栅格法三维六面体网格局部加密算法.pdf

第22卷第4期2010年4月计算机辅助设计与图形学学报Journal of Computer2Aided Design&Computer GraphicsVol.22 No.4Apr.2010收稿日期:2009-04-25;修回日期:2010-01-11.基金项目:国家自然科学基金(50875155).黄丽丽(1982-),女,博士研究生,主要研究方向为金属塑性成形过程数值模拟算法;赵国群(1962-),男,博士,教授,博士生导师,主要研究方向为CADCAMCAE、数值模拟算法;王忠雷(1977-),男,博士研究生,讲师,主要研究方向为数值模拟及软件开发.栅格法三维六面体网格局部加密算法黄丽丽1),赵国群1),王忠雷1,2)1)(山东大学模具工程技术研究中心 济南 250061)2)(山东建筑大学机电学院 济南 250101)(huang0539 )摘要:有限元数值分析的精度和效率与网格单元的划分质量以及疏密程度密切相关,针对三维六面体网格单元之间疏密过渡必须平缓和协调的要求,提出了一套基于8分法的六面体网格加密模板,并给出了相应的数据结构和模板应用方式.为使所有加密单元都有相对应的加密模板,建立了加密信息场调整规则;对需要进行加密的区域首先补充加密单元,按照节点加密属性调整加密信息场,然后根据单元加密属性对加密单元进行分类,按照全加密单元、面加密单元、边加密单元以及过渡加密单元的顺序依次采用相应的模板进行加密,从而实现三维六面体网格的局部协调加密.实例结果表明,采用该套加密模板的六面体网格局部加密算法能够保障密集网格向稀疏网格的平缓和协调过渡,所生成的网格可满足有限元数值计算的要求.关键词:六面体网格;自适应;协调加密;模板中图法分类号:TP391G rid2B ased Local Refinement Algorithm of Three2Dimensional H exahedral MeshesHuang Lili1),Zhao Guoqun1),and Wang Zhonglei1,2)1)(Engineering Research Center for Mould&Die Technology,Shandong University,Jinan250061)2)(Institute of Electrical and Mechanical,Shandong A rchitectural University,Jinan250101)Abstract:The accuracy and efficiency of finite element numerical analysis have close relationship withthe mesh quality and density distribution.In order to ensure the hexahedral mesh transition graduallyand conformably,a set of 82refinement based density control templates is proposed newly.Thecorresponding date structure and template application techniques are also given.Adjustment rules arebuilt for conversion of every element in the refinement field to a corresponding 82refinement baseddensity controltemplate.Fortheregions toberefined,therefinementelements are firstlysupplemented.Secondly,the refinement fields are adjusted according to the node refinement attribute.Thirdly,the elements to be refined are classified into all refinement element,face refinement element,edge refinement element and transition refinement element according to the element refinementattribute and then refined with the corresponding template respectively.Thus the local refinement ofall2hexahedral meshes can be realized.The examples show that the local refinement algorithm canguarantee the gradual and conformal transition from dense meshes to sparse meshes by using the 82refinement based density control templates.The generated mesh can satisfy the requirement of finiteelement numerical analysis.Key words:hexahedral mesh;adaptive;conformal refinement;template 随着计算机技术的发展,有限元法、有限体积法和有限差分法等数值方法已经成为计算科学与工程问题的重要方法.