【教学设计】《钉子板上的多边形》(数学苏教五上).docx

江苏教育出版社 五年级（上册） 畅言教育
《钉子板上的多边形》教学设计
本课时编写：屯溪路小学 张玉彪
u 设计理念
本内容是五年级上册综合实践这一领域的内容，属于规律探索类课型。
本课共设四个环节。第一个环节，由谈话引入课题，激发学生的学习兴趣。
第二个环节，通过学生的观察、发现加之教师的引导，推导出多边形内有1枚钉子的规律：让学生感受成功的喜悦，培养学生自主探究的能力。第三个环节，让学生在比较中发现问题，求同存异，自主探究发现多边形内有2个钉子的规律，培养学生考虑问题思维的严密性，学生根据经验进行猜想，并按照第三个环节的办法去证明自己的猜想，最终推导出一般规律。第四个环节是总结延伸环节，反思整个探究过程，查漏补缺。
教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，而是重在让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培养学生善于发现的眼光，科学严谨的态度，归纳概括的能力。基于这样的价值判断，我让学生经历提出猜想—设计实验—实验验证—得出结论的实验过程，先猜想多边形的面积跟内部的钉子数、边上的钉子数有关，再让学生设计实验研究边上钉子数与多边形面积之间的关系，然后实验验证多边形的面积跟内部的钉子数、边上的钉子数的确有关，最后得出关于钉子板上多边形规律的结论。那么实验验证先研究内部钉子数为1的情况，形成方法结构，研究内部为2枚及以上钉子数时就放手让学生运用积累的方法结构自主探究。
u 学情分析
学生经历过在数认识、数运算等领域的规律探索课的一般过程，知道从简单问题入手进行研究，经历发现规律——验证规律——得出结论这一过程，从而运用结论解决实际问题。
学生已经学过运用公式计算常见平面图形的面积，知道可以用割补的方法将不规则图形转化成若干个规则图形之和或之差求多边形的面积，但这样的问题情境经历得不多，学生之间的差异也比较大。
学生用字母表示数和数量关系只上过一节课，而本节课又涉及到三个变量之间的关系，学生困难在于无法直接将三个变量联系起来。基于学生的认知特点，课堂上安排先研究两个变量之间的关系。另外学生对于多边形内部1枚钉子时，面积和钉子数之间倍数关系很容易发现，但到内部两枚钉子时，从表面很难得出两量之间的关系，需及时的引导，与多边形内只有一枚钉子的情况类比发现。
u 教学过程
课 题
钉子板上的多边形
授课日期

教学内容
教科书p108～p109钉子板上的多边形
教学目标
1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。
2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点
探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系
教学难点
综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系
教学准备
作业纸，多媒体课件
教学步骤
教师活动
学生活动
二次备课
一、激趣生疑，直观感知
1.提出问题。
出示钉子板上围成的下列多边形（也可以用点子图代替钉子板，在点子图上画出下列图形）。

说明：这里的每个格子表示1cm2，大家数数图形边上的钉子数，看看面积各是多少平方厘米。
提问：你发现钉子数增加时，面积怎样变化的？这里多边形的面积变化与什么有关？
2.引入课题。
谈话：通过钉子数和面积，大家感受面积大小与围多边形用的钉子数有关。那钉子板上多边形的面积与哪里的钉子数有关，有怎样的关系呢？我们这节课就来研究这个问题，看看到底有怎样的关系。（板书课题）

学生数出钉子数和面积，全班交流，感受钉子数增加面积也增加。

二、分层探索，发现规律
（一）引导尝试，初步感知。
1、出示下图，引导学生观察。
请大家观察下面的多边形，按下面要求数一数，
图1

在教科书第P108的表格里填一填。
(1) 数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；
(2)数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；
(3)想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。
2、学生交流，板书完成下面表格。

3、观察数据，比较发现。
引导：你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？（板书：多边形的面积=多边形上的钉子数÷2）
说明：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？
教师确认、说明字母表示的关系式，并板书： S=n÷2
4.观察比较，反思质疑。
5. 出示：
图2

