笔算开立方和N次方.doc

今年在某次物理竞赛中忘了带计算器，需要计算开立方。当时不知道怎么笔算，所以只好一位一位地试。因此，我便想研究出一种开立方的笔算方法（我知道现在有，但是苦于找不到，所以只好自己来了）。

在刚开始研究是我不知道该如何入手，所以就去找了初二时候的代数书，里面有开平方笔算法和推导过程。它是这么写的：

在这里，我“定义”a^b=a的b次方。

(10a+b)^2 = 100a^2+20ab+b^2 = 100a^2+b(20a+b)

a代表的是已经计算出来的结果，b代表的是当前需要计算的位上的数。在每次计算过程中，100a^2都被减掉，剩下b(20a+b)。然后需要做的就是找到最大的整数b'使b'(20a+b')<=b(20a+b)。

因此，我就照着书里的方法，推导开立方笔算法。

(10a+b)^3 = 1000a^3+300a^2*b+30a*b^2+b^3 = 1000a^3+b[300a^2+b(30a%2

笔算开立方
一天，我遇到了一道需要用到的近似值的物理题。我没带计算器或《中学数学用表》，只好逐个计算一些数的立方，并与10比较，好不容易才把小数点后第二位数字确定下来。这促使我寻求笔算开立方的方法。
笔算开平方的方法我是掌握的。我想笔算开立方的方法应该与它有些关联，不妨先把笔算开平方的主要步骤回忆一下：
1． 将被开方数的整数部分从个位起向左每两位分为一组；
2． 根据最左边一组，求得平方根的最高位数；
3． 用第一组数减去平方根最高位数的平方，在其差右边写上第二组数；
4． 用求得的最高位数的20倍试除上述余数，得出试商。再用最高位数的20倍与试商的和乘以试商，若所得的积不大于余数，试商就是平方根的第二位数，若大于，就减小试商再试。
5． 用同样方法继续进行下去。
类似地，若要写出笔算开立方的法则，显然第1步中的“两”应改为“三”，第2、3步中的“平”应改为“立”，而第5步不变化。关键是第4步如何进行。
当天晚上，我想到完全平方公式是(a+b)2=a2+2ab+b2，完全立方公式是(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。于是我猜想“20倍”应该与“2ab”有关。我先后想出了几种可能的方法，经检验，都是行不通的。那么我有必要分析笔算开平方的本质。
以两位数为例，= (10a+b)2=100a2+20ab+b2。这里a代表平方根的最高位数，b代表试商。事实上，100a2已在第3步里被减去了。那么剩下的就是20ab+b2，即(20a+b)·b，也就是“求得的最高位数的20倍与试商的和再乘以试商”。这样，如果被开方数是(10a+b)2，那么最后所得的余数恰好为零；如果被开方数比(10a+b)2大，就把10a+b看作a继续进行下去。同样的道理，这个法则对多位数、一位数和小数也适用。
类似地，(10a+b)3=1000a3+300a2b+30ab2+b3，其中1000a3在开立方法则第3　步里被减去了。那么我就应该把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积，求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式的左边，用第3　步所得余数减去它们的和。举几个简单的例子验证一下：

(300=12×300×1 (600=12×300×2 (1200=22×300×1)
30=1×30×12 120=1×30×22 60=2×30×12
1=13) 8=23) 1=13)
为了进一步验证这种方法的正确性,我求出了的近似值,并与计算器的结果进行比照:
(为了书写简便,我把10.000……后面的“0”省略了。)

用这种方法算出10的立方根约等于2.1544，而计算器的结果是2.1544347，这说明求出的结果是正确的。
现将笔算开立方的方法总结如下：
1． 将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
2． 根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
3． 用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
4． 用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；
5． 用同样方法继续进行下去。
这种方法肯定早就有人发明了。其运算量相当大，实用价值也不高。但我毕竟是独立地发现了它。虽然欣喜无法与发现新大陆相比，但这至少使我体验到在数学世界中探索的快乐。
此后不久，我居然发现这种方法在期中考试中发挥了作用──
期中考试物理试卷中有这样一道题：“神舟”三号飞船的运行周期约是91分钟，地球半径约是6370㎞，求飞船的轨道高度（以km为单位，保留两个有效数字）。
这道题并不难。根据所学知识，我很快就列出方程，并求出了结果的表达式。经过近似计算和约分、化简，结果大约是(1000-6370)㎞。我想大多数同学能够算到这里，而对于就束手无策了。
但它难不倒我。我运用了笔算开立方的方法。由于法则是自己总结的，所以记得很牢，用起来也得心应手。很快，我求出≈6.7，最终结果约是3.3×102㎞。严格地说，这个答案是不可靠的。要保证最终结果的第二个有效数字准确，应该把计算到百分位。但因时间有限，且300这个数本身就是不准确的，我只好这样写。后来我看到答案，知道我的结果是正确的。
我感到高兴，因为我自己发现并总结出的规律在考试中得到应用。我觉得这种笔算开立方的方法不能为大家所知似乎是个遗憾。但它的应用似乎仅限于这类由周期求轨道半径的物理题，除此之外，别的意义很是寥寥。换言之，这种方法仅是雕虫小技而已。然而探索的过程使我体会到初步的数学研究方法，或许将有更大的意义──因为“对真理的探求比对真理的占有更为可贵”。
举例说明: 17开立方.首先求17以内的最大立方数为2^3=8,17-8=9,在9的后面加上三个0,9000
在9000范围内,设立方根的第二位是A,则用2A*A*2*30+A^3,此算式不>9000,A=5,及立方根的第二位是5用9000-7625=1375,在1375后面加上三个0来求立方根的第三位,
设第三位是B,则用25B*25*B*30+B^3,则B=7,及1375000-1349593=25407,依此类推,求第四位的算式是257C*257*C*30+C^3,可以算出C=1,及25407000-19822411=5584589,在往下5584589000求第五位.17立方根的1前四位是2.571。
2571D*2571*D*30+D^3,D=2