而有限元网格生成则是数值分析软件前处理部分的关键问题,其任务是将分析的物体离散成有限数量的单元组合.对于三维问题,通常采用四面体、六面体或二者混合单元进行网格划分.由于三维六面体网格在计算精度、划分网格数量及抗畸变程度等方面比四面体网格具有明显的优势122,因此六面体网格成为三维问题分析的首选网格.有限元网格的质量直接影响着数值分析的精度和效率.网格的质量既包括单元网格的质量,也包括整体网格的质量,即合理的网格密度分布.国内外许多学者致力于六面体单元网格自动生成方法的研究326,目前大多数网格划分方法并没有涉及到网格密度控制,即使考虑到网格密度,在控制网格疏密程度及网格过渡平稳性方面也都不完善.在众多六面体网格划分方法中,栅格法因具有较高的自动化和易于网格局部加密的优点被广泛应用.Zhang等7已将栅格法成功地应用于三维六面体网格自适应生成过程,并得到较高质量的网格.本文以栅格法为基础,重点研究了基于网格密度控制的三维六面体网格局部加密算法,提出了一套新的基于8分法的六面体网格加密模板,并给出了相应的加密信息场调整规则及详细的局部加密实现步骤.1 六面体网格的局部加密算法1.1 模 板网格单元之间的相容性是网格生成算法的基本要求之一.通常采用插入加密模板来实现加密区域网格单元的协调过渡.六面体网格加密的模板种类很多,其中最具代表性的是Schneiders8提出的一套基于八叉树加密模板,如图1所示,其中黑点表示加密点.该套加密模板分为全加密、面加密、边加密和点加密4种模板,适用于六面体网格的局部细分.之后,文献9211在Schneiders模板的基础上提出了类似的模板.本文把这种全加密时将一个单元细分为27个子单元的加密方式称为27分法.基于27分法的加密模板能够实现模型的疏密过渡,但网格由密集网格过渡到稀疏网格时比较急促,过渡区域的网格在进行有限元差值计算时会使结构刚度矩阵和质量矩阵的元素相差太大,增大了数值计算误差.Schneiders12曾提出过一套基于8分法的加密模板,即在全加密时将一个单元细分为8个子单元,如图2所示.基于8分法加密的思想在网格由密集网格过渡到稀疏网格时网格尺寸变化比较平缓,有利于有限元网格差值计算的要求.针对图2中应用该套加密模板中的面加密模板生成的网格质量较差的问题,本文提出了一套新的基于8分法的加密模板,如图3所示.图1Schneiders提出的基于27分法的模板图2Schneiders提出的基于8分法的模板图3 基于8分法的加密模板图4 六面体表面的加密模板 一个六面体单元有6个表面,在图3所示的5个加密模板中,每个模板加密单元的表面细分模式都有其他的模板与之对应,所有表面可能出现的细分模式如图4所示,按照四边形表面被细分的数目,分别定义为四分面、三分面、二分面和零分面.图3中的加密模板(如图3 b,3c,3 d所示)通常需要2个单元组合应用(当加密单元位于模型边界时可单独应用),而这3种模板都包含有三分面.当2个加密316第4期黄丽丽,等:栅格法三维六面体网格局部加密算法单元的三分面以图4e所示的方式组合时,称之为面对面(face to face,FTF)组合,当2个加密单元的三分面以图4 f所示的方式组合时,称之为背靠背(back to back,BTB)组合,如表1中的第4列所示.表1 模板应用情况单元加密属性节点加密属性加密模板应用方式(A0)零加密(A)全加密(B)面加密(C)边加密(C1)(C2)(C3)(D)过渡加密(D1)(D2)根据加密信息场中单元8个节点的加密属性,应用图3中提出的模板得到如表1所示的模板应用情况,其中实心圆点表示待加密节点,空心方点表示亚加密节点.首先根据单元的加密属性把单元分为零加密单元、全加密单元、面加密单元、边加密单元以及过渡加密单元;然后根据每个单元中8个节点的加密属性来确定应用哪种加密模板.