花木成畦 一水护田——2005年全国高考数学试题大家评：上篇：接天莲叶无穷碧 映月荷花别样红.pdf

中学数学教学参考 2 fl 0 5 年 第 q 期 (复 考劳 留h 3 寥 本刊试题研究组(岳建良 党效文 刘康宁 编辑)上篇：箍天莲叶无穷碧映月荷花别鞋红 2 0 0 5年 高 考 数 学 试 题 印 象 山东省东明实验中学 曹凤山 国家教育部考试中心及 1 4个有 自主命题权的省、直辖市命制的2 0 0 5 年高考数学试卷共 1 6套(文理共 2 9 份试卷)，每套试题个性鲜明，独具匠心，似绽开的 花朵，争艳斗芳，让人大饱眼福 笔者以2 0 0 5年高考数 学试题为对象，探讨分析，并作评析，以期抛砖引玉 1 岸芷汀蓝，郁郁青青 1 1试卷结构的变化 2 0 0 5年高考数学试题变化最明显的是“试卷的结 构”以往的 考试说明 严格规定了选择题、填空题、解 答题三种题型的分数 比例 各题型分数的固定，带来了 题型、题量的相对稳定，试卷的结构模式(“1 2+4+6”)维持了较长时间 而 2 0 0 5年高考数学 考试大纲 中没 有以上的要求和设置，试卷的结构发生了较大变化，在 8套 1 6份试题中得到体现(以下只对 2 0 0 5年高考数 学理科试题进行分析，不涉及文科试题)I I I 从题量上看 表 I 各试卷各题型题量对比表 天津 江 类型 全国 I、广东 湖 海 重庆 苏 辽 宁、江 西、福 北 题型 建、湖北、山东 乐 浙江 南 选择题 1 2 8 1 0 l 0 4 1 0 l 2 填空题 4 6 4 5 l 2 6 6 解答题 6 6 6 6 6 6 5 合计 2 2 2 0 2 0 2 1 2 2 2 3 0)2 0 0 5年拥有自主命题权的江西、山东(安徽没有 单独命题，采用了全国卷 I)采取了相对稳健的做法，第一年单独命题，与全国卷采取了完全相同的结构，其 他已有单独命题经验的省、直辖市采取了一些新的变 化 有 5套试题(北京、广东、浙江、湖南、江苏)总题 量有所改变，上海、天津、重庆卷在总题量不变的同时，各题型题量与以往的试卷结构也不相同，其主要是增 加了填空题 从总体上看，试题数量在减少，减少的主要是选 择题 只有江苏卷采取了减少解答题、增加填空题的 做法 1 1 2 从 分值上看 表 各试卷各题型分值对比表 型 全圊、天津 匦 幅 建 湖 北 鬻 重 庆 -【J东 辽 宁 尿 选择题 1 2 x 5 8 x 5 1 0 x 5 同全 4 x 4 同 锚喃卷(分)=6 0 ：4 0 =5 0 醚 =1 6 填空题 4 4 6 5 4 5 5 4 同天津 1 2 4 6 4 同全(分)：1 6 =3 0 =2 0 =20 重庆卷 ：4 8 =2 4 国 卷 6 题 5 题共 6 题共 6 题共 6 题共 解答题 6 题共 踯分 共7 4 分 6 6 分 8 6 分 7 6 分 8 4 分 总体趋势是增加主观题的分值，减少客观题的 分值 江苏卷减少了一道解答题，虽解答题只有 6 6分，但主观题的分值没有减少，仍保持在 9 0分水平上 不同试卷中相同题型赋分分值不等，在选择题 上上海卷为 4分，其他试卷均为 5分 而北京卷、广东 卷填空题 比往年分值有所提高，提高到 5 分 另外值得一提的是，在福建卷、天津卷中，首次出 了一行“祝各位考生考试顺利!”的文字，让考生感到高 考试题有选拔功能的同时，有了人情味，这有利于减轻 考生的紧张情绪，多了一份关怀与和谐 维普资讯 http:/ ：毒 -2 试卷解答题的分布 表 各试卷解答题统计 表 中学数学教学参考 2 0 0 5 年第9 期 类型 第一题 第 二题 第 三题 第四题 第 五题 第六题 晒数+导数 全 国 I 三角 函数+导数 立体几何(向量)数列 概率(应用题)向量+解析儿似+数学 纳法 全 国 函数+不等式 数列极限 概率(应 用题)立体几何(向量)向量+解析几何 函数(导数)全国 概 率(应用题)立体几何(向量)i角+向量 数列 解析几 何 函数+导数+不 等式 北京 函数(导数)立体几何(向量)概率(应用题)解析几何 数列 函数+不 等式 福建 三角 概率(应用题)函数(导数)立体几f u I(向量)向量+解 析几 何 数列+不等式 概率+数列 广东 