初中数学中被删掉的有用知识(圆幂定理及其应用).docx

圆幂定理及其应用
教学目标
1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解
决有关问题；
2.通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方
法；
3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的
观点的教育.
教学重点和难点
相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题
是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.根据图 7-162(1)、(2)、(3)，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割线定理、割
线定理的内容.
2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?
提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形的变化过程，
从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.
(1)如图 7-163，⊙O的两条弦 AB，CD相交于点 P，则 PA PB＝PC PD.这便是我们学过
的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：
一是如果圆内的两条弦交于圆心 O，则有 PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径 R，此时 AB，CD
是直径，相交弦定理当然成立.(如图 7-164)

二是当 P点逐渐远离圆心 O，运动到圆上时，点P和 B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然
有 PA PB＝PC PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图 7-165)
(2)点 P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外
一点 P，成为两条割线，则有 PA PB＝PC PD，这就是我们学过
的切割线定理的推论(割线定理).(图 7-166)
(3)在图 7-166中，如果将割线 PDC按箭头所示方向绕 P点
旋转，使 C，D两点在圆上逐渐靠
近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA PB＝PC PD
＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图 7-167)
(4)如果割线 PAB也绕 P点向外旋转的话，也会成为一条切线 PA.这时应有 PA2＝PB2，

可
得 PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图 7-168)
至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和
切线长定理之间有着密切的联系.
3.启发学生理解定理的实质.
经过一定点 P作圆的弦或割线或切线，如图 7-169.
观察图 7-169，可以得出：(设⊙O半径为 R)
在图(1)中，PA PB＝PC PD＝PE PF
＝(R-OP)(R+OP)
＝R2-OP2；
在图(2)中，PA PB＝PT＝OP -OT
2
2
2
＝OP -R
2
2
在图(3)中，PA PB＝PC PD＝PT2
＝OP -R.
2
2
教师指出，由于 PA PB均等于｜OP -R｜，为一常数，叫做点 P关于⊙O的幂，所以相
2
2
交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.
二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)
例 1 如图 7-170，两个以 O为圆心的同心圆，AB切大圆于 B，AC切小圆于 C，交大圆

于 D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.
分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径 OB.求 OC 也可考虑用
上述方法，但 AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出 AC，
于是问题得解.
(由学生讨论、分析，得出解决)
例 2 如图 7-171，在以 O为圆心的两个同心圆中，A，B是
大圆上任意两点，过 A，B作小圆的割线 AXY和 BPQ.
求证：AX AY=BP BQ
分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单
的图形组合而成的.但本题
不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构
造出这样的图形，以此为出
发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.
方法 1 在图 7-172中，过点 A，B分别作小圆的切线 AC，BD，C，D为切点.这时就出
现了切割线定理的基本图形，于是有
AC2＝AX AY，BD2＝BP BQ.
再连结 CO，AO，DO，BO，
易证 Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出 AC＝BD
所以 AX AY＝BP BQ.
方法 2 在图 7-173中，作直线 XP交大圆于 E，F，分别延
长 AY，BQ，交大圆于 C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于
是有
AX XC＝EX XF，BP PD＝FP PE.
易证 AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.
所以 AX XC＝AX AY，BP PD＝BP BQ，EX XF＝FP PE.
所以 AX AY＝BP BQ.
方法 3 如图 7-174，由于点 O 是圆内的特殊点，考虑过 O 点的特殊割线，作直线 AO
交小圆于 EF，作直线 BO交小圆于 C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有
AX AY＝AE AF，BP BQ＝BC BD.
易证 AE＝BC，AF＝BD，
所以 AE AF＝BC BD.
从而 AX AY＝BP BQ.
通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，
沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此

题?
三、练习
练习 1 已知 P 为⊙O 外一点，OP 与⊙O 交于点 A，割线 PBC 与⊙O
交于点 B，C，且 PB＝BC.如果 OA＝7，PA＝2，求 PC 的长.
练习 2 如图 7-175，⊙O 和⊙O′都经过点 A 和 B，PQ 切⊙O 于 P，
交⊙O′于 Q，M，交 AB 的延长线于 N.求证：PN2＝NM·NQ.
四、小结
用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图 7-176)，让学生观
察并说出相应的定理.
教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.
五、习题
1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。
已知：如图 5，⊙O 和⊙O 相交于点 A、B，P 为 BA 延长线上任意一点，且 PC、PD 与⊙O 和
1
1
2
⊙O 分别切于 C、D 两点。求证：PC=PD。
2

2如图 6，过点 P 作⊙O 的切线 PA，A 为切点，过 PA 中点 B 作割线交⊙O 于 C、D，连结 PC
并延长交⊙O 于 E，连结 PD，交⊙O 于 F。求证：EF∥PA。
3、如图 7，已知 PBD 是⊙O 的割线，PA、PC 是⊙O 的切线，A、C 为切点，求证：
（1）PA·AB=PB·AD；
（2）
；
（3）AD·BC=AB·DC。
提示：（1）要证 PA·AB=PB·AD，只要证得
就可以了。而 PA、AD、PB、
AB 分别是△PAD 和△PBA 的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可。显然
∠APD=∠BPA，∠ADP=∠BAP，因此△PAD∽△PBA。

（2）由问题（1）可知
，因此要证
，只需证
。
而 PA =PB·PD，故有
2
。
（3）要证 AD·BC=AB·DC，只需证得
即可。由问题（1）可知
，
类似问题（1）可证得
。因 PA=PC，故
。因此有
。

（2）由问题（1）可知
，因此要证
，只需证
。
而 PA =PB·PD，故有
2
。
（3）要证 AD·BC=AB·DC，只需证得
即可。由问题（1）可知
，
类似问题（1）可证得
。因 PA=PC，故
。因此有
。

（2）由问题（1）可知
，因此要证
，只需证
。
而 PA =PB·PD，故有
2
。
（3）要证 AD·BC=AB·DC，只需证得
即可。由问题（1）可知
，
类似问题（1）可证得
。因 PA=PC，故
。因此有
。