仿真实验.doc

实验名称：受迫振动
一、实验简介
在本实验中，我们将研究弹簧重物振动系统的运动。在这里，振动中系统除受弹性力和阻尼力作用外，另外还受到一个作正弦变化的力的作用。 这种运动是一类广泛的实际运动，即一个振动着的力学体系还受到一个作周期变化的力的作用时的运动的一种简化模型。 如我们将会看到的，可以使这个体系按照与施加力相同的频率振动，共振幅既取决于力的大小也取决于力的频率。 当力的频率接近体系的固有振动频率时，“受迫振动”的振幅可以变得非常大，这种现象称为共振。 共振现象是重要的，它普遍地存在于自然界，工程技术和物理学各领域中．共振概念具有广泛的应用，根据具体问题中共振是“利”还是“害”， 再相应地进行趋利避害的处理。
二、实验目的
研究阻尼振动和受迫振动的特性,要求学生测量弹簧重物振动系统的阻尼常数，共振频率。
三、实验原理
1.受迫振动

图1 受迫振动
质量M的重物按图1放置在两个弹簧中间。静止平衡时，重物收到的合外力为0。当重物被偏离平衡位置时，系统开始振动。由于阻尼衰减(例如摩擦力)，最终系统会停止振动。振动频率较低时，可以近似认为阻力与振动频率成线性关系。作用在重物上的合力：

其中 k1, k2 是弹簧的倔强系数。
K = k1+ k2 是系统的等效倔强系数。
x 是重物偏离平衡位置的距离,
b 是阻尼系数。
因此重物的运动方程可表示为：

其中 and 。
在欠阻尼状态时( ) ,方程解为：

A, f 由系统初始态决定。方程的解是一幅度衰减的谐振动，如图2所示。

图2 衰减振动
振动频率是：
（1）
如果重物下面的弹簧 由一个幅度为a 的振荡器驱动，那么这个弹簧作用于重物的力是 。此时重物的运动方程为：

方程的稳态解为：
(2)
其中。图3显示振动的幅度与频率的关系。

图3 衰减振动幅度与振动频率关系
弱阻尼情况下，当 ，振动的幅度会很大，最大值出现在：
（3）
幅度衰减一半的区域 ：
（4）
2. 耦合振动

图4 耦合振动系统
图4是一个耦合振动系统，由3个倔强系数k和2个质量m的重物组成。系统有两个共振频率点，一种频率为，

此时两个重物运动方向一致。另外一种运动状态频率为，

此时两个重物运动方向相反。
四、实验内容及实验过程截图
1.测量弹簧倔强系数。
1）测量两根弹簧和砝码挂钩的质量。在实验场景中单击鼠标右键弹出菜单，对挂钩和弹簧进行称重。

图5 弹簧1称重 图6 弹簧2称重 图7 挂钩称重
2)按照实验原理中图1安装好振动系统，把较紧的弹簧放在面。
3)在砝码盘上添加砝码并记录砝码挂钩的偏移。使用砝码前先用电子天平称量砝码。使用鼠标选择砝码，并把砝码拖放在需要的位置。
4)画出质量m和挂钩偏移x的曲线，算出系统等效弹簧倔强系数K。
2.阻尼振动
1)调整挂钩上砝码质量,使弹簧的长度基本相等。
2)计算振动系统的本征频率 f o
3)连接好信号发生器和振荡器,打开信号发生器，设定频率为 f。 o 图8 设定信号发生器频率
4)调整合适的信号发生器输出振幅。当挂钩振幅峰峰值超过4cm后，关闭信号发生器。
5)当振幅峰峰值衰减到4cm后，打开计时器。
6）记录振幅峰峰值衰减到2cm时所需的时间 t1/2 ,计算阻尼系数 g 。
7）重复步骤3)到6),测量3次
8）测量50个全振动的时间。
9）计算系统的振动频率，并与公式(1)得到的频率相比较。
3.受迫振动
1）打开信号发生器,设定输出频率为 f o 。
2）调节信号发生器的输出使得振荡器输出振幅大约1mm(鼠标移动到振荡器上显示),等系统振动稳定后记下挂钩振幅峰峰值。
3）改变频率，重复步骤2.
4）根据记录数据做出振幅-频率曲线，求出振幅衰减一半的区域。所得数据与公式3,4计算的结果进行比较。
4.耦合振动
1）振动系统安装后向砝码盘上添加砝码,使每个砝码盘的总重量大约 50 g 。
2）打开信号发生器,设定频率为0.5Hz。
3）调节信号发生器的输出使得振荡器输出振幅大约1mm(鼠标移到振荡器上显示),等系统振动稳定后记下挂钩振幅的峰峰值。
4）改变频率从0.5 到5.0Hz，重复步骤4。
5）做出振幅-频率图，求出两个共振频率点。
五、实验数据及处理
表一测量各个构件的质量
构件
弹簧1
弹簧2
挂钩
质量/g
7.92
7.76
12.50
通过观察得，当所挂砝码质量m=199.95g时，两弹簧长度基本相等
故M+m+=217.7g
表二 测量系统等效弹簧倔强系数K数据
砝码质量m/g
0
10.02
20.09
30.09
40.11
49.09
59.97
80.25
100.07
120.16
150.16
直尺读数X0/cm
42.28
43.50
44.58
45.60
46.67
47.70
48.73
50.82
52.90
55.00
58.14
示数变化X/cm

