一）方法技巧
方法一：通项常见的求法。
1. 观察法
例1. 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：
（1），…；
（2），…；
（3），…；
（4）7，77，777，7777，…；
（5）1，3，6，10，15，…；
（6）a，b，a，b，…。
解析：（1）这是一个分数数列，分子为偶数列，而分母为，…，是两个连续奇数的积，故所求数列通项公式为：

（2）数列的前5项可改写为：

由于数列的各项间正负互相间隔，应有调节符号作用的数列，分子构成规律为，分母也为两个连续奇数的积。

（3）原数列直接写不能看出通项公式，但改写之后，，分母依次为1，2，3，4，…，分子为1，0，-1，0，呈周期性变化，可以用表示，当然也可以用表示。

（4）先研究数列9，99，999，9999，…
数列中的每一项均可以看作是10的若干次幂与1的差，则通项为
∴该数列的通项应为
其实这是一个规律性的问题：如数列2，22，222，2222，…的通项公式应为等等。
（5）由观察可知，
∴
此题亦可这样考虑：

……，

以上个式子左边相加为
又
∴
（6）这是摆动数列。要寻找摆动平衡位置与摆动的振幅。平衡位置：，振幅：，用去调节，则所求数列的通项公式

也可以用分段函数形式来表示

2. 累差法
例2. 已知数列的前几项依次是：6，9，14，21，30，…，求其通项公式。
解析：设，则有

……，

以上各式相加得：

又
∴

3. 待定系数法
例3. 已知{an}为等差数列，，求an。
解析：∵{an}为等差数列，故可设
又
∴
解得
∴

4. 公式法
例4. 如果数列的前n项和为，求这个数列的通项公式。
解析：（1）当n=1时，由
（2）当时，
∴数列当时，是以3为公比，以为首项的等比数列
∴
而当n=1时，显然也成立
故

5. 叠代法
例5. 已知，求数列的通项公式。
解析：∵
∴…

∵a1=1
∴

方法二：解递推关系式常见方法
1. 公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有，等差数列和等比数列的通项公式。
2. 归纳法：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。这种方法叫做归纳法。
3. 累加法：利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（其中数列{f(n)}可求前n项和）。
4. 累乘法：利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法。累乘法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（数列g{n}可求前n项积）。
例1. 设是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的自然数n，an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项，求数列的通项公式。
解析：解法一：（公式法）依题意，有
∴
∴
即
∵
∴
又a1=1
故是首项为1，公差为2的等差数列
∴
解法二：（公式法）
∵
∴
当时，
即
∵
∴
∴
从而
解法三：（归纳法）由已知可求得
猜测
证明：（1）当n=1时，
∴n=1时，猜想成立
（2）假设时，猜想成立，即，则时
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即n=k+1时，猜想也成立。
综合以上可知，对任意有

例2. 已知数列中，，求an。
解析：（累加法）
∵
∴
∴

例3. 已知数列中，，其中，求an。
解析：（累乘法）
由已知

5. 转化法：通过变换递推关系，将非等差（等比）数列转化为与等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法。常用的转化途径有：
（1）凑配、消项变换——如将一阶线性递推公式（q、d为常数，，）。通过凑配变成，或消常数项转化为；
（2）倒数变换——如将一阶分式递推公式（c、d为非零常数）取倒数得；
（3）对数变换——如将一阶递推公式取对数得
（4）换元变换——如将一阶递推公式（q、d为非零常数，，）变换成，令，则转化为一阶线性递推公式。
例4. 已知数列中，a1=1，，求的通项公式。
解析：解法一：（归纳法）
∵
∴a2=2a1+1=3，a3=2a2+1=7，…，猜测an=2n－1（），再用数学归纳法证明之。
解法二：（转化法）
∵
∴
又a1+1=2
故数列是首项为2，公比为2的等比数列
∴
即
解法三：（转化法）
∵ （1）
∴ （2）
得
故是首项为
公比为2的等比数列，即
再用累加法得
解法四：（迭代法）

