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基于DEA的企业绩效评价

课程名称：多目标决策分析
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2012年5月

摘要：本文使用数据包络分析辅助企业进行绩效评价的决策。分别从技术有效性和规模有效性两方面对企业的DEA有效性进行分析。为企业绩效评估问题提供了一条新的思路。
关键字：数据包络分析，绩效评价，企业决策

目 录
一，引言 1
二，数据包络模型 2
2.1C2R模型 2
2.2 C2GS2模型 4
2.3投影 4
三，基于DEA的企业绩效评价 5
四，结论 12
五，参考文献 12

一，引言
企业价值高低基本上是根据企业的长期经营绩效而定, 企业经营绩效的好坏最终亦将反应于其企业价值。
企业经营绩效评价是一个复杂项目的评价, 涉及企业的方方面面。针对企业所开展的绩效评价应当在运用系统评价模型进行无量纲处理的基础上, 采取定性分析和定量分析相结合, 搜集、整理、分析大量企业经营活动的规模、水平、结构、效益, 应当了解系统结构、子系统协同以及系统功能在系统环境作用下的演化规律, 充分反映出评价对象在一定时间、地点和条件下的具体状态和作用。
目前已经有几十到上百种评价方法,根据目前绩效评价方法按所涉及的学科领域, 可分为主成份分析、因子分析、聚类分析、多目标决策、层次分析、模糊评价以及数据包络分析等方法。其中,数据包络分析(Data Envelopment A nalysis, DEA ) 方法是运筹学、管理科学与数理经济学交叉研究的一个新领域和新方法, 是一种以相对效率概念为基础, 用于评价具有相同类型的多投入、多产出的决策单元是否技术有效的非参数统计方法。
DEA是使用数学规划模型比较决策单元之间的相对效率, 对决策单元(Decision Making Unit 简记DMU)做出评价。DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统[1]。这主要体现在以下三点：①以决策单元各输入输出的权重为变量, 从最有利于决策单元的角度进行评价, 从而避免了确定各指标在优先意义下的权重。②假定每个输入都关联到一个或多个输出, 而且输入输出之间确实存在某种关系, 使用方法则不必确定这种关系的显式表达式。③可以通过理论证明决策单元的最优效率评价指数与输入量及输出量的量纲选取无关无须进行归一化处理。DEA方法排除了很多主观的因素, 因而具有很强的客观性。
本文首先对C2R模型[2]和C2GS2模型[3]进行了简要的概括，随后提出了DMU在DEA相对有效平面上的投影概念[4]，用以帮助企业计算非DEA有效单元的输入剩余和输出亏空，为非DEA有效的DMU如何通过增大产出和减少投入来达到有效提供目标与方向。文中第三部分通过C2R和C2GS2方法对7个企业的输入输出来进行评估。最后，对评估结果进行了评价。
二，数据包络模型
在DEA方法理论体系中最有代表性的DEA模型为C2R和C2GS2模型。
2.1C2R模型
假设有n个决策单元，每个决策单元每个DMU都有m种类型的“输入”，以及s种类型的“输出”，分别表示该单元“耗费的资源”和“工作的成效”如下表所示[5]：
表1 DEA输入输出指标模型

DMU1
DMU2
…
DMUn
投入指标
Input1

…

Input2

…

…
…
…
…
…
Inputm

…

产出指标
Output1

…

Output2

…

…
…
…
…
…
Outputs

…

上图中，为第个决策单元对第种类型输入的投入量；为第个决策单元对第种类型输出的产出量；表示第种类型输入的权重。表示第个决策单元对第种类型输出的权重。且有>0, >0。
记，，。则可用（，）表示第个决策单元DMUj。
对应于权系数，，每个单元都有相应的效率评价指数：

我们总可以适当的选择权系数和，使其满足。
于是可以构成如下最优化模型。

这个原始规划模型是一个分式规划。利用Charnes-Cooper变换，可以将化为一个等价的线性规划问题。令

则原分式规划转化为

线性规划问题的对偶规划问题为（加入松弛变量s+和s-以后）

关于对偶规划问题有
i.DMUj为DEA有效的充分必要条件为规划问题的最优值=1。
ii. DMUj为DEA有效的充分必要条件为规划问题的最优值=1，并且它的每个最优解都满足。
2.2 C2GS2模型
C2GS2模型是DEA评价的另一个重要模型，模型在该模型在C2R的基础上增加了一个的约束条件：

i.DMUj为DEA有效的充分必要条件为规划问题的最优值=1。
ii. DMUj为DEA有效的充分必要条件为规划问题的最优值=1，并且它的每个最优解都满足。
2.3投影
若DMUj为DEA有效的，对应的线性规划问题有最优解满足