1.02
2.10
3.12
4.19
5.22
6.25
8.34
10.42
12.52
15.66

图9 砝码质量m与钩码偏X(直尺示数变化)移量关系
通过matlab拟合得该直线斜率k=9.59，故系统等效弹簧倔强系K=9.59g/cm=9.59N/m
故振动系统的本征频率 ==1.103Hz
表三 振幅峰峰值衰减到2cm时所需的时间 t1/2
实验次数
1
2
3
测得时间
18.32
18.38
18.41
平均时间
18.37
=0.188
实验测得50次全振动时间t=47.84s,故系统的振动频率f=50/t=1.045Hz.
用公式一计算=1.102Hz 相比公式一结果实际测得值偏小

频率/Hz
0.500
0.600
0.800
0.900
1.000
1.100
1.200
1.300
1.400
1.600
振幅/mm
0.3
1.0
2.0
2.7
4.4
6.8
4.2
2.4
1.3
0.2

图10 振幅-频率曲线

公式三计算结果为：6.921/s 图中对应最大=2f=6.908/s
二者相差不大。
公式四计算结果为：0.651/s 图中对应=1.128/s一定误差
4、耦合振动
频率/Hz
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
振幅峰峰值/cm
1.5
2.6
8.5
4.9
2.1
3.5
5.6
6.8
4.2
1.7

图11 振幅峰峰值-频率
由图看出两个共振点（1.5,8.5）和（4,6.8）

2013.11

实验名称：良导体热导率的动态法测量
一．实验目的
1．通过实验学会一种测量热导率的方法。
2．解动态法的特点和优越性。
3．认识热波，加强对拨动理论的理解。
二．实验原理

实验采用热波法测量铜、铝等良导体的热导率。简化问题，令热量沿一维传播，周边隔热,如图1所示。根据热传导定律，单位时间内流过某垂直于传播方向上面积A的热量，即热流为

（1）

其中K为待测材料的热导率，A为截面积，文中是温度对坐标x的梯度,负号表示热量流动方向与温度变化方向相反．dt时间内通过面积A流入的热量

图1 棒 元
若没有其他热量来源或损耗，据能量守恒定律，dt时间内流入面积A的热量等于温度升高需要的热量，其中C，ρ分别为材料的比热容与密度。所以任一时刻棒元热平衡方程为

（2）
由此可得热流方程

（3）
其中，称为热扩散系数．
式（3）的解将把各点的温度随时间的变化表示出来，具体形式取决于边界条件，若令热端的温度按简谐变化，即

（4）
其中Tm是热端最高温度，w 为热端温度变化的角频率。另一端用冷水冷却，保持恒定低温，则式（3）的解也就是棒中各点的温度为

（5）
其中T0是直流成分是线性成分的斜率，从式（5）中可以看出：
1) 热端(x=0)处温度按简谐方式变化时，这种变化将以衰减波的形式在棒内向冷端传播，称为热波．
2) 热波波速： （6）
3) 热波波长： （7）
因此在热端温度变化的角频率已知的情况下，只要测出波速或波长就可以计算出 D．然后再由计算出材料的热导率K．本实验采用.式（6）可得
则
（8）
其中，f、T分别为热端温度按简谐变化的频率和周期．实现上述测量的关键是：1) 热量在样品中一维传播．2) 热端温度按简谐变化．
三．实验仪器
1. 仪器结构
样品选择
样品组
受控脉动热源
水冷装置
传感器阵列
主控
单元
信号调理
单元
手动、程控选择单元
A/D转换
计算机
电源组
X-Y记录仪（可选）
打印机（可选）
手动
程控
实验仪器结构框图见图2(a)，该仪器包括样品单元，控制单元和记录单元三大部分．实际仪器由两种工作方式：手动和程控．他们都含样品单元和控制单元，不同的只是记录单元．前者用高精度x-y记录仪，后者用微机实现对整个系统的控制、数据的采集、记录和绘图，学生自行数据处理．
图2(a) 热导率动态测量以结构框图
仪器主机由用绝热材料紧裹侧表面的园棒状样品（实验取铜和铝两种样品）、热电偶列阵（传感器）、实现边界条件的脉动热源及冷却装置组成，见示意图2(b)．样品中热量将只沿轴向传播，在任意一个垂直于棒轴的截面上各点的温度是相同的，于是，只要测量轴线上各点温度分布，就可确定整个棒体上的温度分布．温度的测量采用热电偶列阵．将热电偶偶端均匀插在棒内轴线处，两个相邻偶间距离均为2cm，为保持棒尾的温度恒定，以防止整个棒温起伏，用冷却水冷却．

