高考数学专题七立体几何第练空间角与空间距离的求解练习创新.doc

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题七 立体几何 第55练 空间角与空间距离的求解练习
训练目标
(1)会求线面角、二面角；(2)会解决简单的距离问题.
训练题型
(1)求直线与平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距离.
解题策略
利用定义、性质去“找”所求角，通过解三角形求角的三角函数值，尽量利用特殊三角形求解.

一、选择题
1.(2015·上海闵行区三模)如图，在底面是边长为a的正方形的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA＝a，则直线PB与平面PCD所成的角的余弦值为(　　)
A. B.
C. D.
2．(2015·邯郸上学期教学质量检测)在正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
3.如图所示，在三棱锥S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，则点A到平面SBC的距离为(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题
4．(2015·丽水二模)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为平面ABB1A1的中心，则MC1与平面BB1C1C所成角的正切值为________．

5．如图所示，在三棱锥S－ABC中，△SBC，△ABC都是等边三角形，且BC＝1，SA＝，则二面角S－BC－A的大小为________．

6.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下命题：
①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；
②二面角P－BC1－D的大小为定值；
③三棱锥D－BPC1的体积为定值；
④异面直线A1P与BC1间的距离为定值．
其中真命题的个数为________．
三、解答题
7．(2015·浙江名校交流卷)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点O在AB上，且OB＝OC＝AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝PO.
(1)求证：PB∥平面COD；
(2)求二面角O－CD－A的余弦值．

8．(2015·宁波二模)如图，正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F，G分别为BC，SC，CD的中点．设P为线段FG上任意一点．
(1)求证：EP⊥AC；
(2)当P为线段FG的中点时，求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．

9．(2015·安徽江南十校上学期期末大联考)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，且PB与底面ABCD所成的角为45°，E为PB的中点，过A，E，D三点的平面记为αPC与α的交点为Q.
(1)试确定Q的位置并证明；
(2)求四棱锥P－ABCD被平面α所分成上下两部分的体积之比；
(3)若PA＝2，截面AEQD的面积为3，求平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值．

答案解析
1．D　[设B到平面PCD的距离为h，直线PB与平面PCD所成的角为α，则由等体积法可得
××a·a·h＝×a·a·a，
∴h＝a.
又∵PB＝a，∴sin α＝，
又∵α∈(0，)，∴cos α＝.故选D.]
2．C　[如图，连接AC，BD交于点O，连接OE，OP.
因为E为PC中点，所以OE∥PA，
所以∠OEB即为异面直线PA与BE所成的角．
因为四棱锥P－ABCD为正四棱锥，
所以PO⊥平面ABCD，
所以AO为PA在平面ABCD内的射影，
所以∠PAO即为PA与平面ABCD所成的角，
即∠PAO＝60°.
因为PA＝2，所以OA＝OB＝1，OE＝1.
所以在直角三角形EOB中，∠OEB＝45°，
即异面直线PA与BE所成的角为45°.故选C.]
3．A　[作AD⊥CB交CB的延长线于点D，连接SD，如图所示．
∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA⊂平面SAD，AD⊂平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC⊂平面SBC，∴平面SBC⊥平面ASD，且平面SBC∩平面ASD＝SD.在平面ASD内，过点A作AH⊥SD于点H，则AH⊥平面SBC，AH的长即为点A到平面SBC的距离．在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin 60°＝a.由＝，得AH＝＝＝，即点A到平面SBC的距离为.]
4.
解析　

