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光学元件的损伤阈值
光学元件激光损伤阈值是衡量光学元件抗激光破坏能力的重要指标，但从高功率激光装置的应用角度上讲，损伤阈值并不是一个全面充分的指标。公认的标准对损伤的定义是能被规定的损伤诊断装置所观察到，由激光引起的光学元件表面或内部特征永久性变化。一般采用微分相称显微镜观察，十微米左右的损伤，而损伤阈值的界定是和测量方法和判断标准有关，所谓测量方法主要是激光参数和测试数据量的设定，判断标准就是什么样的情况算损伤，一般将损伤阈值定义为发生零损伤概率的最高激光能量密度。
光学元件损伤阈值的测试方法包括1-on-1，R-on-1，N-on-1和S-on-1，如图2所示。
a）1-on-1，即元件的每一个测试点上只辐照一个单脉冲；
b）S-on-1，即用相同的激光能量脉冲以相同的时间间隔（激光脉冲重复频率）在元件上的同一点上辐照多次；
c）N-on-1，即激光能量脉冲由小到大地增加，辐照在元件的同一点上。在相邻的每个激光脉冲之间，可以没有一个固定的时间间隔；
d）R-on-1，即用很小的等幅线性增加的激光能量以相同短时间间隔在元件的同一点上辐照多次。
其中，1-on-1和S-on-1测试方式通常被作为测试熔石英损伤阈值的测试方法，在国际标准11254中有明确的阐述。N-on-1和R-on-1方式常被用作对熔石英进行激光预处理的激光辐照方式。

图2 四种损伤测试方法示意图
1-on-1测试方法是目前最普遍采用的元件损伤阈值测试方法，国际标准11254中定义的测试基本步骤是：
a）用相同能量的单脉冲，分别照射测试元件上的m个点（m不小于10），每个点只辐照一次，每个辐照点用相衬显微镜观测是否出现损伤，记下m个测试点中发生损伤的点数n，得出这个能量密度下损伤几率为n/m。
b）改变能量，同样测出该能量密度下的损伤频率。要求测出多个能量点的损伤频率，其中包含损伤频率为零和损伤频率为100%的能量点。
c）以激光能量密度为横轴，以损伤频率为纵轴，得出损伤频率与激光能量点的分布散点图。
d）用最小二乘的直线拟合并外推到零损伤几率，这时零损伤几率所对应的激光能量密度即为1-on-1测试法的零几率损伤阈值，如图3所示。

图3 1-on-1零几率损伤阈值的拟合示意图
准确地说，不同测试方法获得的损伤阈值其内涵是不同的，测试结果也有可能是不同的。因此我们在使用损伤阈值这一术语时，最好能明确其测试方法，例如损伤阈值明确地区分为零几率损伤阈值、R-on-1损伤阈值、N-on-1损伤阈值和S-on-1损伤阈值，而不要以损伤阈值笼而统之。
根据1-on-1测试方法，选取N个测试点进行激光损伤测试，保持激光其它参数不变，逐步提高激光通量，记录每个激光通量下损伤点的个数，直至产生N个损伤点或损伤个数不再增加。则
(2-1)
不失一般性地假设缺陷在元件表面随机分布且互相独立，则缺陷个数的空间分布遵从泊松分布
(2-2)
由泊松过程定义：对任何，增量服从参数为λ的泊松分布，则在辐照面积内，有个缺陷的几率为