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徒手开n次方根的方法:
原理:设被开方数为X,开n次方,设前一步的根的结果为a,现在要试根的下一位,设为b,
则有:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c(前一步的差与本段合成);且b取最大值
用纯文字描述比较困难,下面用实例说明:
我们求 2301781.9823406 的5次方根:
第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;
23'01781.98234'06000'00000'00000'..........
从高位段向低位段逐段做如下工作:
初值a=0,差c=23(最高段)
第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即b^5<=23,且为最大值;显然b=1
差c=23-b^5=22,与下一段合成,
c=c*10^n+下一段=22*10^5+01781=2201781
第3步:a=1(计算机语言赋值语句写作a=10*a+b),找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(10+b)^5-10^5<=2201781,
b取最大值8,差c=412213,与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=412213*10^5+98234=41221398234
第4步:a=18,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:(180+b)^5-180^5<=41221398234,
b取最大值7
说明:这里可使用近似公式估算b的值:
当10*a>>b时,(10*a+b)^n-(10*a)^n≈n*(10*a)^(n-1)*b,即:
b≈41221398234/n/(10*a)^(n-1)=41221398234/5/180^4≈7.85,取b=7
以下各步都更加可以使用此近似公式估算b之值
差c=1508808527;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=1508808527*10^5+06000=150880852706000
第5步:a=187,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(1870+b)^5-1870^5<=150880852706000,
b取最大值2,差c=28335908584368;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=2833590858436800000
第6步:a=1872,找下一个b,
条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n<=c,即:
(18720+b)^5-18720^5<=2833590858436800000,
b取最大值4,差c=376399557145381376;与下一段合成,
c=c*10^5+下一段=37639955714538137600000
....................
最后结果为:18.724......
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开立方
百科名片
求一个数的立方根的运算法，叫做开立方。最早在我国的九章算术中有对开立方的记载。
笔算开立方的方法
方法一
　　1．将被开立方数的整数部分从个位起向左每三位分为一组；
　　2．根据最左边一组，求得立方根的最高位数；
　　3．用第一组数减去立方根最高位数的立方，在其右边写上第二组数；
　　4．用求得的最高位数的平方的300倍试除上述余数，得出试商；并把求得的最高位数的平方的300倍与试商的积、求得的最高位数的30倍与试商的平方的积和试商的立方写在竖式左边，观察其和是否大于余数，若大于，就减小试商再试，若不大于，试商就是立方根的第二位数；
　　5．用同样方法继续进行下去。
方法二
　　第1、2步同上。
　　第三步，商完后，落下余数和后面紧跟着的三位，如果后面没有就把余数后面添上三个0；
　　第四步，将要试商的数代入式子“已商数×要试商数×（10×已商数+要试商数）×30+要商数的立方”，最接近但不超过第三步得到的数者，即为这一位要商的数。
　　然后重复第3、4步，直到除尽。
编辑本段开方算法的历史记载
九章算术
　　《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样．所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何．”“答曰：二百三十五步．”这里所说的步是我国古代的长度单位。
开立方原文
　　开立方
　　〔立方适等，求其一面也。〕
　　术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。
　　〔言千之面十，言百万之面百。〕
　　议所得，以再乘所借一算为法，而除之。
　　〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕
　　除已，三之为定法。
　　〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕
　　复除，折而下。
　　〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者，
　　方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百，
　　折下一等也。〕
　　以三乘所得数，置中行。
　　〔设三廉之定长。〕
　　复借一算，置下行。
　　〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕
　　步之，中超一，下超二等。
　　〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长，
　　故又降一等也。〕
　　复置议，以一乘中，
　　〔为三廉备幂也。〕
　　再乘下，
　　〔令隅自乘，为方幂也。〕
　　皆副以加定法。以定法除。
　　〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕
　　除已，倍下，并中，从定法。
　　〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅
　　连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕
　　复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。
　　〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕[1]
编辑本段手算开根号原理
方法
　　1、数m开n次方，n位一节为一根，前根均作a, a后需求的根均作b；前根a的位数不断增长，后根b永远作一位根视；直至开尽或开至所需要的位数。
　　2、首位a根用1～9内n方诀直接确定随后就无a根系列的事了；或用双根或多位根作a；即将约小于被开数的乘方数的幂底整数值作为a根，再求b=x】b根用“标准固律方程式”或“简易求b方程式”求。
原理
　　正向乘方式：m=（a+b）n=an+bn+s【s根据n的数字而定值，n为上标，文本网显示不出来，希理解。因没有设置“上下标功能”或没有安装“公式编辑器”所致，特说明。】
