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第八章 真空中的静电场 y F21 F31 q4 q1 O F41 x FQ1 Q q3 q2 图 8-18-1 在正方形的四个顶点上放置四个等量正电荷要想在此正方形的中心再放置一个负电荷，使在每个电荷上的合力为零，此负电荷的量值应为多少？分析 本题是应用库仑定律求解电荷受电场力的平衡问题注意到库仑定律表达式是矢量式，求解时，通常可以建立直角坐标系，将各力投影在两正交方向上，得到各分量之间的代数关系式；也可以直接用矢量合成关系得出相同的结果因为正方形四个顶点上的点电荷带电量相等，负电荷Q置于正方形中心，因此电荷分布具有明显的对称性，四顶点上的点电荷受力大小相同，而且两坐标方向分量的方程应具有相同的表达形式解1 设a为正方形边长，取如图8-1所示的Oxy坐标系以表示电荷所受的合力在x方向的分量，表示其它电荷对它的作用力在x方向的分量，根据题意，合力的在x方向分量的代数和为零，有应用库仑定律，可得电荷所受其它电荷对它的力在x方向的分量，代入上式得解2 由图8-1知与电荷所受另三力的合力均在对角线方向上，故在该方向上力的平衡方程为 应用库仑定律，可得上式中各力的量值，则有亦有 8-2 电荷量为等值同号的两个点电荷之间距离为 2l，求其连线的中垂面上电场强度最大处到两电荷连线中点的距离 y E E2 E1 （0, y） q q l O l x图8-2分析 因两电荷等量同号，由于对称性，在连线中垂面上，以连线中点为圆心的圆上各点电场强度大小相等，方向沿径向只需求出电场强度沿径向的分布规律，电场强度最大处应满足极值条件解 以两点电荷连线中点O为原点, 轴沿连线方向，轴为中垂面上任一径向，取如图8-2所示的坐标系E1、E2分别为两点电荷在轴上任意点处产生的电场强度，由于对称性，合场强(0, y)沿y正向，y轴上任意点的合场强为j其中 ，故 电场强度最大处应满足极值条件，令，得解得 因轴为中垂面上任一径向，无须取负值，则极值位置为又由计算可得，故在位置为处E有极大值，即在中垂面（x=0）上场强最大处是以O为中心，半径为的圆8-3 半径为R的一段圆弧，圆心角为，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，单位长圆弧上所带电荷量分别为和，求其圆心处的电场强度分析 当电荷沿一细线连续分布时，电荷线密度为，须将带电细线分为足够小的一系列电荷元，每一电荷元都可视为点电荷设r为电荷元dq到空间某点的径矢，则场强叠加原理给出该点场强为沿电荷分布曲线L的矢量积分，通常应取平面直角坐标系，将矢量积分化为两标量积分进行计算在解题时应该注意到，电荷分布的对称性往往会使问题得到简化 + dl + + O x - dE dE dE dl y 图8-3解 以带电圆弧的圆心为原点，取如图8-3的Oxy坐标系，带正电的圆弧上电荷元的角位置为，在圆心处的场强为，与之对称的带负电的圆弧上电荷元角位置为，在圆心处的场强为不难看出，与相抵消，与相等，即电荷元dq在圆心处电场强度的大小为应用场强叠加原理，得8-4 均匀带正电荷圆环，半径为R，电荷线密度为，其上有一长度为的缺口，试求轴线上距环心x处P点的电场强度分析 根据场强叠加原理，完整的圆环在处的电场强度应等于带缺口的圆弧在x处的场强与缺口弧元在该点场强的叠加因例题8-3已经给出了完整的圆环在处的电场强度，而且对于弧元，因，可以视为一个点电荷，所以带缺口圆弧在轴线上处的电场强度应等于完整的圆环在处的场强与视为点电荷的弧元在该点场强的矢量差 y d -E2y E O x E1 x R E2y E2 图84解 