(2-3)
其数学期望值等于
(2-4)
缺陷的存在是损伤的必要而非充分条件，但由于技术的限制，实验中无法预先发现杂质，只能测量损伤点。可从几率观点探讨两者关系如下：
a)假设单个缺陷的损伤没有几率性：在辐照通量高于其损伤阈值时，缺陷一定损伤，则缺陷等效于损伤。在辐照面积s内没有缺陷点/损伤点的几率，即安全的几率，为
(2-5)
所以辐照面积s内的损伤几率为 (2-6)
为杂质的期望个数。
b)假设单个缺陷的损伤存在几率性：可定义单个缺陷在其损伤概率为p时的激光通量为损伤阈值。则辐照面积s内有k个缺陷的概率服从参数为的泊松分布；每个点的损伤的概率为，且彼此独立，则服从二项分布。可证明，s内有r个损伤点的概率服从参数为的泊松分布。
证明：为元件缺陷的数量，且
(2-7)
为 k个缺陷中损伤的数量
(2-8)
则s内有r个损伤点的概率为
(2-9)
式2-22中当时，和a)中无几率假设的形式一样。所以，不论单个杂质的损伤是否存在几率性，缺陷都可等效于损伤，区别只是在λ上乘以一个系数。为简便起见，以下讨论都认为缺陷等效于损伤，两者一一对应。
2）缺陷的损伤阈值分布/损伤密度随通量的分布
在假设缺陷/损伤点数在元件表面为泊松分布的同时，认为缺陷的损伤阈值也有一个分布,C为杂质点的密度，F为阈值通量(J/cm2)。N可以写为
, (2-10)
s为光束辐照面积, 为辐照面积内各种杂质中最低的损伤阈值，F为激光辐照的通量。所以，有
(2-11)
为损伤几率P和杂质的阈值分布的关系。
可见损伤几率函数与辐照面积有关。一块元件，如果测试区域口径不同，损伤概率也不同。总的来说，小区域的损伤概率低，大区域的损伤概率高。这是由缺陷的随机分布确定的：在小区域内找到缺陷的几率一定会小于在大区域内找到缺陷的几率。而缺陷损伤阈值的分布C(F)与辐照面积无关，是元件表面质量的指标，可作为一个不变量，并以此在不同口径下得到的损伤几率曲线间变换。
对F求一阶导数得到的是阈值分布的概率密度函数。在不知道的形式时，对不同的光束空间分布，可以从P(F)得到f(F)：
a)空间高斯光束
(2-12)
(2-13)
所以
(2-14)
对上式的指数项进行计算，得：

(2-15)
所以
(2-16)
两边同时对F求导，有：
左边： (2-17)
右边： (2-18)
所以，得：

(2-19)
所以，损伤几率随通量F的变化规律为
(2-20)
可解出f(F)
(2-21)
b)空间平顶光束，同样有：
(2-22)
(2-23)
所以
(2-24)
(2-25)
实际上，缺陷群的颗粒半径分布严格来讲是不连续的，但是当数目很大时，可以认为是连续的。由不同大小的颗粒组成的分散颗粒系的尺寸分布有多种形式。常见的分布有正态高斯分布、对数正态高斯分布、上限对数正态分布等。而针对抛光再沉积层中的杂质，这类在打磨过程中形成微粒的尺寸分布，是典型的Rosin–Rammler分布,也称Weibull分布，由Rosin和Rammler在1933年研究磨碎煤粒的颗粒尺寸分布时首先提出的。其概率密度函数和分布函数的形式为
(2-26)
， (2-27)

图2. 5 Rosin–Rammler分布的概率密度函数(左)和分布函数(右)
是归一化后的形式，为半径小于的颗粒的比例。
由2-12，吸热颗粒的损伤阈值和尺寸成正比。又因为缺陷密度随尺寸为Rosin–Rammler分布，所以，与的关系也应满足这个分布。即
(2-28)
这是归一化后的形式，应乘以一常数，为总的杂质密度。写为
(2-29)
则的形式为
(2-30)
式2-42代入式2-24，得到抛光再沉积层中杂质引起损伤的几率的最终形式
(2-31)
由此，也得到一发通量为F,辐照面积为S的激光入射后，元件表面的损伤密度为
(2-32)

从上图的一些结果可以看出，由于前述缺陷分布原理，决定了在一定口径内，损伤阈值随测试面积的变化是相当敏感的。同时，在测试光斑口径达到一定尺寸时，损伤阈值的结果将区域稳定，这也反映了缺陷分布有用信息。