如图，过点M作BB1的垂线，垂足为N，
则MN⊥平面BB1C1C，
连接NC1，
则∠MC1N为MC1与平面BB1C1C所成的角．
设正方体的棱长为2a，
则MN＝a，NC1＝a，
所以tan∠MC1N＝.
5．60°
解析　取BC的中点O，连接SO，AO，
因为AB＝AC，O是BC的中点，
所以AO⊥BC，同理可证SO⊥BC，
所以∠SOA是二面角S－BC－A的平面角．
在△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝60°，AB＝1，
所以AO＝1×sin 60°＝.
同理可求SO＝.
又SA＝，所以△SOA是等边三角形，
所以∠SOA＝60°，
所以二面角S－BC－A的大小为60°.
6．4
解析　对于①，因为在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，
点P在线段AD1上运动，
在正方体中有B1C⊥平面ABC1D1，
而C1P⊂平面ABC1D1，
所以B1C⊥C1P，
所以这两个异面直线所成的角为定值90°，故①正确；
对于②，因为二面角P－BC1－D的实质为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，
而这两个平面为固定不变的平面，
所以夹角也为定值，故②正确；
对于③，三棱锥D－BPC1的体积还等于三棱锥P－DBC1的体积，
而△DBC1面积一定，
又因为P∈AD1，
而AD1∥平面BDC1，
所以点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，
所以三棱锥的体积为定值，故③正确；
对于④，因为直线A1P和BC1分别位于平面ADD1A1，
平面BCC1B1中，且这两个平面平行，
由异面直线间的距离定义及求法，
知这两个平面间的距离即为所求的异面直线间的距离，
所以这两个异面直线间的距离为定值，故④正确．
7．(1)证明　因为PO⊥平面ABC，AD∥PO，AB⊂平面ABC，
所以PO⊥AB，DA⊥AB.
又DA＝AO＝PO，所以∠AOD＝45°.
因为OB＝AB，
所以OA＝AB，所以OA＝OB，
又AO＝PO，所以OB＝OP，
所以∠OBP＝45°，即OD∥PB.
又PB⊄平面COD，OD⊂平面COD，
所以PB∥平面COD.
(2)解　如图，过A作AM⊥DO，垂足为M，
过M作MN⊥CD于N，
连接AN，
则∠ANM为二面角O－CD－A的平面角．
设AD＝a，
在等腰直角三角形AOD中，
得AM＝a，在直角三角形COD中，得MN＝a，
在直角三角形AMN中，得AN＝a，
所以cos∠ANM＝.
8．(1)证明　设AC交BD于O，
∵S－ABCD为正四棱锥，
∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，
又AC⊂平面ABCD，
∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，
∴AC⊥平面SBD，
∵E，F，G分别为BC，SC，CD的中点，
∴FG∥SD，BD∥EG.
又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，
∴平面EFG∥平面BSD，
∴AC⊥平面GEF.
又∵PE⊂平面GEF，∴PE⊥AC.
(2)解　过B作BH⊥GE于H，连接PH，
∵BD⊥AC，BD∥GH，
∴BH∥AC，
由(1)知AC⊥平面GEF，
则BH⊥平面GEF.
∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角．
在Rt△BHP中，BH＝，PH＝，PB＝，
故cos∠BPH＝＝.
9．解　(1)Q为PC的中点．证明如下：
因为AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
故AD∥平面PBC.
又由于平面α∩平面PBC＝EQ，故AD∥EQ，
所以BC∥EQ.
又E为PB的中点，故Q为PC的中点．
(2)如图，连接EQ，DQ，
因为PA⊥底面ABCD，
所以PB与底面ABCD所成的角为∠PBA＝45°.
故PA＝AB.
又因为E为PB的中点，
所以PE⊥AE.
因为四边形ABCD是矩形，
所以AD⊥AB.
又PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD，所以AD⊥PA.
又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，
又PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE.
又AE∩AD＝A，AE⊂平面α，AD⊂平面α，
故PE⊥平面α.
设PA＝h，AD＝2a，
设四棱锥P－ABCD被平面α所分成的上下两部分的体积分别为V1和V2，则EQ＝a.
又因为AD⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AD⊥AE.
V上＝PE·S梯形AEQD
＝··(a＋2a)·＝，
V下＝PA·S底面ABCD－V上
＝·h·2a·h－＝，
所以＝＝.
(3)过E作EF⊥DQ，连接PF，
因为PE⊥平面α，所以PE⊥DF.
又由于EF∩PE＝E，所以DF⊥平面PEF，则DF⊥PF.
所以∠PFE是平面α和平面PCD所成的二面角．
因为PA＝2，即h＝2，截面AEQD的面积为3，
所以S梯形AEQD＝(a＋2a)h＝3，
解得a＝.
又因为AD∥EQ，
且EQ＝AD，
故S△EQD＝S梯形AEQD＝1，
QD＝＝2.
又S△EQD＝EF·DQ＝1，解得EF＝1.
又PE＝PB＝.
在直角三角形PEF中，tan∠PFE＝＝，
即平面α与平面PCD所成的锐二面角的正切值为.
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