三角 立体几何(向量)解析几何 函数 解析几何(应用题)湖北 向量+函数 解三角形 慨率(应用题)立体几何(向量)解析几何 数列+不等式 概率+函数 数列+不等式 湖南 三角 立体几何(向量)向量+解 析几 何 函数(导数)(应用题)(应用题)江苏 解 析几何 概率(应用题)立体几何 函数 数列+不等式 概率+线性 规 函数(导数)辽宁 立体几何 三角(应用题)数列+不等式 向量+解 析几何 划(应用题)+不等式 数 列+蛹数 山东 向量+三角 概率(应用题)函数(导数)立体几何(向量)解 析几何+不等式 上海 立体几何(向量)复数 解析几何 数列(应用)函数 向 +数列+函数 天津 解 三角形 数列极限 立体几何 函数(应用)解析几何(向量)函数(导数)浙江 三角 函数+不等式 解析几何 立体几何(向量)概率(应用题)解析几何+数列 重庆 三角 概率(应 用题)函数(导数)立体几何(向量)向量+解析几何 数列+不等式 江西 函数+不等式 三角+函数+导数 概率(应用题)立体几何(向量)数列+不等式 解析几何 在布局形式上，上海卷继续保持先填空题，再选择，后解答题的模式，其他试卷模式都保持稳定 变化 铰大的是试题内容的编排，全国卷、辽宁卷、上海卷都 改变了以往代数、三角题开头的格局，分别出现了锯析 几何、立体几何和概率应用题(全国)，打破了几十年 的固定模式，进行了有益的探索 在“压轴题”中，最后 一题中涉及函数内容的有 8道题，占到一半；涉及圆锥 曲线的有 4道，涉及不等式的有 7道，有 4道涉及数列 内容 倒数第二题中，涉及圆锥曲线内容的有 8道，函 数、数列、不等式内容分别占4道、3道、3道，另有一道 是概率问题 即“压轴题”仍然是函数、圆锥曲线、数列、不等式内容在唱“主角”2 保持稳定锐意创新 2 1 稳定的大局来自命题原则 从表珊可以看出，在独立命题的同时，以往的命题 理论和经验得到了继承和发扬，“重点知识重点考查”、“在知识交汇点设计试题”、“加强考查中学基本的数学 思想方法”、“不单纯追求知识的覆盖率”等命题原则在 所有的试卷中得到充分体现 中学数学传统的主体内容，代数中函数、数列、不 等式、三角函数，立体几何中的直线与直线、直线与平 面、平面与平面的位置关系，解析几何中的圆锥曲线的 性质、直线与圆锥曲线的位置关系，新增内容中的向 量、概率与统计、函数极限与导数等内容在每份试卷中 都占有相当的比重 从知识块的组合来看，在 1 6份理 科试卷共 9 5道解答题中涉及函数、数列、不等式的分 别有 2 2道、l 8道、1 4道，涉及立体几何、解析几何的分 别有 1 8道、1 6道，其中新增内容中向量的工具地位最 为突出，直接考查或应用向量的有 2 2道，涉及概率、导 数 的分别有 1 4道、1 1 道 从具体问题来看，以“能力立意”已是命题者 自觉 追求的目标 如全国卷 I的理科第 1 7题：设函数、厂()=s i n(2 +)(一7 c 0)，y=厂()图象的一条对称 轴是直线 =罟(1)求 ；()求函 数Y=厂()的单 调增 区间；(11 I)证 明直线 5 r一2 +f=0与 函数 y=f()的图象不相切 单从知识点上看，涉及直线的 斜率、正弦函数的求导，导数的几何意义等，难度不大，但综合程度高，其中(1 1 I)的证明要具备一定的灵活性，对推理、运算能力有较高的要求 维普资讯 http:/ 中学数 学教 学参 考 2 I H)5 年 第9 期 在知识的交汇点设计试题是今年高考题的一大亮 点。由于课程内容的变化，使知识的交汇点出现 r新动 向，如从概率统计中产生应用型试题，从导数应用中与 函数性质的联袂，从解析几何中产生与平面向量的联 系，立体几何、三角函数、数列内容中渗透相关知识的 综合考查(如三角与向量的结合、数列与不等式结合、概率与数列内容的结合)，让人耳 目一新。2。2 创新的几个看点 2。2。1 题型、题量的调整与变化(见表 I)2。2。2内容设 置的创 新 随着新课程的实施，课程内容在发生变化，考查的 内容也会做出相应的调整。