李帮运《建模现状与研讨》.doc

高中数学建模教学现状与研讨
光谷第二高级中学 李帮运
【摘要】 数学模型就是用数学的语言和方法对各种实际问题作出抽象或模仿而形成的一种数学结构,将所考察的实际问题转化为数学问题,建立相应的数学模型,通过对数学模型的研究和解答,
【关键词】： 数学模型 中学数学建模 实际问题 等量关系 增长率

数学建模作为一种解决问题的思想方法，是实际问题与抽象的数学知识间的一个转化过程，在教学与实际生活中都具有非常重要的地位.数学应用意识和能力作为数学素养的重要组成部分，一直受到人们的广泛关注。但是，在平时的教学和考试中发现学生数学建模意识和建模能力的现状不容乐观。应用题的得分情况并不尽如人意，数学应用能力上存在的一些问题，主要表现在以下几个方面：（1）数学阅读能力差，误解题意。（2）数学建模方法需要提高。（3）数学应用建模意识有待加强。（4）老师的教学理念和教学方法陈旧。随着我国新一轮数学课程改革的不断深入，对学生解决实际问题能力的培养被提到了前所未有的高度，新的课程标准把增强学生应用数学的意识作为总体目标的一个重要方面，同时给数学建模教学提出了更高的要求，在数学建模过程中，不仅要使学生掌握数学模型的概念及建模的方法和技能，而且要培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型相联系的能力。那么高中的数学建模教学应如何进行呢？，以下是笔者几点不成熟的看法：
（一）语文与数学相结合，提高审题的能力
现在涉及到实际生活背景的数学应用题，大部分题目较长，加上图表、分步设问，题目字数多，信息量大，数量关系复杂。由于阅读能力的限制，部分学生审题时不能够瞻前顾后，往往是读了后面的忘记了前面的，不能够正确的分析题意，找出已知量和未知量。面对一道应用题，审题后感觉到茫然失措，导致放弃或粗略的解答该题。为了培养学生的阅读能力，数学教师讲解应用题时，大有必要帮助学生分析题目所给信息，分辨出哪些是有用信息，哪些是干扰信息，从而逐步提高学生的审题能力。
（二）理论与实践相结合，增强问题的趣味性
数学源于现实，学习数学的目的就是为了解决实际生活中所遇到的问题。教师在讲解每章或每节时不妨设计好带着与现实生活密切相关的问题引入课题，因为这样可以激发学生的求知欲望，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力。否则数学只能变成数字、公式、概念、定理的堆砌物，变得枯燥乏味。例如：在讲分段函数这一节时完全可以用“出租车记费”，“公用电话记费”引入。指数函数这一节时可以用“细胞分裂”引入。研究三角函数时可以用“潮汐与港口水深”引入等等。教师有意识的提出构造问题，对这些实际生活问题加以分析和解决，以培养学生的数学应用意识。
（三）在教学中传授学生初步的数学建模知识。
　　中学数学建模的目的旨在培养学生的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的学习、工作打下坚实的基础。在教学时将数学建模中最基本的过程教给学生：利用现行的数学教材，向学生介绍一些常用的、典型的数学模型。如函数模型、不等式模型、数列模型、几何模型、三角模型、方程模型等。教师应研究在各个教学章节中可引入哪些数学基本模型问题，如储蓄问题、信用贷款问题可结合在数列教学中。教师可以通过教材中一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。
　　例如在学习了二次函数的最值问题后，通过下面的应用题让学生懂得如何用数学建模的方法来解决实际问题。例：客房的定价问题。一个星级旅馆有150个客房，经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为160元时，住房率为55%，每间客房定价为140元时，住房率为65%，
每间客房定价为120元时，住房率为75%，每间客房定价为100元时，住房率为85%。欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价？
[简化假设] （1）每间客房最高定价为160元；（2）设随着房价的下降，住房率呈线性增长；（3）设旅馆每间客房定价相等。
[建立模型]　设y表示旅馆一天的总收入，与160元相比每间客房降低的房价为x元。由假设（2）可得，每降价1元，住房率就增加10％÷20=0.005。因此y=150×(160-x)(0.55+0.005x)由0.55+0.005x≦1可知0≦x≦90 ，于是问题转化为：当0≦x≦90时，y的最大值是多少？
[求解模型]利用二次函数求最值可得到当x=25即住房定价为135元时，y取最大值13668.75（元），