1.3.3 激光损伤测试中的口径效应
损伤阈值是表征光学元件激光损伤特性中使用最为普遍的术语，但是在高功率激光装置中必须严格注意损伤阈值的适用条件，这是因为1-on-1，R-on-1，N-on-1和S-on-1等测试方法获得的损伤阈值在高功率激光装置中针对近米级的光学元件存在着口径效应。所谓口径效应是指损伤阈值随着激光束测试口径的增大而降低，如图6所示。
图6介质增透膜、高反膜以及溶胶－凝胶增透膜在不同测试光斑下损伤阈值的变化
造成口径效应的根本原因元件表面或体内的缺陷分布具有随机性，由于激光损伤源于缺陷，因此，激光损伤的产生也是一个随机过程。假设元件表面存在两种不同类型的缺陷a和b，损伤阈值分别为Φ1和Φ2，且Φ1>Φ2，损伤测试的激光束面积为S。如果激光束测试面积内只涵盖缺陷a，则测得的光学元件损伤阈值为Φ1；反之，一旦测试面积涵盖了缺陷b，则元件的损伤阈值为Φ2，如图2所示。因此，在缺乏对缺陷分布的先验知识前，由于缺陷的随机分布，测得的损伤阈值可能是a，也可能是b，无法保证获得的测试结果就是元件真实的损伤阈值。但是如果不断扩大激光束测试面积的大小，则终将保证测试光束内涵盖了缺陷b。如图3所示，在同一块元件上测量，辐照面积为S1时，测量到的损伤阈值为a，而当辐照面积为S2时，测量到的损伤阈值为b。这就是元件损伤阈值的口径效应：激光束口径的大小会影响测得的元件损伤阈值。

图2 损伤的随机性示意图

图3 口径效应的物理图像
利用上一节的数学模型，我们可以进行形象地说明。假设元件表面存在两种类型的缺陷，分别为Φ1和Φ2，并认为同一种类型的缺陷其损伤阈值服从高斯分布，Φ1缺陷的平均损伤阈值为25J/cm2, 阈值标准差为1J/cm2, 缺陷密度为103/mm2；Φ2缺陷的平均损伤阈值为12J/cm2, 阈值标准差为1J/cm2, 缺陷密度为10/mm2，如图4（a）所示。

图4 测试激光光束口径对元件损伤测试结果的影响，图（a）表示元件缺陷的阈值分布，图（b）表示不同口径激光测试下元件的损伤概率曲线
利用上节的数学模型计算不同测试光束口径下元件的损伤概率分布，如图4（b）所示。可以看出，不同的测试光束口径下，元件的损伤概率分布呈现不同的形态，元件的零几率损伤阈值也不尽相同。口径20um的激光测试获得的元件零几率损伤阈值约25J/cm2，而口径150um以上的激光测试获得的元件零几率损伤阈值约12J/cm2。
这是因为，损伤阈值较低的缺陷（Φ2）其分布密度低于损伤阈值较高的缺陷（Φ1），而用小口径光束（20um）进行1-on-1测试时，元件的损伤概率主要由密度较高的缺陷（Φ1）决定，故其测试获得的元件零几率损伤阈值为25J/cm2，当然这一测试结果并不能反映元件真实的损伤阈值。只有当测试光束口径较大时（700um），元件的损伤概率才由缺陷Φ2决定，这是测试获得的元件零几率损伤阈值为12J/cm2，反映了元件表面阈值最低的损伤源。
上述事例反映了“抽样测试”的固有缺点，即抽样样本小于总样本时，抽样样本的测试结果不能完全代表总样本的测试结果。不难看出，口径效应的本质是个“抽样问题”，1-on-1，R-on-1，N-on-1和S-on-1等测试方法均是抽样测试的方式，这是因为激光损伤是一种破坏性的测试方法，一旦光学元件在激光损伤测试过程中出现损伤点，将不可避免地影响该块元件的使用价值。因此，在实际情况中，1-on-1，R-on-1，N-on-1和S-on-1均是在光学元件的非使用区域进行测试，通过对测试区域的统计分析来外推元件整体的激光损伤特性。在高功率激光装置中，针对近米级的大口径光学元件，如NIF，LMJ和神光装置，熔石英元件尺寸达到430mm×430mm，以400um口径的光斑进行激光损伤测试，假设测试10个激光通量, 每个激光通量测试10个损伤点，则抽样测试的样本面积为

而光学元件总面积为：

激光损伤测试面积占光学元件总面积的比例仅为0.0068%。显然这种抽样测试获得的损伤阈值很难反应整块光学元件真实的损伤阈值。