较明显的表现在解答题的 内容上 1 9 9 5年以来 的数学试卷 中，基本上保持了应 用题“一大一小”的模式，有一道涉及排列组合的客观 题，有一道解答题 而 2 0 0 5年湖南理科卷中安排了“两 大两小”l玛道应用题，分别涉及排列组合、抽样、概率、函数和数列、不等式等内容 辽宁理科卷的第 2 0题把 我们传统的应用题去掉了“包装”，附上以概率、线性规 划为模型的应用题。广东卷的解答题中出现了两道解 析几何题，创新力度较大。2。2。3 题型 的创新 2 0 0 5年高考数学试卷中继续保持了探索型、开放 型、研究型等题型，形式上也有突破，如只猜不证，只算 不写等。填空题中出现条件、结论完全开放的设计(福 建卷)，广东卷、湖南卷等出现了一题双空的填空题 题 型的创新，带来了新的理念，也必将促进教学的创新。3 提升新课程，推动新课改 国家教育部考试中心多次指出，高考命题要“关注 数学教育改革的进展”，“更加关注高中数学课程改革 的进展，了解使用新课程考生的实际情况，汲取新课程 中的新思想、新理念，使高考数学科考查更加反映数学 教育改革发展的方 向”。在 2 0 0 5年的高考试题上已得 到印证。3。1 新增加的内容比例超 出课时 比例，考查逐步 深入 为了使得与时代发展相适应的新知识体系逐渐在 新教材中站稳脚跟，必然会增加对新增知识 内容的考 查力度。从表可以看出，除个别试卷外，在解答题中，应用题基本上都是涉及概率 内容的问题，而出现频率 较高的三角、函数、不等式、数列问题又总是和导数相 联系，同2 0 0 4年一样，新增加内容所 占分值超出了其 所占课时比。另一方面，考查的层次也呈现逐步深入态 势，2 0 0 4年的新课程卷考查层次定位在容易或中档题 上，考查知识点大部分局限在知识块内部、而 2 0 0 5年 的考题在这些方面有了新的动向，如全国卷 I理科第 1 7题、江西卷理科第 7题对函数导数的考查，不是停 留在简单的层次，而是要充分理解导数的几何意义并 能够运用。辽宁卷理科第 2 0题考查内容涉及概率与线 性规划，并附以图表，符合现代生活的需求，同时引导 教师对新增内容的重视、研究。3 2 传统 内容 的“双轨”处理 在理科 1 6份试卷中，有 1 3道立体几何题明显给 出了空问坐标系的框架，只要有利用空问向量的意识，建立空间坐标系后就容易求解，即立体几何 问题大多 可以用向量作工具解决，兼顾 了(A)、(B)两种教材版 本。而对函数、不等式、数列、圆锥曲线等问题大多需与 导数相联系，促进了新老内容的衔接。3。3 体现课改理念。探索考查的新方式 新课程的实施特别强调了创新意识的培养和研究 性学习的理念，而在高考中如何考查、如何体现，是摆 在命题者和高中教学过程中的新问题。2 0 0 5年高考数 学试题在这些方面做出了积极的探索。例 1 (全国卷，理，1 2)计算机中常用的十六进 制是逢 1 6 进 1的计数制，采用数字 0-9和字母 A-F 共 1 6 个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系 如下表：1 6进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 1 0进 制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 l 1 1 2 1 3 1 4 1 5 例如，用十 六进制表 示：E+D：1 B，则 AB ：()。A。6 E B。7 2 C。5 F D。B 0 此题以我们熟悉的十进制为基础，设定了十六进 制下的运算这一新颖的情境，以考查 学生迁移、类比的数学素质、创新意 识和能力。例 2(江西卷，理，7)已知函数 Y=厂()的图象如图 1所示(其中()是函数 f()的导函数)，下面 四个图象(图 2)中 Y：f()的图象 大致是()。2 、1 1 2 2 2 。I 一2 -1 A。B。C。D。