2016年高考试数学分类汇编-圆锥曲线.docx

圆锥曲线
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（1）
（5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的
取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
（20）（本小题满分12分）
设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．
（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；
（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（2）

（4）圆的圆心到直线 的距离为1，则a=
（A） （B） （C） （D）2
【解析】A
圆化为标准方程为：，
故圆心为，，解得，
故选A．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
（I）当，时，求△AMN的面积；
（II）当时，求k的取值范围.
【解析】 ⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，
则直线AM的方程为．
联立并整理得，
解得或，则
因为，所以
因为，，
所以，整理得，
无实根，所以．
所以的面积为．
⑵直线AM的方程为，
联立并整理得，
解得或，
所以
所以
因为
所以，整理得，．
因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得
解得．
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（3）
（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（16）已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若AB=23，则CD=__________________.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程。

2016年高考新课标Ⅰ卷文数试题

（5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】
试题分析：如图，由题意得在椭圆中，
在中，，且，代入解得
，所以椭圆得离心率得：，故选B.
（15）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为 。
【答案】
【解析】
试题分析：圆，即，圆心为，由到直线的距离为，所以由得所以圆的面积为.
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
（I）求；
（II）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
【答案】除H以外，直线MH与C无其它公共点.
【解析】
试题分析：

2016年高考新课标Ⅱ卷文数试题参考解析

5. 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=
（A） （B）1 （C） （D）2
【答案】D
【解析】，又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D.
6. 圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a=
（A）− （B）− （C） （D）2
【答案】A
【解析】圆心为，半径，所以解得，故选A.
21．（本小题满分12分）
已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.
（I）当时，求的面积
(II) 当时，证明：.
【试题分析】（I）设点的坐标，由已知条件可得点的坐标，进而可得的面积．

2016年高考新课标Ⅲ卷文数试题

（12）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】
试题分析：

由题意得，，，根据对称性，不妨，设，
∴，，∴直线BM：，又∵直线BM经过OE中点，
∴，故选A.
（20）（本小题满分12分）
已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
【答案】（I）见解析；（II）
【解析】
试题分析： (Ⅰ)连接RF，PF，

由AP=AF，BQ=BF及AP//BQ，

∴AR//FQ．
(Ⅱ)设，

，准线为，
，
设直线与轴交点为，
，
∵，∴，∴，即．
设中点为，由得，
又，
∴，即．
∴中点轨迹方程为．
2016年江苏数学高考试题

在平面直角坐标系中，双曲线的焦距是 ．
；
i. ，因此焦距为．
如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是 ．

；
ii. 由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，
由可得，，，
则，由可得，则．
（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆：
及其上一点．
⑴ 设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；
⑵ 设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
⑶ 设点满足：存在圆上的两点和，使得，求实数的取值范围．

⑴⑵或⑶；
1. 因为在直线上，设，因为与轴相切，
则圆为，
又圆与圆外切，圆：，
则，解得，即圆的标准方程为；
a) 由题意得， 设，则圆心到直线的距离,
则，，即，
解得或，即：或；
i. ，即，即，
，
又,
即，解得，
对于任意，欲使，
此时，只需要作直线的平行线，使圆心到直线的距离为，
必然与圆交于两点，此时，即，
因此对于任意，均满足题意，
综上．
2016年普通高等学校招生全国统一考试
(2) (山东卷)理科数学

（13）已知双曲线E1：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
（14）在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 .
（21）本小题满分14分）
平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点。
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为求的最大值及取得最大值时点P的坐标.

2016年普通高等学校招生全国统一考试
(3) （山东卷）数学（文科）

（7）已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是
（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离
（14）已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．

(21)(本小题满分14分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b>0）的长轴长为4，焦距为22.
（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明k'k为定值.
(ii)求直线AB的斜率的最小值.

2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）

1. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】如图，由题可知，设点坐标为

显然，当时，；时，，要求最大值，不妨设.
则
，当且仅当等号成立

故选C
2. （本小题满分13分）
已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线与椭圆E有且只有一个公共点T.
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线
l交于点P. 证明：存在常数，使得，并求的值.

【解析】（I）设短轴一端点为，左，右焦点分别为，
则.
由题意，为直角三角形.
∴ 解得，
∴.
代入可得 .
与椭圆只有一个交点，则，解得.
∴.
由，解得，则，所以的坐标为。
（II）设在上，由，平行.
得的参数方程为 代入椭圆得.
.
整理可得 .
设两根为， 则有.
而，
，.
故有.
由题意.
∴， 故存在这样的.

2016年高考四川文科数学

3.抛物线y2=4x的焦点坐标是
(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)
20、（本小题满分13分）
已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上。
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

2016年普通高等学校招生全国统一考试
（天津卷）数学（理工类）

（6）已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为
（A）（B）（C）（D）
（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为

2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（文史类）

（4）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（12）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为__________.
（13）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

（19）（本小题满分14分）
设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.

2016年上海高考数学（理科）真题
3. :, :, 则的距离为__________________
【答案】
【解析】

20．（本题满分14分）
有一块正方形菜地, 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜
地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和
的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，
点的坐标为，如图
(1) 求菜地内的分界线的方程
(2) 菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上
纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并
判断哪一个更接近于面积的经验值
【解析】(1) 设分界线上任一点为，依题意

可得
(2) 设，则
∴
∴设所表述的矩形面积为，则
设五边形面积为，则
,
∴五边形的面积更接近的面积

21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于两点
(1) 若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程
(2) 设，若的斜率存在，且，求的斜率
【解析】(1)由已知,
取，得

∵,
∴
即
∴
∴渐近线方程为
(2)若，则双曲线为
∴,
设, ，则
, ,
∴
(*)
∵
∴
∴代入(*)式，可得
直线的斜率存在，故
∴
设直线为，代入
得
∴，且

∴
∴
∴直线的斜率为

2016年普通高等学校招生全国考试
数学（文）（北京卷）

（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
（A）1 （B）2 （C）（D）2

(12) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（ ,0），则a=_______；b=_____________.

（19）（本小题14分）
已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.
（I）求椭圆C的方程及离心率；
（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.