取如图8-4所示的O坐标系，轴在圆环轴向，使缺口与圆心连线在O平面内利用例题8-3结果，完整带电圆环在x处的场强沿方向，即其中由点电荷场强表达式，带电量为的点电荷在x处的场强为 ， 带缺口圆弧在轴线上处的电场强度应等于完整的圆环在处的场强与弧元在该点场强的矢量差，即，并得两坐标方向的分量表达式为方向与x轴正向夹角为8-5 一半径为的均匀带电细圆环，一半电荷线密度为，另一半电荷线密度为，求轴线上距环心处的电场强度（假设电荷是不能移动的）. dq y A dE dE dEy O x dEx dEx x dEz zB dq （a） （b）图85分析 根据电荷分布的对称性，在带电细圆环上取任一条直径的两端等量异号电荷元，它们在轴线上距环心处的电场强度沿轴线方向的分量大小相等方向相反，故相互抵消，而垂直于轴线的分量互相加强但是，这些成对的电荷元在处的电场强度垂直于轴线的分量方向却各不相同，均匀分布在一个半圆区域内，与各电荷元在圆环上的位置有关所以，还必须在垂直于轴线的平面内进行矢量叠加，才能求出整个圆环在处的电场强度解 取圆环的轴线为x轴，在圆环上距正负电荷分界点A的张角为处取电荷元，直径的另一端等量异号电荷元为，它们在处的电场强度沿轴线方向的分量和大小相等方向相反，相互抵消，如图8-5（a）所示，而垂直于轴线的分量则互相加强由点电荷场强表达式得在垂直于轴线的平面内，以OA方向为z轴正向，可得的投影如图8-5（b）所示，则有，对带正电荷的半圆环积分的2倍，就是整个圆环在处的电场强度，即得处的电场强度方向为y轴正向8-6均匀带电细棒，棒长l = 20cm，线电荷密度求：（1）棒的延长线上与棒的中点相距L = 18cm处的电场强度；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d = 8cm处的电场强度 y dEQ dE dE Q d dx x dx P dEP O L x 图8-6分析 当电荷沿一细线连续分布时，须将带电细线分为足够小的一系列电荷元，空间某点电场强度为沿电荷分布曲线L的矢量积分当计算细棒延长线上某点的电场强度时，细棒上各电荷元在该点的电场强度方向相同，均沿延长线方向，矢量积分将简化为标量积分，而不论细棒上的电荷分布是否均匀当计算细棒的垂直平分线上某点的电场强度时，由于电荷分布的对称性，均匀带电细棒中点两边对称位置处的电荷元在该点的电场强度沿棒长方向的分量将互相抵消，只需计算垂直于棒长方向的分量由于电荷分布关于中垂线为对称，对中垂线上距原点远的Q点，不仿作出它们在Q点产生的场元，dE，dE,不难看出， Q点电场的积分因此而简化，结果必沿轴正向.解 （1）取Oxy坐标系如图8-6所示，在细棒上坐标x处取宽的电荷元，细棒延长线上的P点与电荷元的距离为，在P点产生的电场强度大小为细棒在P点产生的电场强度大小为方向沿轴正向（2）在细棒上和处取对称的两个电荷元和，它们在Q点产生的电场强度分别为dE和dE， 如图8-6所示它们的方向分量相互抵消，方向分量相互加强，叠加后得到沿方向的合场强dEQ，其大小为细棒在Q点产生的电场强度大小为方向沿y轴正向8-7 有一沿x轴放置的无限长分段均匀带电直线，电荷线密度分别为和，求y轴上距坐标原点为d处的电场强度分析 与上题的方法类似，当计算该带电直线y轴上某点的电场强度时，由于电荷分布的对称性，均匀带电直线原点两边对称位置处的电荷元在该点的电场强度垂直于棒长方向的分量将互相抵消，只需计算沿棒长方向的分量 y dE P dEP dE d dq dq + + + + + + + + + + O 图 8-7解 如图8-7所示，在x轴上取以原点为对称的两电荷元及，它们在y轴上距坐标原点为d处的电场强度分别为和，由于对称性，它们的y方向分量相互抵消，而方向分量叠加合成为该带电直线在P点产生的电场强度大小为方向沿正向，即 