图2(b) 主机结构示意图

图2(C) 热导率动态仪实物图

图2(d) 控制面板
2. 脉动热源及冷却装置
为实现热温度随时间做简谐变化，在样品棒的一端放上电热器，使电热器始终处于T/2开、T/2关的交替加热的状态，于是电热器便成了频率为 T的脉动热源(图3(a))。
由于存在热滞后，并不是加热器一停止加热，棒端温度就立刻冷却下来。为增加曲线变化幅度，由电脑控制“进水电磁阀门”使得在加热半周期时，热端停止供水；停止加热半周期时，热端供水冷却。为了保证冷却处于一个稳定的温度T0，冷断要一直保持供水。
当脉动热源加热到一定时间后，棒的热端就会出现稳定的幅度较大的温度脉动变化（图3(b)）．当热量向冷端传播时，根据傅里叶分解，则棒端温度为脉动形式：

（9）
式(9)说明T是由倍频的多次谐波组成，当这些谐波同时沿棒向冷端传播时，高次谐波迅速衰减，见图3(c)，约至6~7厘米后就只剩基波，其波形为

E
E
E
t
t
t

(a) (b) (c)
图3 简谐热端温度的形成

（10）
若取此处x=0，它就是边界条件式(4)
温差电偶列阵中各点均为由热端传来的与式（10）一样的热波．实验中还需提供一个周期与基波相同的方波做计算位相差的参考方波，用它参考求出波速V，已知周期T，可用式（8）计算K值．
3． 控制单元及作用
控制单元包括主控单元和相关几个单元，作用是：
1） 对来自热电耦的待测温度信号进行调理。
2） 提供“手动”和“程控”两种工作方式。仿真软件采用程控模式，操作软件控制实验的进行。
3） 提供周期为60，120，180，240秒的参考方波。
4） 控制加热器半周期开，半周期关的周期性供电。
5） 控制进水电磁阀门半周期热端停水，停止加热的半周期进水。
4. 数据记录
“程控”方式下数据自动发送到电脑进行记录和处理，处理过程参见“实验指导”中的“操作软件使用”。
四． 实验内容
测量铜棒和铝棒的导热率。

实验场景图
1． 打开水源，从出水口观察流量，要求水流稳定
1) 热端水流量较小时，待测材料内温度较高，水流较大时，温度波动较大。因此热端水流要保持一个合适的流速，大约200ml/分。仿真软件对应实验场景中表示流速的箭头 保持一个合适的大小（大小如“”即可）。
2） 冷端水流量要求不高，只要保持固定的室温即可。一般取200ml/分，仿真软件对应实验场景中表示流速的箭头保持对应的大小。
3） 调节水流的方法是保持电脑操作软件的数据显示曲线幅度和形状较好为好。
4） 两端冷却水管在两个样品中是串连的，水流先走铝后走铜。一般先测铜样品，后测铝样品,以免冷却水变热。
5) 实际上不用冷端冷却水也能实验，只是需要很长时间样品温度才能动态平衡。而且环境温度变化会影响测量。
水流调节在仿真软件中是通过在实验场景中鼠标点击对应水龙头完成的。

2． 打开电源开关，主机进入工作状态
在实验场景中通过鼠标右键弹出菜单，选择仪器电源开关。
3.“程控”工作方式
1) 完成前述实验步骤，调节好合适的水流量。因进水电磁阀初始为关闭状态，需要在测量开始后加热器停止加热的半周期内才调整和观察热端流速。