表1中,横向第2栏为零加密单元的加密情况,即当单元中没有加密节点时不对单元进行加密,应用零加密模板;横向第3栏为全加密单元的加密情况,即当单元中8个节点都需要加密时应用图3 a所示模板,该模板称为全加密模板,应用全加密模板一次,将母单元分为8个子单元;横向第4栏为面加密单元的加密情况,即当单元8个节点中有4个节点需要加密且该4个加密节点共面时,应用图3 b所示模板,该模板称为面加密模板,应用面加密模板一次,将母单元分成6个子单元(此时需要注意的是,面加密模板需要成对应用,应用方式如表1中横向第4栏纵向第4列所示);横向第5栏为边加密单元的加密情况,即当单元8个节点中有2个共边节点需要加密时,根据所遇到的不同情况,分别应用图3 c,3 d,3 e所示模板:图3 c模板应用一次,将母单元分成4个子单元,图3 d模板应用一次,将母单元分成3个子单元,图3e模板应用一次,将母单元分成2个子单元,其中3c和3 d模板也是需要成对应用的,应用方式如表1中横向第5栏纵向第4列所示;横向第6栏为过渡加密单元的加密情况,当所有全加密单元、面加密单元和边加密单元都完成加密后,由于面加密单元和边加密单元所应用模板的特殊性(成对应用),会衍生出一些新的加密点,称之为亚加密点,因此就会出现一些含有亚加密点的过渡单元,根据过渡单元所含有亚加密点的情况分别应用图3 c,3 d所示模板,应用方式如表1中横向第6栏纵向第4列所示.表2所示为图3中各个加密模板的新增单元数目和新增节点数目列表.表2 应用一次加密模板后新增单元和节点数目模板新增单元个数新增节点个数3a7193 b5133c373 d263e14416计算机辅助设计与图形学学报 第22卷1.2 根据模板调整加密信息场一个六面体单元有8个节点,因此根据其节点的加密属性排列组合共有28种情况,除去对称情况外还有22种,即需要22种加密模板,但并不是所有的模板都能将母单元分解成全六面体子单元.本文提出的图3所示5种加密模板适合全六面体单元的细分,但是基于网格节点的初始加密信息场中单元的加密情况远远多于这5种情况,所以必须对初始的节点加密信息场进行调整,使得图3中的5种模板满足加密信息场中的任意情况.图5 基于8分法的局部加密过程图表3所示为六面体单元的节点加密属性调整规则.表3 节点加密属性调整规则初始节点加密属性对应节点加密属性1.3 应用8分法加密模板局部加密过程下面以一个简单的例子介绍应用8分法加密模板进行局部加密的步骤,如图5所示.1)补充加密单元应用8分法对六面体单元进行加密时,由于面加密单元和边加密单元需要成对地应用加密模板,即加密单元需要成对出现,因此初始加密单元应满足:每个加密单元至少有3个面相邻的加密单元,且3个面相邻的单元必须共点.如图5 a所示,加密单元E,e1,e2,e3是根据加密规则补充的3个面相邻且共点的加密单元.2)调整加密信息场补充完加密单元后,按照节点加密属性调整规则调整加密信息场,使所有单元的加密节点属性都能满足加密模板所对应的加密节点属性.调整规则参照表3.3)对加密单元进行分类,完成一级加密对所有的加密单元按单元加密属性分为全加密单元、面加密单元和边加密单元,如图5 b所示.按照先对全加密单元进行加密,再对面加密单元进行加密,最后对边加密单元进行加密的顺序进行加密,此步称为一级加密.图5 c中E1为一组面加密单元,此组面加密单元由4个面相邻且加密面在同一平面的面加密单元组成,应用图3 b模板按照FTF516第4期黄丽丽,等:栅格法三维六面体网格局部加密算法的组合方式完成加密,E2和E3加密组同理.由图5 c可以看出,E12为与面加密组E1,E2面相邻的边加密组,E12的上表面与E1面加密组的二分面重合,E12的右表面与E2的三分面重合,因此E12边加密组符合图3 d加密模板,可按照表1中的FTF组合方式进行加密处理;E23为与面加密组E2,E3面相邻的边加密组E23的上表面与E3面加密组的二分面重合,E23的左表面与E2的二分面重合,因此E23边加密组符合图3e加密模板,可按该加密模板进行加密处理.E13为与面加密组E1,E3面相邻的边加密组,E13的左表面与E1面加密组的三分面重合,E13的右表面与E3的三分面重合,因此E13边加密组符合图3c加密模板,可按照表1中的FTF组合方式进行加密处理.4)完成二级加密对过渡单元进行加密,此步称为二级加密.如图5 d所示,单元E1,E2,E3,E4本来不是加密单元,但一级加密完成后,会产生一些新的加密点(图5 d中实心圆点所示)以及亚加密点(图5 d中空心方点所示),对包含这些加密点和亚加密点的单元,即过渡单元,根据节点加密属性选择合适模板进行加密.图5 d中的E1和E2在加密面上都包含2个共线的加密点和2个共线的亚加密点,符合图3 d模板,因此E1和E2这一对单元按照表1中的FTF组合方式进行加密处理.E3和E4在加密面上包含3个亚加密点,符合图3c模板,因此E3,E4这一对单元按照表1中的FTF组合方式进行加密处理.2 网格质量评价本文采用单位化雅可比矩阵行列式的值来衡量网格单元的质量.由于一个六面体单元有8个节点,本文采用8个节点中雅可比行列式的最小值Jmin作为一个网格单元的质量指标.六面体单元的单位化雅可比矩阵行列式值的值域为-1+1,正值是有限元单元网格的最小容许值.当雅可比矩阵行列式的值在0.2+1范围内时,网格单元质量良好,在0.5+1范围内则是非常优秀的单元划分结果.网格从密集网格过渡到稀疏网格时,只有过渡区域的网格质量良好才能保障有限元数值计算的精度和效率,第1.1节中提到图2中的面加密模板质量较差,应用单位化雅可比矩阵行列式值对该模板生成的7个单元进行计算,每个单元的Jmin值如表4所示.