高考中含参数线性规划问题专题(学生版).doc

高考中线性规划专题
纵观近几年高考试题，线性规划问题是每年的必考内容。题型多以选择题、填空题出现，它是直线方程在解决实际问题中的运用，特别是含参数线性规划问题，与数学中的其它知识结合较多，题目灵活多变，要引起高度重视.
近三年全国卷是这样考
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T15)若x,y满足约束条件则的最大值为　　　　.

2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T15)若x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为　　　　　　　　.

3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为　　　　　.
4.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T4)若x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为　　　　　.
5. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T9) 设x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为(　　)
A.8 B.7 C.2 D.1
6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T9)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为 (　　)
A.10 B.8 C.3 D.2
7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=　(　　)
A. B. C.1 D.2
8.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设满足约束条件，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
9．（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ14）设x，y满足约束条件，则的最大值为______.
10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ15）若满足约束条件则 .
11.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）记不等式组所表示的平面区域为若直线 .

含参问题的探究
一、恒过“定点”问题
例1.（2009福建，9）在平面直角坐标系中，若不等式组（为参数）所表示的平面区域的面积等于2，则的值为 （ ）
A． B. C. D.
解析：作出不等式组所围成的平面区域。如图（1）所示
由题意可知，公共区域的面积为2
的坐标为，代入
得，故选D .

图（1）
点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程中含有参数这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确可变形为的形式，则此直线必过定点，此时，可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解。
规律总结：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案。
二、恒成立问题
例2.（2008浙江，17）若，且当时，恒有，则以为坐标的点所成的平面区域的面积是 （ ）
A. B. C. 1 D.
解析：作出满足条件的点的可行域，如图（2）所示.
，
且恒有，
结合直线，与可行域可知:

点所成的平面区域如图（3）.
故所形成的平面区域的面积是1.故选C。

图（2） 图（3）
点评：正确解答此题的关键是：“恒有”的巧妙运用因中含有两个参数两个变量，故用“恒成立”的“数值解法”比较困难，只能用“图形控制”来解答；根据“恒有”的“图形控制”先求的约束条件，再画出其约束的平面区域，是正确解答此题的突破口。
规律总结：在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答就轻松多了。
三、“动”“静”结合问题
例3.（2006广东.9）在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是 （ ）
A.[6，15] B.[7,15] C.[6,8] D.[7,8]
解析：当时，约束条件所表示的可行域就是与轴、轴在第一象限围成的三角形区域，
直线过点时，取最大值，

当时，直线过与的交点时，取得最大，结合图形分析，此时，当，的最大值中的最小值为7.
故答案为D。

图（4）
点评：该题在作可行域时，由于直线方程中含有参数“” 且给定了该参数的取值范围，使问题变得复杂。解决此类问题的主要思路是：先将能够画出图形的部分全部画出来，再分析“动直线”的运动趋势，确定好运动的“最大位置”及“最小位置”，将“最大位置”及“最小位置”固定（静）下来，使“动”在“静”下做，借用运动的观念逐步分析，确定答案。
规律总结：在约束条件中的二元不等式若含有参数且给定了该参数的取值范围的问题，就意味着直线是“动直线”，则应将该动直线运动的“最大”“最小”位置固定下来，根据运动的趋势确定好不同情况下的可行域，再针对解答目标逐步分析方能获解。
四、转移模型问题
例4.（2006重庆，16）已知变量满足约束条件，若目标函数（其中）仅在点取得最大值，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿。
解析：依据约束条件,作出可行域，如图（5）

图（5）
由可行域可知，要使目标函数（其中）仅在点取得最大值，则必有直线的斜率>直线的斜率
又，
得：
故答案为

点评：此题的目标函数中含有参数且，因此目标函数所确定的直线的斜率＜0，直线大致图象能确定下来，由线性规划的“平移”解法可知，欲使直线平移过点处取得最大值，只需控制的斜率直线的斜率即可，问题就转化为研究“斜率”问题（模型）了。
规律总结：目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。
五、消元化归问题
例5.（2003天津）已知，，且，求函数的最大值。
解：由得
于是
同时可变为
则题设中的不等式即线性约束条件变形为：

满足上述约束条件的区域如图（6）所示，
其中，,,

图（6）
设，则
是经过区域且斜率为1的直线在轴上的截距
易知当这些平行直线经过点时，截距为最小
当直线经过点时，截距取最大值

点评：该题与常规型的线性规划相比：在约束条件及目标函数中均多了一个“参数”，但题中确给出了一个含“”的等式。因此，总可以用线性表示“”，分别消去约束条件及目标函数中的“”，从而构造出了常规线性规划的问题。
规律总结：线性规划解决的是“约束条件”、“ 目标函数”中是二元的问题，若“约束条件”、“ 目标函数”中含有“三元”时，则应通过消元化归成“二元” 线性规划问题进行解答。
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