2) 打开操作软件。
操作软件使用方法参见“实验指导”中“操作软件使用”部分说明。

3) 接通电源。
在实验场景中鼠标右键弹出菜单，选择“打开电源”接通测量仪器电源。

4）在控制软件中设置热源周期T（T一般为180s）。选择铜样品或铝样品进行测量。测量顺序最好先铜后铝。

6) 设置x,y轴单位坐标。x方向为时间，单位是秒，y方向是信号强度，单位为毫伏(与温度对应)。

7) 在“选择测量点”栏中选择一个或某几个测量点。

8) 按下“操作”栏中“测量”按钮，仪器开始测量工作，在电脑屏幕上画出T~t曲线簇，如下图所示。上述步骤进行40分钟后，系统进入动态平衡，样品内温度动态稳定。此时按下“暂停”，可选择打印出曲线，或在界面顶部“文件”菜单中选择对应的保存功能，将对应的数据存储下来，供数据测量所用。“平滑”功能尽量不要按，防止信号失真。

9) 实验结束后，按顺序先关闭测量仪器，然后关闭自来水，最后关闭电脑。这样可以防止因加热时无水冷却导致仪器损坏。
铜的热导率测量：

铝的热导率测量：

4. 数据处理

测量数据额T~t曲线簇
计算机将该数据保存好后进行数据处理。从得到的T~t曲线簇中选取数条曲线进行处理，一般铜取6条，铝取5条。对取出的曲线测出其峰值。
上图中一共取了7条曲线，对应的测量点位置分别为l1=0cm, l2=2cm, l3=4cm,…l7=12cm，每条曲线对应峰值的时间分别为t1,t2,… t7。相邻曲线峰值对应的时间差和距离差分别为Dt和Dl。曲线1和6对应的时间差为t6-t1=5Dt,距离差为l6 – l1= 5Dl。则热波波速：。根据式（8）即可得到样品的热导率,单位是w/(m*K)。
1. 计算铜的热导率：

2. 计算铝的热导率：

五．注意事项
1．  仿真软件操作提示：在界面上单击鼠标右键或选择“实验帮助”，选择弹出菜单的“实验内容”、“实验指导”指导实验进行。鼠标在界面移动时，相应物体位置会出现提示信息。
2．   为防止因加热时无水冷却导致仪器损坏，实验前要首先打开冷热端进水龙头，实验结束时要先关闭测量仪器，然后关闭自来水，最后关闭电脑。
3． 实验中尽量保持热端水流稳定，以免水流波动导致系统无法达到动态平衡，从而影响测量结果。
4．  测量过程中，无法更改样品类型和热源周期，暂停时候可以更改加热周期。实验前选好热源加热周期，周期一般取180s。实验中尽量不要变动热源周期，以免破坏系统的动态平衡。
5． 实验中一次测量中超过最大时间长度9000s后，系统将自动停止测量。如果需要继续测量，请先保存当前数据后在“新建”新的数据文件进行测量。
6．  选择工具栏“刷新”功能，将按照当前操作软件设置刷新数据显示。
7．  按下“暂停”按钮后，加热器暂停加热，热端开始进水。暂停期间系统暂停测量数据。按下“测量”恢复运行时，当前时刻与暂停前时刻之间数据显示的一条直线表示暂停期间没有数据测量。
8．   按下“平滑”按钮平滑数据时，将覆盖当前数据。如果要保留当前数据，请在平滑前进行保存。
9．   为了避免残余高次谐波对测量的影响，在数据处理前最好先对数据曲线进行滤波处理。按下“滤波”按钮将对当前数据显示区内数据进行处理，处理结果中只保留当前显示区内的数据。如果需要保留其他数据，请在滤波处理前保存。
10．“滤波”处理时，要保证数据显示区内至少有2个完整周期的以上数据，否则将造成处理结果不理想。
11．按下“计算”按钮进入“ 数据处理”窗口系统认为本次测量结束，将自动停止测量。如果需要继续测量时，请关闭“数据处理”窗口后，重新建立一个数据文件，然后在开始测量。
12．按下“计算”按钮进入“ 数据处理”窗口时，系统把当前数据显示区的加热周期作为数据处理的加热周期。为了避免计算错误，数据来源的显示区内加热周期不要有变化。
六．思考题
1． 如果想知道某一时刻t时材料棒上的热波，即T~t曲线，将如何做？
答： 观察测量状态显示中的运行时间，到待测时间时，摁下操作栏中的暂停键即可得到某时刻材料棒上的热波。
2． 为什么较后面测量点的T~t曲线振幅越来越小？
答：高次谐波随距离快速衰减，所以较后面测量点的T~t曲线振幅越来越小。