引导：是不是所有的钉子板上多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？请在上面选择一个多边形数一数，看看是不是也有这样的关系。 交流：你数的上面哪一个，结果怎样？（结合交流对应板书面积和钉子数：3 4 6 10 6 10 ）
追问：现在多边形的面积和边上钉子数还有上面发现的规律吗？
提问：这是为什么呢？回过去再看图1的多边形，它们还有什么共同的地方吗？找找看。 图2和它们有什么不同？
小结：图1符合规律的多边形内部的钉子数都为1，图2多边形内部的钉子数都不是1。这说明多边形的面积不仅和多边形的钉子数有关，还与多边形内部的钉子数有关。刚才我们只是研究了内部钉子数为1的情况。
说明：如果用a表示多边形内部的钉子数，那当a=1时，S=n÷2。（在上面得出的关系式前补充板书：a=1）
（二） 继续研究，拓展认识。
1.提出问题，引发思考。 引导：如果多边形内部都有2枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？现在请大家进一步观察，数一数、比一比，看看有没有规律。
2. 小组合作，探究规律。 引导：现在请你们四人小组合作，按照下面的办法研究多边形的面积。 出示活动要求：
（1） 每人围一个或画一个内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；
（2） 每人把获得的数据在小组内交流，并记录在课本第109页的表格里；

（3） 观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？
3.交流引导，发现规律。
引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2有点什么关系吗？
提问：通过数据比较，你有什么发现？
小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n÷2+1。（板书：a=2 S=n÷2+1） 追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。 指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n÷2+1。
（三） 引导猜想，概括规律。
1. 引发学生猜想。
提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。你能联系这里的规律.

猜一猜，如果多边形内部有3、4枚钉子呢，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？
（板书：a=3 S=n÷2+2 ？）
2.画图举例，验证猜想。 让学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想。
确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2 。（擦除上面板书中的“？”） 追问：现在我们又有什么发现？
3. 拓展延伸，揭示规律。 引导学生观察关系式：a=1 S=n÷2 a=2 S=n÷2+1 a=3 S=n÷2+2 引导：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5呢？ 那你能任选一个a等于几，画一画、算一算来验证吗？自己画图验证。并板书关系式。
提问：你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？
指出：如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。（板书：S=n÷2+a-1） 验证：当a=0或a=1的时候，也符合这样的规律吗？我们找几个图形来看一看。呈现几个相应的图形数一数，发现： 当a=0时，可以看作S=n÷2+0-1，符合规律； 当a=1时，可以看作S=n÷2+1-1，同样符合规律。 追问：通过对钉子板上多边形的研究，我们发现了什么规律？请大家说出这个规律。

生独立计算，完成表格校对结果
和同桌说说你的发现。
同桌先说一说。

交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？

学生动手写一写
S=n÷2

学生操作、填表、比较、思考。

先想一想，再告诉大家你的猜想。交流：你猜想的规律是怎样的？

交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）

指名学生交流，呈现不同例子的图形用数据验证，
三、回顾过程，交流体会。

提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？ 追问：还有什么疑问吗？ 小结：今天我们一起研究了钉子板上多边形面积与钉子数之间的关系。在研究的过程中，我们从简单情形入手，通过画一画、数一数、算一算等方法，经历观察、比较、猜想、验证等活动，发现了规律。从上面的过程中我们发现，要从各种不同情况的多边形中研究，要善于发现不同多边形中的共同点，比如形状、大小不同的多边形中都有几个钉；发现的不同关系式中的共同规律等。在探索规律时，一定要注意认真观察、反复比较，举例验证。表示数学规律一般用含有字母的式子，它具有简洁、明了、易记的特点。

【 板书设计】 钉子板上的多边形
当多边形内只有1枚钉子时，多边形面积
单位的个数等于多边形边上的钉子数÷2
当a=1时，S=n÷2
当a=2时，S=n÷2＋1
当a=3时，S=n÷2＋2
当a=m时，s=n÷2＋m－1

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