又由，所以有，即点（，）位于超平面：上[6]。可以证明：这个超平面上所代表的其他点的决策单元也是DEA有效的。超平面称为DEA的相对有效超平面。据此，我们可以考虑如何改进一个非DEA有效的决策单元。
利用DEA方法进行效率评价的一个重要作用就是为今后决策单元提高生产效率和管理水平提供参考信息。定义（，）：

为DMUj0对应（，）在DEA相对有效平面上的“投影”。可以证明（，）所代表的新DMU，相对于原来的DMU来说是DEA有效的。同时记

上式（，）说明投入应该减少多少，产出应增加多少，才能使原来无效率的DMU变为有效率。这实际上为改进非有效DMUj0提供了一个可行方案，同时也提出了非有效的原因。

三，基于DEA的企业绩效评价
本文以制造业企业为背景，归纳总结出企业的3项输入指标分别为：原材料费用指数，人工费用指数，操作费用指数。企业4项输出指标为：投资资本回报指数，操作费用增值指数，人工费用增值指数，资产增值指数[7]。运用了C2R以及C2GS2评价了7家企业的DEA有效性并在最后对非DEA有效的企业进行了相对有效面的投影分析。具体数据如下表：

表2 评价指标数据

企业1
企业2
企业3
企业4
企业5
企业6
企业7
输入指标
原材料费用指数
0.72
1.2300
0.7300
0.8000
0.7400
1.2300
0.7800
人工费用指数
0.14
0.0900
0.1100
0.1400
0.1300
0.1600
0.1600
操作费用指数
1.74
1.9400
1.7600
1.4000
1.2400
2.0900
1.5700
输出指标
投资资本回报指数
0.1905
-0.0108
0.0171
-0.1526
-0.0027
0.0934
0.0471
操作费用增值指数
4.29
2.0700
3.2300
1.8400
3.5700
2.8100
3.4200
人工费用增值指数
30.08
33.5200
22.6200
12.1800
19.5500
23.1800
22.0200
资产增值指数
7.38
4.0100
4.3200
2.1600
3.7000
5.8100
4.8700

以企业一为例建立C2R模型为：

在excel中运行如下图：
图1 企业1C2R线性规划绩效评价

运行结果如下：
图2 企业1绩效评价结果

求解结果如下：
，，，
可见企业1绩效评价为DEA有效（C2R）。
同样可得其他企业绩效评价指标如下表3,表4所示：

企业

1
1
0
0
0
0
0
0
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
3
0.7529
0
0
0
0
0
0
0.95825
4
0.3194
0
0
0
0.1316
0
0
0.51351
5
0
0
0
0
1
0
0
1
6
0.7873
0
0
0
0
0
0
0.68885
7
0.4997
0
0
0
0.3575
0
0
0.83616
表3 企业绩效评价结果（C2R）

企业

1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
3
0.1574
0
0.3765
0.1263
0
0.0276
1.2365
4
0.0835
0.0101
0
0.2131
0
0
0.684
5
0
0
0
0
0
0
0
6
0.2805
0
0.0699
0.0566
0.5674
0.5009
0
7
0.0279
0.0174
0
0.0471
0
0
0.1405

表4 松弛变量与剩余变量结果（C2R）

企业绩效评价指标的C2GS2模型评价结果见表5表6。
表5 企业绩效评价结果（C2GS2）
企业

1
1
0
0
0
0
0
0
1
2
0
1
0
0
0
0
0
1
3
0
0
1
0
0
0
0
1
4
0.0432
0
0.0593
0
0.8975
0
0
0.92318
5
0
0
0
0
1
0
0
1
6
0.5560
0.2068
0
0
0.2373
0
0
0.79556
7
0.4618
0
0
0
0.5382
0
0
0.93688

企业

1
0
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
3
0.1574
0
0.3765
0.1263
0
0.0276
1.2365
4
0
0
0
0.1594
1.7409
8.0069
1.7357
5
0
0
0
0
0
0
0
6
0.1483
0
0
0.0096
0.8501
5.1127
0
7
0
0.0153
0
0.0394
0.4825
2.3927
0.5294
表6松弛变量与剩余变量结果（C2GS2）

对应C2R评价结果和C2GS2可以得知：
①企业1,2,5为DEA有效。这说明三家企业输入输出都达到了最佳状态，企业达到了技术有效性，和规模有效性。
②企业3在C2R模型下为非DEA有效，在C2GS2下为弱DEA有效，说明企业3应该对规模有效性和技术有效性做进一步调整。使得企业输入输出指标可以进一步进行优化。
③企业4,6,7在C2R和C2GS2下均是非DEA有效。说明三家企业既没有达到技术有效性也没有达到规模有效性。
分别对企业3，4,6,7进行C2R模型下计算相对有效DEA平面上的投影和输入剩余输出亏空。以企业3为例：