例5. 已知数列（）中，，求an。
解析：（倒数变换）
，两边取倒数，得
∴
∴，首项

例6. 已知数列满足，求数列的通项公式。
解析：（对数变换）
由题意
∴
∴
∴是以2为公比的等比数列，首项为
∴
∴

例7. 已知，求an。
解析：（叠加法）
由已知得
∴

……，

例8. 已知，求。
解析：∵
∴成等比数列，公比为，首项为
∴
即
再用递推的方法可得到

方法三：数列求和常见的方法
1. 公式法
例1. 求和：
（1）；
（2）
解析：（1因为
所以

（2）当时，

2. 错位相减法
例2. 若公比为c的等比数列的首项且满足。
（1）求c的值；
（2）求数列的前n项和Sn。
解析：（1）由题设，当时

（2）由（1），需要分两种情况讨论
当c=1时，数列是一个常数列
即
这时，数列的前n项和
当时，数列是一个公比为的等比数列
即
这时，数列的前n项和
（1）
（1）式两边同乘，得：
（2）
（1）式减去（2）式得

3. 裂项相消法求和
例3. 求数列的前n项和Sn。
解析：∵
∴

4. 并项求和
例4. 求
解析：当n是偶数时

5. 倒序相加求和
例5. 已知数列的前n项和，是否存在等差数列，使对一切自然数n均成立？
解析：由公式
依条件先求出an的通项，再由倒序相加法得出结论。
n=1时，
当时，

因满足时的式子
∴
假设存在等差数列满足条件，设
且仍成等差数列，则

倒序，得
相加得

∴
令bn=n，显然n=0时，b0=0
故存在等差数列满足已知等式。

方法四：等差数列的设项
（1）对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，，…，此时公差为d；
（2）对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，，…，此时公差为2d。
例：有四个数，其中前三个成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个与第四个数的和为16，第二个与第三个数的和为12，求这四个数。
解析：设前三个数依次为，则第四个数为
∴
解之得或
所以这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1

方法五：等比数列的设项
（1）对于连续奇数项的等比数列，通常可设为…，，…，此时公比仍为q；
（2）对于连续偶数项的等比数列，通常可设为…，，…，此时公比为。
例：已知一个等比数列前四项之积为，第二、三项的和为，求这个等比数列的公比（其中）。
解析：设等比数列的前四项依次为
则由已知得
由（1）得，
代入（2）并整理，得
解之得，
故原等比数列的公比为

（二）错题透视
易错题一：已知数列的通项公式是，求数列的前n项和。
解题思路：由且得n6。
由此可知，数列的前6项为负值，从第7项起以后的各项均为正值。
当时，数列是以为首项，4为公差的等差数列
所以
=
对于任意自然数，数列是以为首项，4为公差的等差数列。
因此，

。
所以
失分警示：1. 误认为数列是以21为首项，为公差的等差数列，事实上，对于任意的正整数n，数列不构成等差数列，它只能分段考虑后才能构成等差数列。
2. 在的求和时，误认为数列是以3为首项，4为公差的等差数列。事实上，在数列中，3是它的第7项，而不是第1项。

易错题二：设数列的前n项和，求数列的通项公式。
解题思路：n=1时，。
当时，。
因此数列的通项公式为
失分警示：由求时，必须考虑条件：，因为n=1时，无意义。数列的通项与前n项和的关系是：
此公式在数列中经常用到，应引起重视。

易错题三：已知等差数列，为前n项和，若，求。
解题思路：∵是等差数列
∴也是等差数列。
∴
即
∴
失分警示：由是等差数列，得出也是等差数列是错误的，实际上，若设公差为d，则
∴
∴
∴成等差数列，且公差为16d。
等差数列的前n项和也构成一个等差数列，即，…为等差数列，公差为。

易错题四：等差数列，的前n项和分别为和，若，则等于______________。
答案：
解题思路：。
错因分析：对等差数列前n项和的结构特征认识模糊，容易导致错误。如设是错误的。