Ej8-8 电荷线密度为的无限长均匀带电直线，中部弯成半径为R的四分之一圆弧，求圆弧的圆心O点的电场强度 x dE1 x dE A O dE dq dE dE2 dq A R R dE dq B B l dq(a) (b)图 8-8分析 由于整个带电线以过圆心对半分割圆弧垂直带电线平面的平面为对称，可以确定圆心处的电场强度应沿圆弧等分点指向圆心的方向按照电荷分布特征，分别计算圆弧和两段直带电线在O点的场强，再叠加求和较为简便解先计算圆弧AB在O点的场强如图8-8（a）所示，取圆弧等分点指向圆心的方向为x轴对称的两电荷元及在O点电场强度分别为和，由于对称性，它们叠加后的合场强沿方向，大小为整个圆弧部分在O点电场强度的大小为再计算两段直带电线在O点的场强如图8-8（b）所示，取圆弧等分点指向圆心的方向为x轴对称的两电荷元及在O点电场强度分别为和，其中到B点距离为l由于对称性，它们叠加后的合场强沿方向，大小为由几何关系可得，则，代入上式并积分，得两段直带电线在O点的场强为由场强叠加原理，O点处的总场强大小为方向沿轴正向 O dq L x x 图8-98-9 均匀带电圆盘，电荷面密度为，半径为R，在其轴线上放置一均匀带电细杆，电荷线密度为，长为L，求圆盘轴线上距盘心x（设xL）处的电场强度分析 由于已经计算过圆盘轴线上的电场分布和带电细杆延长线上的电场分布，两者的叠加就是所要求的电场强度分布情况解 以盘心为原点，x轴沿轴向，如图8-9所示例题8-4给出，均匀带电圆盘轴线上距盘心x处的场强沿轴正向，大小为应用习题8-6中的方法，在细杆上距盘心l远处取电荷元，它在距盘心x远处产生的电场强度大小为方向沿轴正向整个细杆在该点产生的电场强度大小为叠加后x处的电场强度大小为方向沿轴正向当x变化时，上式反映了x轴上E随坐标x的变化规律8-10 半径为R的半球面，均匀带有电荷，电荷面密度为，求其球心处的电场强度 分析 电荷呈面分布，把半球面分割为中心均在轴上半径连续变化的一系列细圆环带，球心处的电场强度是这一系列细圆环带在该点电场强度的叠加 dl R r O 图 8-10 解 如图8-10所示，取半径为r，宽度为的细圆环带，面积为，带电量为例题8-3给出半径为r，带电量为q的细圆环轴线上距环心x远处的电场强度为作代换：，细圆环带在球心O点的电场强度大小为 方向沿对称轴向半球面在球心O点的电场强度大小为 若半球面带正电，则O点电场强度方向沿对称轴向右 H R r A x dx 图 8-11 8-11 圆锥体底面半径为R，高为H，均匀带电，电荷体密度为，求其顶点A点的电场强度分析 把电荷按体积连续分布的圆锥体分割为半径连续变化（从而到锥顶A点的距离也连续变化）的一系列圆盘，顶点A处的电场强度是这一系列圆盘在该点电场强度的叠加 解 例题8-4给出半径为r、电荷面密度为的带电圆盘轴线上距盘心为x远处的电场强度的大小为 （1）如图8-11所示，在距A为x远处取厚度为的薄圆盘，半径为r，面积为，体积为，因为一无穷小量，薄圆盘上电荷面密度，代入（1）式，得薄圆盘在A点产生的电场强度为利用几何关系，对上式积分得圆锥体在A点的电场强度为方向为沿对称轴向 R 2R S1 Q 图8-12 8-12在半径为R，高为2R的圆柱面中心处放置一点电荷q，求通过此柱面的电场强度通量 分析 在本题中，用直接积分法求电场强度通量比较困难根据点电荷电场分布的球对称性，如果以为半径作一球面与圆柱相切，如图8-12所示，不难看出，高为2R的球台侧面的电通量与同高的圆柱侧面的电通量相同由于球面上各点场强大小相等，方向均垂直于球面，所以球面上面积相同的部分电通量必定相同又因为已知以点电荷为中心的球面的电通量，问题就归结为计算球台的侧面积解 