韦达定理练习(培优竞赛题).doc

第三讲 充满活力的韦达定理

知识纵横
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：
运用韦达定理，求方程中参数的值；
运用韦达定理，求代数式的值；
利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；
利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．
例题求解
【例1】(1)已知是方程的两个实数根，且，那么实数m的取值范围是_________
（河南省中考题）
(2) 已知、是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
（绍兴市竞赛题）
思路点拨 对于（1），运用根与系数关系建立m的不等式，但要注意判别式的制约；对于（2） 所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为基本对称式解。
【例2】如果方程 的三根可以作为一个三角形的三边线之长，那么，实数m的取值范围是( )
A． B． C． D．
（全国初中数学联赛题）
思路点拨 设方程的根分别为1、，由三角形三边关系定理、韦达定理建立m的不等式组。

【例3】 已知关于的方程：
(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．
(2)若这个方程的两个实根、满足，求m的值及相应的、．
（苏州市中考题）
思路点拨 对于(2)，先判定、的符号特征，并从分类讨论入手．

【例4】 设、是方程的两个实数根，当m为何值时，有最小值?并求出这个最小值．
（第16届江苏省竞赛题）
思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．

注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．
根的分布
【例5】为实数，ac<0,且证明一元二次方程
有大于而小于 1 的根。
（全国初中数学联赛题）

[来源:学科网]

学历训练
基础务实
1．方程的两个实数根分别为 ．
（烟台市中考题）
2．已知关于x的方程有两个实数根，且 ．
（淮安市中考题）
3.设、是方程 的两个根，且 则
（南通市中考题）
4．关于x的一元二次方程的 两个实数根分别是的值是 （ ）
A.1 B.12 C.13 D.25
(包头市中考题)
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于的方程的两根，那么AB边上的中线长是( )
A． B． C．5 D．2
6．若关于x的方程有两个实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（天津市中考题）

7．已知关于的一元二次方程有两个实数根 。
（1）求实数m的取值范围。
（2）当时，求m的值。
（毕节市中考题）

8．已知关于的方程有两个实数根．
(1) 求p的取值范围；
(2)若，求的值．
（孝感市中考题）

能力拓展
9．已知方程的两根均为正整数，且，那么这个方程两根为 ．
（“祖冲之杯”邀请赛）
10．已知整数p,q满足且关于x的一元二次方程的两个根均为正整数，则p= ．
(“新知杯”上海市竞赛题)
11．△ABC的一边长为5，另两边长恰为方程的两根，则m的取值范围是 ． （四川省竞赛题）
12．对于一切不小于2的自然数n,关于x的一元二次方程的两根记为
则
（全国初中数学联赛题）
13．设的两个实数根，则的值为（ ）
A．-29 B．-19 C．-15 D．-9
（第21届江苏省竞赛题）
14．若方程 的一个跟大一1，另一个根小于1，则的值为 ( )
A.不大于1 B.大于1 C.小于1 D.不小于1
（2011年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）
15．若 ，且有的值为（ ）
A． B． C． D．
（全国初中数学联赛题）
16．设a，b为整数，并且一元二次方程x2+（2a+b+3）x+（a2+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax2+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β；那么，以α，β为根的整系数一元二次方程是（　　）
A．2x2+7x+6=0 B．2x2+x-6=0
C．x2+4x+4=0 D．x2+（a+b）x+ab=0
（2011年江西省竞赛题）
17．设时关于x的一元二次方程的两个实数根，求的最大值。
（全国初中数学竞赛题）

18．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a-1）x+2a2-1=0的两个实数根，其满足（3x1-x2）（x1-3x2）=-80．求实数a的所有可能值．
（2011四川省竞赛题）

综合创新
19、已知关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0的两根x1，x2满足x12-x22=0，双曲线y=（x＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D，与直角边AB交于C，求S△OBC．
（荆州市中考题）

20、已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值。
（2011年“《数学周报》”杯全国初中数学竞赛题）
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