图2 此题情境新颖脱俗，对形与数的转化和信息的加 工处理，都有深度和广度的要求，较好的体现了创新 维普资讯 http:/ 4 D 意识 例 3(福建卷，理，l 6)把下面不完整的命题补充 完整，并使之成为真命题：若函数 L厂(dE)=3+l c 的 图象与g()的图象关于 对称，则函数(r)=(不唯一)(注：填上你认为可以成为真命 题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形)例 4(上海卷，理，2 1)对定义域分别是 D D 的 函数y=f()、Y=g()，规定：f l，)g()，当 D，且 r D ，函数 h()=厂(j )，当 Dr H-r D g()，当 D，且 D (1)(2)略；(3)若 g()=，(+a)，其中 a是常 数，且 a 0，请设 计一个定 义域 为 R 的函数 y=f()，及一个 a的值，使得 h(z)=c O s 4 x，并予以 证 明 例 3中条件、结论都是开放的，学生拥 有主动权，虽是探究，f H 考生亦可“避生就熟”去解答 例 4中结论 是开放的，而条件要考生 自己去探索，需考生加工信 息，调动储存，制定出合理的解题思路 仔细分析，这两 例对我们的研究性学习会大有裨益的 4 注重调控，平衡文理 由于文、理考生的教学内容以及后续发展需求的 不同，近几年在文、理科高考数学试题上都保持了一定 的差异 2 0 0 5年高考数学试题继承了以前的成功经 验 本文以全国卷为例，对文、理卷比较，了解调控方法 和量化指标 表 全国卷文、理科差异量化对比表 题型 相 同 不同 姊妹 相异分值 相异分 值权重 选择题 6 4 2 3 0 全 国 填 空题 2 l l 8 7 8 5 2 I 解答题 2 3 l 4 0 选择题 5 5 2 3 5 全 国 填空题 3 l 4 8 7 5 8 解答题 2 2 2 4 8 选择题 I I l 5 全 国 填空题 2 2 8 4 4 2 9 3 解答题 3 3 3 l 4 1 从定量上看，文理 区别最小的是全国，此 套试卷继续保持 2 0 0 4年全国卷 在文理差异上的风 格，即减少相同题，减少姊妹题，增加不同题，但不同题 的数量较上年有所减少 全国I、全国两套试题在保 持一定量的不同题外，还出现了姊妹题 三套题三种模 中学毅学教学参考 2 O 0 5 年第q 期 式，同题、姊妹题的数量、分值各有不同，既号虑考 的水平，义从不同程度 进行文理差异调控实验的对 比尝试 4 2 从定性方面分 析，文理试 卷的 差异除换 题、姊妹题外，还以调整题序进行控制难度，即文Nt H l a的 题目在试卷中的排序不一致，相同的题 目出现在不同 的 l难度位黄 在姊妹题的处理上形式也不尽相同，如全国卷 I 第 2()题，文科题以多层设问，搭桥铺路，分散难度，步 步深入，理科题则单刀直人，需要考生 自我设计，合 理安排 又如全国卷 n文第 l 8题，理第 l 9题也体现出 相同的特点 另如全国卷 I 第 l 7题，文理的区别在第 三问上，旨在 调整 文理 的难 度 不同题 目的设 置 不是 因教学 内容 上的差 异导 致 的，而是从考查层次、侧重点、知识综合性和思维能力 要求层次上的差异，如全国卷【第 l 7题，理科的综合 性质要求高，文科只是在技能和知识上加以考查，理科 侧重于抽象思维，文科突出形象思维【l】篇：清水出芙薯天熟去瓶 能 力 考 查不 拘 一 格 浙江酋杭州市长征中学 朱成万 陕西省西安市长安一中邱 山 为了有效检测考生的能力，高考试题的命制者广 泛地猎取各种素材，并对其巧妙地加以利用或改造 这 里的素材既包括高等数学背景，也包括竞赛背景或竞 赛题，还包括已有的成题，已考过的高考题等 例如，全国卷 I第 2 2题的背景是下凸函数及琴生(J e n s e n)不等式；湖北卷理科第 2 2题的背景为发散的 调和级数并结合高斯函数；而重庆卷(文科)第 1 O 题可 认为与第十届“希望杯”高一第二试的第 2 O题同源；全 国卷的第 1 1 题就是一道成题(十几年前就有 了)；全 国卷 I的第 5题恰 与 1 9 9 9年高考的第 l O题同根，仅 是数据的变化而已 再来看考查学生应用意识和能力的应用题的素材 选取；涉及旅游观光的(如湖南卷文科第 2 O题)；住房 问题(上海卷第 2 O题)；体育比赛和游戏(如全国卷 理科第 l 9题，江西卷第 1 9题)，资源的利用与开发(如 湖南卷理科第 2 O题)；生产经营与投资效益(如辽宁卷 理科第 2 O题)，真可谓“五花八门”，引人注目 除了素材的选取，为了体现“能力立意”，命题者还 在 以下几方面下功夫：(1)以数学知识为载体。考查一般能力 一般能力是指顺利完成各种活动所必须的基本心 维普资讯 http:/