　　逆向开方时：m－an=bn+s=xn+s；m－an－bn=s；
　　如　二次方的s=2ab；
　　三次方的s=3abD【D=a+b】
　　五次方的s=5abD（D2－ab）【D=a+b；前面的2为上标，特说明。】
　　其它任意次方的固律参数照推【本文不介绍，望理解】。
　　即：bn=m－an－s=c－s【c为可知数，s、bn为潜态可知数】正规解法与过程可看原正规文：《关于“连续统假设”的“算术公理的无矛盾性”证明》中的lan3《高方直开法与直开式的方程解》篇。
　　例如：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）= m=a3+b3+3abD【D=a+b】
　　所以：（a+b）3=m=a3+b3+3abD【D=a+b】〖注：3为上标。特说明。〗
　　其他任意高次方的转换方式理同最简单、用式最短的三次方原理实用式记法。
　　但m开3次方时，这个原公式帮不上忙了，即必须进行转换。
　　因此成：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=a3+b3+3ab（a+b）=m= a3+b3+3abD【D=a+b】，
　　而后面转换成为m=a3+b3+3abD【D=a+b】，则m开方时就有同二次方一样的公式[求根式]可用了，在任意高次方中理同二次方无异。
　　也即在实际开高次方或无穷大指数〖上标数〗时，或高次方程的运算过程中【注意：求b=x根就是科学上的各种一元n次方的标准方程式】，《结构数学》都将现代数学式中的式子按照“结构原理”进行了处理与转换，使它都按照统一规律形式的规律型公式去表达，目的：便于快速简洁的进行运算，并符合“算术公里的无矛盾性标准”。
注意
　　m=（a+b）2=a2+b2+2ab=aa+bb+2ab；这个2ab就是二次方的S；所以二次方都会解！
　　而：
　　m=（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2=aaa+bbb+3aab+3abb=a3+b3+3ab（a+b）= a3+b3+3abD【D=a+b】；这个3abD就是三次方的S；懂此者就如同二次方一样都会解！
　　又如，m=（a+b）5=a5+b5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4= a5+b5+5abD(D2-ab)
　　五次方的S=5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4。
　　而这些3ab（a+b）=3abD=S；5abD(D2-ab) =5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4=S，这个S就是高次方程解的奥秘。
　　在无穷大次方中，你知道了S，那么高次方的解同二次低方解的S=2ab的方式、方法没有任何区别的简单的不值一文钱了，也没有任何解的障碍或称为难题的必要了。
开立方公式
　　设A = X^3，求X。这称为开立方。开立方有一个标准的公式：
　　X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角标）
　　例如，A=5，即求
　　5介于1的3次方、2的3次方之间（因为1的3次方=1，2的3次方=8）
　　初始值X0可以取1.1，12，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我们取X0 = 1.9按照公式：
　　第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。
　　即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位数值，即1.7。
　　第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。
　　即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.011.71。取3位数，比前面多取一位数。
　　第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
　　第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
　　这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值
　　偏小，输出值自动转大。即5=1.7099^3;
　　当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，……，1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。 1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。
　　如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。即
　　X(n + 1) = Xn + (A / Xn − Xn)1 / 2.
　　例如，A=5：
　　5介于2的平方至3的平方之间。我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。
　　第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
　　即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。
　　第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
　　即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位数。
　　第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。
　　即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.
　　每一步多取一位数。这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。
5次方公式
　　这里顺便提一下5次方公式。
　　X(n+1)=Xn+(A/X^4-Xn)1/5 . (n，n+1是下角标）
　　例如：A=5;
　　5介入1的5次方至2的5次方之间。2的5次方是32，5靠近1的5次方。初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9。例如我们取中间值1.4；
　　1.4+（5/1.4^4-1.4)1/5=1.38
　　1.38+（5/1.38^4-1.38)1/5=1.379
　　1.379+(5/1.379^4-1.379)1/5=1.3797
　　计算次数与精确度成为正比。即5=1.3797^5。
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立方表在没有计算机之前出现的时候，相对于手算开方，人们多用两种方法：
一种是牛顿迭代法，比如方程x^3－a＝0，先有一个x1和x2，其中x1^3-a<0，x2^3-a>0，在图像上把x1和x3两个点相连，和x轴有个交点，记为x3，那么x3相对于x1和x2接近所求的值，然后再连接x3和x2……这样下去迭代4～6次之后可以得到所要的精度，只需要乘法和触法的运算
另外一种方法是用多项式近似的方式，当求得一个数a的开三次方的时候，比a多一个小量x的开方
（a＋x）^1/3≈（a^1/3）（1＋x/3a），实际上使用更精确的公式来计算