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高考复习专题：平面向量
第一节 平面向量的概念及其线性运算
向量专题复习
1.向量的有关概念：
（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：.
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与共线的单位向量是.
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.
①向量与共线，则有且仅有唯一一个实数，使；
②规定：零向量和任何向量平行；
③两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
④相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；
（6）

2.平面向量的坐标表示及其运算：
（1）设，，则；
（2）设，，则；
（3）设、两点的坐标分别为，，则=；
（4）设，，向量平行；
（5）设两个非零向量，，则，
所以；
（6）若，则；
（7）定比分点：设点是直线上异于的任意一点，若存在一个实数，使
，则叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点；当分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为.
注意：①设、，分有向线段所成的比为，则，
在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.当时，就得到线段的中点公式.
②的符号与分点的位置之间的关系：
当点在线段上时；
当点在线段的延长线上时　；
当点在线段的反向延长线上时；

3.平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量、，作，，称为向量、的夹角。
（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量、，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.
零向量与任一向量的数量积是0，注意：向量的数量积是一个实数，不再是一个向量。
（3）在上的投影为，投影是一个实数，不一定大于0.
（4）的几何意义：数量积等于与在上的投影的乘积。
（5）向量数量积的应用：设两个非零向量、，其夹角为，则，
当时，为直角；
当时，为锐角或同向；
当时，为钝角或反向；
（6）向量三角不等式：
当同向，；
当反向，；
当不共线；

4.平面向量的分解定理
（1）平面向量分解定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使成立，我们把不共线的向量、叫做这一平面内所有向量的一组基底。
（2）O为平面任意一点，A、B、C为平面另外三点，则A、B、C三点共线且.

5.空间向量
空间向量是由平面向量拓展而来的，它是三维空间里具有大小和方向的量，它的坐标表示有x，y，z.空间向量的性质与平面向量的性质相同或相似，故在学习空间向量时，可进行类比学习。
如，若、、三个向量共面，则.同时，对于空间任意一点O，存在，其中＝____1_________

考点一：向量的概念
[例1]　给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若，则四边形ABCD为平行四边形；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中假命题的个数为(　　) A．1　 　　　B．2　 　　　C．3　 　　　D．4
[答案]　D

.
下列说法中错误的是(　　)
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量a和b不共线，则a和b都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等 [答案]　C

[例2]　(1)(2014·金华模拟)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是(　　)
A．a∥b B．a⊥b C．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b

(2)(2013·四川高考)

如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则λ＝ ________.
(3)(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若 (λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
[答案]　(1)B　(2)2　(3)

1．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若 (　　)
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b

易误警示(四)平面向量线性运算中的易误点
[典例]　(2013·广东高考)设a是已知的平面向量且a≠0.关于向量a的分解，有如下四个命题：①给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c；
②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μ c；
③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a＝λb＋μc.
上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是(　　)
A．1　 　　　B．2　 　　　C．3　 　　　D．4
[答案]　B

下列命题中正确的是(　　)
A．向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa
B．在△ABC中，
C．不等式||a|－|a＋b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立
D．向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线

第二节 平面向量基本定理及坐标表示
1．两个向量的夹角

(1) 定义：
已知两个非零向量a和b，作则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
(2)范围：向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝0；a与b反向时，夹角θ＝π.
(3)向量垂直：如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作a⊥b.
2．平面向量基本定理及坐标表示
(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
(2)平面向量的坐标表示：
①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．

3．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)；
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (x2－x1，y2－y1)；
(3)若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)；
(4)若a＝(x1，y1)，b＝x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.
[例1]　在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________. [答案]　
：在本例条件下，若试用c，d表示
：如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若则λ＋μ＝________.

答案：

1．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
解析：选B　

[例3]　(1)(2013·陕西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于(　　)
A．－　　　B. C．－或 D．0
(2)(2014·丽水模拟)设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．
(3)(2014·台州模拟)若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值等于________．
[答案]　(1)C　(2)(－4，－2)　(3)

1．(2013·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB―→同方向的单位向量为(　　)
A. B. C. D.

2．已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
答案：
3．已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．
答案：(3,3)
易误警示(五)平面向量坐标运算中的易误点
用平面向量解决相关问题时，在便于建立平面直角坐标系的情况下建立平面直角坐标系，可以使向量的坐标运算更简便一些．

[典例]　(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c＝λa＋μbλ，μ∈R)，则＝________.
[答案]　4

答案：2

第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用
1．平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ 叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，规定0·a＝0.
2．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
结论
几何表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充
要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0

[例1]　(1)(2014·天津高考)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F 分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若则 λ的值为________．
(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
、
[答案]　(1)2　(2)
：在本例(2)中，若四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是AB上的动点，求的值及的最大值．
答案：1.

1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.
答案：4
2．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
答案：

[例2]　(1)(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足 (　　)
A． [4,6] B．[－1，＋1]
C．[2，2] D．[－1，＋1]
(2)(2014·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝___

[答案]　(1)D　(2)2　

1．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于(　　)
A．－ B. C. D.π
解析：选C　
2．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.
答案：1
3．已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值为________．
答案：

[例3]　(1)(2014·浙江高考)设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.(　　)
A．若θ确定，则|a|唯一确定 　B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定 D．若|b|确定，则θ唯一确定
[答案]　(1)B

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