表42种面加密模板单元的Jmin值比较子单元图2 b模板图3 b模板10.5773500.70710720.7071070.70710731.0000001.00000040.7071071.00000050.4000000.70710760.7071070.70710770.707107 表4中,第2列为Schneiders提出的面加密模板每个子单元的雅可比行列式最小值Jmin,第3列为本文提出的面加密模板每个子单元的雅可比行列式最小值Jmin.可以看出,Schneiders提出的面加密模板将每个母单元细分为7个子单元,每个子单元的Jmin值大小不一,其中第3个子单元质量最好,Jmin值为1,第5个子单元质量最差,Jmin值为0.4;本文提出的面加密模板将每个母单元细分为6个子单元,其中第3,4个子单元的单元质量最好,Jmin值为1,其余4个子单元质量稍差,Jmin值为0.707 107,总体来说,本文的单元质量要优于Schneiders提出的面加密模板单元质量.因此,本文所提出的面加密模板不但单元数量少,而且单元质量明显要好,能够更好地保障有限元计算的精度和效率.3 应用实例在上述研究的基础上,我们开发了基于8分法加密模板的六面体网格局部加密算法程序,并将其应用于不同工程领域的实体模型六面体网格生成过程,验证了加密模板的有效性.下面给出2个典型的六面体网格加密实例.实例1.图6所示为一个轴承底座网格划分实例图,分别应用基于27分法加密模板和基于8分法加密模板的局部加密算法生成三维六面体网格.图6 a中,网格数目为20480,可以看出,由密集网格向稀疏网格的过渡比较快,在过渡区域疏密网格的体积差值较大;图6 b中,网格数目为8 152,对实体模型进行局部加密后,由密集网格向稀疏网格过渡平缓,在过渡区域疏密网格的体积差值较小,有利于有限元差值计算的要求.图7对图6a,6 b中2个六616计算机辅助设计与图形学学报 第22卷面体网格的质量进行了比较,结果表明,六面体网格中雅可比矩阵行列式的值在0.71.0之间的单元占单元总数目的百分比由70.79增长到86.91.由此可以看出,采用基于8分法加密模板进行局部加密,生成的网格不仅数量少而且网格质量得到了提高,更符合数值模拟计算的要求.图6 轴承底座网格实例图图7 图6a,6 b中网格质量比较 实例2.图8所示为一个控制臂网格划分实例图,分别应用基于27分法加密模板的局部加密算法和基于8分法加密模板的局部加密算法,网格划分程序根据要划分区域的边界曲率大小及模型厚度对实体模型进行自适应加密.图8 a中,网格数目为20 338,网格单元的雅可比行列式最小值Jmin为0.381 740;图8 b中,网格数目为9 366,网格单元的雅可比行列式最小值Jmin为0.428 153.可以看出,当分别采用2种方法进行一次加密后,基于8分法的加密模板在得到较高质量六面体网格的同时网格数目也较少.图9比较了图8 a,8 b中2个六面体网格的质量.结果表明,六面体网格中雅可比矩阵行列式的值在0.71.0之间的单元占单元总数目的百分比由89.32增长到94.76.因此,基于8分法加密模板的局部加密算法更符合有限元计算的要求.图8 控制臂网格实例图图9 图8a,8 b中网格质量比较716第4期黄丽丽,等:栅格法三维六面体网格局部加密算法4 结 论本文提出了一套基于8分法的加密模板,建立了相应的加密信息场调整规则.应用该套加密模板,在实体大曲率或具有物理特性的区域能有效地进行六面体网格局部协调加密,确保网格由密集网格到稀疏网格的过渡平缓和协调,有利于有限元网格差值计算的需求.与采用基于27分法加密模板的局部加密算法相比,采用基于8分法加密模板的局部加密算法生成的六面体网格单元数量少、网格质量高,更符合有限元数值模拟计算的要求.采用基于8分法加密模板的局部加密算法对实体模型进行加密后,得到的网格最大单元与最小单元尺寸比为2n1(n=1,2,3,).采用基于27分法加密模板的局部加密算法进行加密后,得到的网格最大单元与最小单元尺寸比为3n1(n=1,2,3,).因此,结合应用基于8分法加密模板和基于27分法加密模板的局部加密算法,可根据用户对网格密度的不同要求,实现网格密度为n1的网格单元加密,n可取2m,3m或6m(m=1,2,3,),从而使得网格加密更加灵活、稀疏过渡更加均匀.参考文献(References):1 Benzley S E,Perry E,Merkley K,et al.A comparison ofall2hexahedral and all2tetrahedral finite element meshes forelastic and elasto2plastic analysis C Proceedings of the 4thInternational Meshing Roundtable,Albuquerque,1995:17921912 Guan Zhenqun,Song Chao,Gu Yuanxian,et al.Recentadvances 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