易错题五：设等比数列的首项为a，公比为，若其前10项中最大的项为1024，求a的值。
解题思路：的通项公式为。
（1）当时，数列为递增数列，所以前10项中第10项为最大，即，∴a=2。
（2）当时，为递减数列，前10项中第一项为最大，即a=1024，矛盾，故此时无解。
（3）当a=1时，为常数数列，此时各项均为1，显然与题设矛盾。
综上可知，a=2。
失分警示：解此类问题易出现概念性的错误。如仅凭则得出为递增数列，从而得到，则会得到错误结论。
对含参问题一般需要对参数进行分类讨论。

易错题六：已知等比数列中，，求。
解题思路：当时，，此时正好有，适合题意。
当时，依题意有，
解之，得，综上得或。
失分警示：等比数列前n项和公式中一定要考虑公式适用条件或，否则导致失误。若q=1，则；若，则。

易错题七：一个数列，当n为奇数时，；当n为偶数时，。这个数列的前2m项之和为___________。
答案：
解题思路：当n为奇函数时，相邻两项为与
由得，且
所以中的奇数项构成以为首项，公差d=10的等差数列。
当n为偶数时，相邻两项为与
由得=2，且
所以中的偶数项构成以为首项，公比q=2的等比数列。
由此得。
错因分析：将原数列分成由奇数项和偶数项组成的两个数列来处理的思路是正确的，但如果把奇数项组成的数列的相邻两项认为是与，把偶数项组成的数列的首项认为是，且相邻两项认为是与，则会导致错解。

【模拟试题】
一. 选择题：
1. 数列的通项公式是，则这个数列的前三项是（ ）
A. 1，4，9 B. 2，4，9 C. 2，1，4 D. 2，6，11
2. 数列的一个通项公式可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. 首项是，第10项开始比1大，则此等差数列的公差的范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知是等差数列，，则该数列的通项公式为
（ ）
A. B. C. D.
5. 数列的前项和，则的值等于（ ）
A. 1100 B. 112 C. 988 D. 114
6. 若等差数列的前项和分别为，且，则等于
（ ）
A. B. C. D.
7. 等差数列中，，其前11项的算术平均值为5，若从中抽出一项，则余下的项的算术平均数为4，则抽出的一项是（ ）
A. B. C. D.

二. 填空题：
8. 数列7，77，777，7777，…的一个通项公式为_____________。
9. 等差数列的首项，公差为整数，若前7项为正数，第7项以后的各项都是负数，则的值为______________。
10. 若成等差数列，则的值为_________ .
11. 在等差数列中，已知，则________。
12. 已知100个连续整数之和为，且，则这些连续整数中最大的数是_____________。

三. 解答题：
13. 在中，若成等差数列，且三内角A、B、C也成等差数列，试判断三角形的形状。
14. 已知数列1，2，4，…前项之和，求并确定之值。
15. 设数列的前项和，是常数，且
（1）证明是等差数列。
（2）证明以为坐标的点都落在同一条直线上，并写出此直线的方程。
（3）设是以为圆心，为半径的圆，求使得点都落在圆处时，的取值范围。

【试题答案】
一. 选择题：
1. B 2. A
3. D
解：
解得
4. B
解：

即

5. B
解：

6. B
解：

7. D
由前11项平均值为5知，，抽出的一项是，又成等差数列，故

二. 填空题：
8.
9.
解：
即
解得
又为整数

10.
解：由已知

解得

11. 25
解：

12. 184
解：设最大数是
由题设得

三. 解答题：
13. 解：由成等差数列知
又

成等差数列

即

为等边三角形
14. 解：
由已知当时，

即

解得

当时，
又适合上式

且
15. 解：（1）由已知得：
当时，

则当时，
所以是以为首项，为公差的等差数列
（2）点的坐标，点，连接的直线的斜率

则对任意自然数所有点都在经过点且斜率的直线上
此直线方程为
即
（3）当时，的坐标为
则都落在圆外的条件是

整理得
由，由
由
又
将上述各组由小到大排序
即的取值范围是
用心 爱心 专心