半径的球面积为，高的球台侧面积为以点电荷为中心的球面的电通量为，则该圆柱侧面的电通量为8-13 电荷面密度为的均匀带电平板，以平板上的一点O为中心，R为半径作一半球面，如图所示，求通过此半球面的电场强度通量 R O 图8-13分析 无限大带电平板两侧的电场强度大小为，方向垂直于带电平板，但是本题中带电平板面积有限，空间各点的电场强度方向和大小都难以确定，所以不可能用积分的方法计算半球面的电场强度通量不过，带电平板两侧的电场是对称的，如果在平板另一侧补上另一半球面合成一个球面，则通过两个半球面的电通量相同，等于整个球面总电通量的一半即使平板上电荷分布不均匀，平板两侧的电场仍然是对称的，只要知道半球面所覆盖的电荷量，也同样可以计算出半球面的电场强度通量解 在平板另一侧补上另一半球面，形成一球面，其包围的电荷为图中阴影部分，即半径为R的圆面上所带的电量，由高斯定理，通过球面的总电通量为所以，通过半球面的电通量为8-14 有半径为R，电荷量为q的均匀带电球体，求其球内外各点的电场强度 S2 E dr r r R R S1 R r(a) (b) (c)图 8-14分析 因为电荷分布具有球对称性，所以电场分布也具有球对称性，在与带电球同心、半径为r的球面上各点的电场强度大小相等，并垂直于球面沿径向，因此可以应用高斯定理计算电场分布本题还可以用场强叠加原理积分求解将均带电球体分割为半径连续变化的一系列同心薄球壳，其中任一薄球壳都可视为均匀带电球面由于已知均匀带电球面内部电场强度为零，外部电场分布与位于球心处的点电荷的相同，方向沿径向，故可以用标量积分求出本题结果解1 应用高斯定理计算电场分布（1）球体内的电场强度球体体积为，均匀带电，电荷体密度如图8-14(a)所示，作半径为r的球形高斯面S1，所包围的球体体积为，包围的电荷量为，设半径为r处的场强为，由高斯定理得得 （2）球体外的电场强度 作半径的球形高斯面，包围电荷量为，由高斯定理得得 表明均匀带电球体外任一点场强与假设全部电荷集中在球心的点电荷产生在该点的场相同根据以上结果可作场强分布曲线如图8-14(b)所示注意到在r=R处场强是连续的解2 用场强叠加原理积分求解（1）球体内的电场强度在球体内取半径为，厚度为的薄球壳，如图8-14(c)所示，体积为，带电量为在距球心r，远处产生的场强为在处产生的场强为零所以球内处的场强是半径的所有薄球壳在该处产生的场强的叠加，积分得（2）球体外的电场强度球外处的场强是整个球内所有薄球壳在该处产生的场强的叠加，积分得结果与解1相同8-15 均匀带电球壳内半径为6cm，外半径为10cm，电荷体密度为210-5C/m3，求距球心为5cm、8cm及12cm各点的电场强度SC SB R1 R2 SA图8-15分析 与上题相同，由于电荷分布具有球对称性，所以电场分布也是球对称的，在半径为r的同心球面上各点场强大小相等，沿径向，可以用高斯定理求解本题也同样可用场强叠加原理，由均匀带电球面的场强积分求出空间场强分布解 球壳内外半径分别为R1= 0.06m，R2=0.10m，题中所求三点到球心的距离分别为=0.05m,=0.08m, =0.12m分别以、为半径作球形高斯面SA、SB、SC，如图8-15所示由于电场分布的球对称性，对各球面的高斯定理表达式均可写为 (1)（1），即，在面内包围的电荷，代入(1)式得EAEA=0（2）rB，即，在SB面内包围的电荷为代入(1)式得 代入数字得 （3），即，在SC面内包围的电荷为代入(1)式得代入数字得 R1 R2 SC SA h SB图8-168-16 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1和R2（R2R1），带有等值异号电荷，单位长度的电荷量为和，求距轴线r处的电场强度，当：（1）；（2）；（3）分析 