初中数学浙教课标版八年级下册(2013)-第1课时--正方形的判定.docx

第1课时 正方形的判定
总分 100 分，共 3 大题 14 题
A 知识要点分类练 夯实基础(总分 35 分，共 7 题)
1. (5分) 知识点1 正方形的判定
请在下面的横线上填入正确答案的序号．
____ 的矩形是正方形； ____ 的菱形是正方形．
①一组邻边相等；②两组对边分别平行；③对角线相等；④一个角为直角；⑤对角线互相平分；⑥对角线互相垂直．
【答案】①⑥; ③④
【解析】
2. (5分) 已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是  （    ）
A. ∠D＝90°
B. AB＝CD
C. AD＝BC  
D. BC＝CD
【答案】D
【解析】
3. (5分) 如图，将长方形纸片折叠，使点A落BC上的F处，折痕为BE．若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是 （   ）

A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形
D. 轴对称图形是正方形
【答案】A
【解析】 ∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，
∴BA=BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∴四边形ABEF为正方形．
故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．
4. (5分) 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是 （   ）
A. 当AB＝BC时，它是菱形
B. 当AC⊥BD时，它是菱形
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形
D. 当AC＝BD时，它是正方形
【答案】D
【解析】 A：正确，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
B：正确，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C：正确，有一个角为90°的平行四边形是矩形；
D：不正确，对角线相等的平行四边形是矩形而不是正方形；
故选D．
5. (5分) 在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是 （   ）
A. AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B. AD∥BC，∠A＝∠C
C. AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D. AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
【答案】C
【解析】
6. (5分) 在□ABCD中，若给出四个条件：①AB＝BC；②∠BAD＝90°；③AC⊥BD；④AC＝BD．现从中任选两个条件作为一个组合，则不能推出四边形ABCD是正方形的是 （  ）
A. ①②
B. ①④
C. ②④
D. ③④
【答案】C
【解析】
7. (5分) 已知：如图5-3-2，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BECF是正方形．

【答案】
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
  ∴四边形BECF是平行四边形．
  又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
  ∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
  ∴∠BEC＝90°，BE＝CE，
  ∴四边形BECF是正方形．
【解析】
B 规律方法综合练 提升能力(总分 50 分，共 6 题)
8. (5分) 如图5-3-3，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角打开，如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成  （   ）

A. 22.5°角
B. 30°角
C. 45°角
D. 60°角
【答案】C
【解析】
9. (5分)已知四边形ABCD各边中点分别E，F，G，H，如果四边形ABCD的对角线 __________ ，那么四边形EFGH是正方形．
【答案】垂直且相等
【解析】
10. (10分) 如图5-3-4，AB是线段CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E，F．

(1) 求证：∠CAB＝∠DAB；
【答案】
∵AB是线段CD的垂直平分线，
  ∴AC＝AD，AB⊥CD，
  ∴∠CAB＝∠DAB（等腰三角形三线合一）．
【解析】
(2) 若∠CAD＝90°，求证：四边形AEMF是正方形．
【答案】
∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD＝90°，
  即∠CAD＝∠AEM＝∠AFM＝90°，
  ∴四边形AEMF是矩形．
  又∵∠CAB＝∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，
  ∴ME＝MF，∴矩形AEMF是正方形．
【解析】
11. (10分) 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

(1) 求证：△BED≌△CFD；
【答案】 ∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴△BED≌△CFD．
【解析】
(2) 若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
【答案】 ∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°．
又∵∠A＝90°，
∴四边形DFAE是矩形．
由（1）知△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴四边形DFAE是正方形．
【解析】
12. (10分) 已知：如图5-3-6，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连结CE，CF，OE，OF．

(1) 求证：△BCE≌△DCF；
【答案】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD．
∵E，F分别为AB，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF．
在△BCE和△DCF中，

∴△BCE≌△DCF(SAS)．
【解析】
(2) 当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
【答案】
当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形．理由如下：
∵E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴，，OE∥BC．
又∵AB＝BC＝DC＝AD，∴AE＝OE＝OF＝AF，
∴四边形AEOF是菱形．
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
【解析】
13. (10分) 如图5-3-7，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后打开，折痕为AE，顶点B的落点为F，你认为四边形ABEF是什么特殊四边形？请说出你的理由．

【答案】
四边形ABEF是正方形．
  理由：∵四边形ABCD是矩形，
  ∴∠BAF＝∠B＝90°．
  由于∠B与∠AFE折叠后重合，
  ∴∠AFE＝∠B＝90°，
  ∴四边形ABEF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
  ∵AB，AF折叠后重合，∴AB＝AF，
  ∴四边形ABEF是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）．
【解析】
C 拓广探究创新练 冲刺满分(总分 15 分，共 1 题)
14. (15分) 如图5-3-8，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．

(1) 图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明（不添加任何辅助线）；
【答案】
答案不唯一，如△ABC≌△BAD．
  证明：在△ABC与△BAD中，
  ∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BA．
  ∴△ABC≌△BAD(SAS)．
【解析】
(2) 求证：四边形AHBG是菱形；
【答案】
证明：∵AH∥GB，BH∥GA，
  ∴四边形AHBG是平行四边形．
  由（1）知△ABC≌△BAD，
  ∴∠BAC＝∠ABD，∴GA＝GB，
  ∴平行四边形AHBG是菱形．
【解析】
(3) 若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件（不必证明）．
【答案】 需要添加的条件是AB＝BC．
【解析】