[讨论与验证]（1）容易验证此收入在各种已知定价对应的收入中是最大的。如果为了便于管理，定价为140元也是可以的，因为此时它与最高收入只差18.75元。（2）如果定价为180元，住房率应为45%，相应的收入只有12150元，因此假设（1）是合理的。
（四）培养学生的数学应用意识，增强数学建模能力
首先，学生的应用意识体现在以下两个方面：一是面对实际问题，能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，学习者在学习的过程中能够认识到数学是有用的二是认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用：生活中处处有数学，数学就在他的身边。其次，关于如何培养学生的应用意识：在数学教学和对学生数学学习的指导中，介绍知识的来龙去脉时多与实际生活相联系。例如，日常生活中存在着“不同形式的等量关系和不等量关系”以及“变量间的函数对应关系”、“变相间的非确切的相关关系”、“事物发生的可预测性，可能性大小”等，这些正是数学中引入“方程”、“不等式”、“函数”“变量间的线性相关”、“概率”的实际背景。例如，当学生乘坐出租车时，他应能意识到付费与行驶时间或路程之间具有一定的函数关系。鼓励学生运用数学建模解决实际问题。首先通过观察分析、提炼出实际问题的数学模型，然后再把数学模型纳入某知识系统去处理，当然这不但要求学生有一定的抽象能力，而且要有相当的观察、分析、综合、类比能力。通过教师长期的潜移默化，经常渗透数学建模意识，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。
（五）课堂内与课堂外相结合 再现知识的抽象过程
数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。不同于传统的教学模式，数学建模课程指导思想是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。大部分数学教师在上数学课时只采用内堂即只在教室内上课，虽然我目前还是走的老路，但是，我个人认为，有许多数学问题的解决完全可以组织学生上外堂。走出教室，让学生亲自感受问题的解决过程。如：对行程问题、追及问题、相遇问题的处理，可以把学生带到操场上、马路上，亲自实践，采用步行、骑自行车、坐出租车等方式。学习分期付款时，可以把学生领到附近的银行去了解、调查有关利率、复利的计算等问题。研究有关溶解度的问题时，可以把学生带进化学实验室，在化学教师的辅助下操作，通过学生亲手实践，获得第一手数据，并进行加工整理，从而解决相关的数学问题。走出教室上数学课完全有必要。因为这样学生可以通过和相关人员进行交谈、了解，从而调查许多数据，学习许多在课堂上学不到的知识，让他们亲自实践和感受许多数学问题的解决过程，认识到这一个过程并不是抽象，而是可操作的。若能够逐渐进行培养的话，可以建立许多数学模型。日积月累，学生的知识面可以拓广，从而对应用题不再感到陌生、恐惧，让他们再现数学的抽象过程。
　 （六）在教学中注意相关学科知识的相互渗透
　　在数学建模教学中应该重视选用数学与物理、化学、生物、美学等知识相结合的跨学科问题和大量与日常生活相联系(如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、运动等方面)的数学问题，从其它学科中选择应用题，通过构建模型，培养学生应用数学工具解决该学科难题的能力。例如，高中生物学科以描述性的语言为主，有的学生往往以为学好生物学是与数学没有关系的。他们尚未树立理科意识，缺乏理科思维。比如：他们不会用数学上的排列与组合来分析减数分裂过程配子的基因组成；也不会用数学上的概率的相加、相乘原理来解决一些遗传病机率的计算等等。这些需要教师在平时相应的课堂内容教学中引导学生进行数学建模。因此我们在教学中应注意与其它学科的呼应，这不但可以帮助学生加深对其它学科的理解，也是培养学生建模意识的一个不可忽视的途径。又例如教了正弦函数后，可引导学生用模型函数写出物理中振动图象或交流图象的数学表达式。
　　最后，为了培养学生的建模意识，作为中学数学教师应首先需要提高自己的建模意识。中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。中学教师只有通过对数学建模的系统学习和研究，才能准确地的把握数学建模问题的深度和难度，更好地推动中学数学建模教学的发展。

　　参考文献:
　　1.《问题解决的数学模型方法》北京师范大学出版社，1999.8
　　2.普通高中数学课程标准（实验），人民教育出版社，2003.4
　　3.《初等数学建模》四川大学出版社。2004.12