因为电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也是轴对称的，即在半径为r的无限长圆柱面（与带电体共轴）的侧面上各点电场强度大小相等，方向垂直于侧面沿径向，故可用高斯定理求解由于例题8-6已经给出了无限长均匀带电圆柱面的电场分布，可以将其结果作为既有公式，应用场强叠加原理计算带有等值异号电荷的两同轴长圆柱面产生的电场解1分别两柱面内、两柱面间和两柱面外作高为h的柱面形高斯面SA、SB、SC，如图8-16所示由于电场分布的轴对称性，上下两底面上的场强方向与底面平行，对通量没有贡献，故对各柱面的高斯定理表达式均可写为 （1）（1）时，高斯面SA内包围的电荷，代入(1)式得 （2），高斯面SB内包围的电荷，代入(1)式得（3），高斯面内包围的电荷，代入(1)式得EC = 0解2 利用例题8-6的结果，两无限长均匀带电圆柱面的在各自柱面内的场强为零，在各自柱面外的电场强度分别为 ， 两柱面的电场叠加后，得（1）时 （2）时 （3）时 E SA x SB x 0 d/2 x （a） （b）图8-178-17 一厚度为d的均匀带电无限大平板，体电荷密度为，求板内外各点的电场强度.分析 由于均匀带电厚板是无限的，所以其电场具有对称性厚板平分面两侧电场强度垂直于平板，与平分面距离相同的各点场强相等因此可以应用高斯定理计算电场分布解 作高为2x，侧面垂直于平板，两底平行于平板、底面积为S的的柱形高斯面，如图8-17(a)所示由于侧面与电场线平行，无电场线穿过，则有 (1)（1） 厚板外的场强时，柱面SA内包围的电荷，代入(1)式得即均匀无限大带电厚平板板外的电场是均匀电场（2） 厚板内的场强时，柱面SB内包围的电荷，代入(1)式得 厚板内外场强分布曲线如图8-17(b)所示8-18一半径为R的无限长均匀带电半圆柱面，电荷面密度为，求：（1）轴线上任意点的电场强度；（2）若结果又如何？ dl dl R y dE dE x 图 8-18分析 无限长半圆柱面可以沿轴向分割成一系列无限长带电条带，由例题8-6给出的无限长带电直线的电场分布，用场强叠加原理可以求半圆柱面轴上的场强解（1）作与轴线垂直的截面并建立如图8-18所示的坐标系，在处取宽为的无限长带电条带，其单位长所带电荷量为，利用例题8-6给出的结果，它在轴线上产生的场强大小为在与对称的位置上取宽为的另一长直带电条带，它们在轴上的场强分别为和，由于对称性，它们的y方向分量相互抵消，x方向分量相互加强，如图所示，所以带电半圆柱面在轴线上O点的电场应沿x方向，大小为（2）若（为常量），半圆柱面上电荷分布以x轴为对称，所取对称位置上宽为和的无限长带电条带上的电荷线密度相同，均为，在轴线上产生的场强大小为它们的y方向分量仍然相互抵消，x方向分量相互加强，得8-19 如图所示，在Oxy平面上有一沿y方向的无限长带电板，宽度为L，电荷面密度为为一常量，求（1）x=0直线上的电场强度，并讨论时的情况；（2）x=b直线上的电场强度分析 把无限长有限宽的带电板分割成一系列带电条带，同样由例题8-6给出的无限长带电直线的电场分布，用场强叠加原理可以求解解 （1）在位置处取宽为的长直带电条带，单位长带电量为，利用例题8-6结果，它在处产生的场强为 0 x x dx d L b 图8-19方向沿x轴向由于分割出来的各带电条带在处的场强均沿x方向，应用场强叠加原理，无限长带电板在处产生的场强大小为当时，根据近似公式（2）由于处取宽为的长直带电条带与的直线相距，故方向沿x轴向8-20在边长为10cm的等边三角形的三顶角上，各放有等量电荷，电荷量均为（1）计算此三角形中线交点处的电场强度和电势；（2）将的电荷从无穷远处移到中心点，电场力作了多少功？ q a q q 图8-20 分析场强是矢量，而电势是标量，要用矢量叠加法求点电荷系的场强，用标量叠加求其电势当电荷分布于有限区域时，往往选无穷远点为电势零点电场力所作的功等于电荷始末位置的电势能之差解 （1）根据等边三角形的几何特征，任意两个等量同号电荷在三角形中线交点处产生的场强之矢量和正好与第三个同号等量电荷在该点的场强等大反向，如图8-20所示，故由场强叠加原理得中心处O点场强又由电势叠加原理和点电荷电势公式，该点电势为其中r为点电荷到等边三角形中线交点之距，则（2）无穷远点为电势零点，电荷在无穷远处电势能为零，则移到三角形中心电场力作功为 + + + + + + + + + + E 图8-218-21 两块带有等值异号电荷的大金属平行板，相距为15cm，负极接地（即以地球电势为零），电荷面密度求：（1）正极板的电势；（2）两极板之间距正极板为8cm处的电势；（3）把的电荷从正极板移到负极板，电场力作了多少功？分析 应用例题8-7的结果，忽略边缘效应，两板间电场可视为两个无限大均匀带等值异号电荷平面间场强，为匀强电场，方向从正极指向负极，如图8-21所示负板接地后电势为零，由电势的定义，两极间任一点的电势等于该点到负极板的距离与场强的乘积解 （1）正极板的电势为（2）两板间距正极板为8cm处的电势为（3）电荷从正极板移到负极板，电场力作的功等于极板间电势差与电荷量的乘积，即8-22如图8-22所示的电四极子，q和l都为已知，P点到电四极子中心O处的距离为r，求P点处的电势，并由电势求电场强度 +q 2q +q P -l O l r 图8-22分析 在点电荷系电场中，由电势叠加原理可求出空间各点的电势由场强与电势的微分关系可求出P点的场强解 三个点电荷在P点的电势分别为 由电势叠加原理，得P点的电势为当电四级子的电荷间距比P点到四极子中心的距离小得多，即时，得其中，称为电四极矩由于P点电势只是r的函数，由电场强度与电势的微分关系知P点电场强度一定沿r方向，大小为8-23 一半径为R 非均匀带电半圆环，电荷线密度为（为一正常数），求环心处的电场强度和电势，若电荷线密度为，结果又会怎样？ y dl dl dE O x dE 图 8-23 分析 半圆环上电荷分布不均匀，但是或的函数，因此必定以过的平分线为奇对称或偶对称，在计算电场强度和电势时，充分利用对称性，可以使计算过程大大简化解（1）在圆环上对称位置和处分别取弧元和，在环心O点产生的场强分别为和，如图8-23所示，它们的y方向分量相互抵消，x方向分量相互加强的电荷量，在O点场强的x方向分量为半圆环在O点的电场强度大小为方向沿x轴负向因为，电荷分布以y轴为奇对称，显然，弧元和的正负电荷在O点的电势相互抵消，所以半圆环在O点的电势为零（2）如果，用同样的分析方法知O点电场强度的x方向分量为零，场强沿y轴负向弧元在O点场强的y方向分量为半圆环在O点的电场强度为 弧元在O点的电势为半圆环在O点的电势为 dx q R x O x H 图 8-248-24 均匀带电圆柱面，半径为R，高为H，电荷量为q，求底面中心处的电势分析 把有限长圆柱面分割成一系列细圆环，利用例题8-8的均匀带电圆环轴线上的电势表达式，叠加积分可得圆柱面轴线上的电势分布解如图8-24所示，以底面中心为原点，轴线为轴，在处取一宽为的细圆环例题8-8给出均匀带电圆环轴线上的电势为 (1)细圆环带电量为，在(1)式中作代换，得细圆环带在O点的电势为带电圆柱面在O点的电势为8-25 计算半径为R，电荷量为q的均匀带电球体的电场中任一点的电势.分析 题8-14已经计算出均匀带电球体内外电场分布，由场强和电势的积分