输入剩余和输出亏空为：

表7，表8显示了企业3,4,6,7在C2R下的有效平面投影和输入剩余输出亏空[8]
表7 C2R模型下相对有效DEA平面投影

投影
企业3
企业4
企业6
企业7
投入指标
原材料费用指数
0.5422
0.3273
0.5668
0.6243
人工费用指数
0.1054
0.0619
0.1102
0.1164

操作费用指数
1.3101
0.7189
1.3699
1.3128
产出指标
投资资本回报指数
0.1434
0.0605
0.1500
0.0942
操作费用增值指数
3.23
1.8400
3.3774
3.4200
人工费用增值指数
22.6476
12.1800
23.6809
22.0200
资产增值指数
4.5565
2.8440
5.8100
5.0105

表8 C2R模型下输入剩余，输出亏空

输入剩余，输出亏空
企业3
企业4
企业6
企业7
投入指标
原材料费用指数
0.1878
0.4727
0.6632
0.1557
人工费用指数
0.0046
0.0781
0.0498
0.0436
操作费用指数
0.4499
0.6811
0.7201
0.2572
产出指标
投资资本回报指数
0.1263
0.2131
0.0566
0.0471
操作费用增值指数
0
0
0.5674
0
人工费用增值指数
0.0276
0
0.5009
0
资产增值指数
1.2365
0.6840
0
0.1405

表9,表10显示了C2GS2模型下相对有效DEA平面投影和输入剩余，输出亏空

表9 C2GS2模型下相对有效DEA平面投影

投影
企业4
企业6
企业7
投入指标
原材料费用指数
0.7386
0.8303
0.7308
人工费用指数
0.1292
0.1273
0.1346
操作费用指数
1.2925
1.6628
1.4709
产出指标
投资资本回报指数
0.0068
0.1030
0.0865
操作费用增值指数
3.5809
3.6601
3.9025
人工费用增值指数
20.1869
28.2927
24.4127
资产增值指数
3.8957
5.8100
5.3994

表10 C2GS2模型下输入剩余，输出亏空

投影
企业4
企业6
企业7
投入指标
原材料费用指数
0.0614
0.3997
0.0492
人工费用指数
0.0108
0.0327
0.0254
操作费用指数
0.1075
0.4272
0.0991
产出指标
投资资本回报指数
0.1594
0.0096
0.0394
操作费用增值指数
1.7409
0.8501
0.4825
人工费用增值指数
8.0069
5.1127
2.3927
资产增值指数
1.7357
0
0.5204

四，结论
对于C2R模型下的非DEA有效的企业绩效，必须分别从技术有效性和规模有效性两方面来进行。C2GS2模型在C2R模型基础上增加了一个约束条件使得模型可以单纯的用来评价部门间相对技术有效性。
对于非有效的决策单元，如其是由非技术有效性引起的可由决策的修正或管理品质的提升以获得效率值的改善[9]。如是由非规模有效性引起的，则企业更多的应该在项目规模上对输入输出指标进行调整[10]。
本文运用DEA的C2R和C2GS2模型从技术有效性和规模有效性两方面为企业绩效评价提供了认识问题的一个思路。同时通过相对DEA有效平面投影的运用帮助企业找出引起企业非有效输入剩余，输出亏空。辅助企业经营者进行决策修正和企业管理品质的提升。
五，参考文献
[1]盛昭翰，朱乔 .DEA理论，方法与应用[M].北京：科学出版社，1994.
[2]魏权龄，岳明.DEA概论与C2R模型-数据包络分析(一)[J].系统工程理论与实践.1989
[3]魏权龄，崔宇刚.评价相对有效性的几个重要DEA模型-数据包络分析（二）[J]. 系统工程理论与实践.1989
[4]魏权龄.评价相对有效性的DEA模型[J].中国系统工程学会第五届学术年会论文集.1987.
[5]杨保安，张科静.多目标决策分析理论方法与应用研究[M].上海：东华大学出版社.2008
[6]陈世宗，赖邦传.基于DEA的企业绩效评价方法[J].系统工程.2003.
[7]宋杰鲲 张在旭.基于数据包络分析的炼油企业绩效评价[J].石油化工技术经济.2006
[8]朱乔，盛昭翰.数据包络模型与规模收益分析[J].系统工程学报.1993.
[9]Farrell M J.The Measurement of Productivity Efficiency[J].Journal of the Royal Statistical Society.1957.
[10]Charnes,E. Rhodes. Measuring the efficiency of decision making units. European Journal of Operational Research.1978.