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认识图形世界、发展空间观念、提升数学思考
——“图形的认识、测量”备课解读与难点透视

一、追寻变化的背后及因由
“图形的认识、测量”是数学课程标准四大领域之一的“空间与图形”的重要内容，大纲教材中属于“几何初步知识”领域。之所以将原先的“几何初步知识”调整为“空间与图形”，细微的文字变化背后，我们不妨探寻一下蕴含的信息和价值取向。
首先是学习内容的重新确认。从几何学本身来看，它有着相对完善、严谨、科学的知识和方法体系。但从几何发展的历史来看，人们对几何图形的认识首先根据生产、生活实践经验，依靠直觉观察、反复实验而形成的，不是靠后来人们整理时所运用的逻辑推理而形成的。尤其是，小学生的思维又正处在由直观表象思维为主向抽象逻辑思维为主的过渡阶段，他们对几何图形的认识还相当于人类早期认识几何的阶段。因此，我们不应该、也不需要让小学生过早接触板着面孔的、纯学术性的几何系统知识，倒不妨引导小学生借助他们身边直观、可感的空间世界，借助学生原先储备的经验积累，主动地关注、认识周围的图形世界，在大量的操作和思考活动中丰富表象，提升数学思考，发展空间观念。从这一角度看，“空间与图形”较之“几何初步知识”，似乎更能反映这样一种倾向。
其次是学习目标的二度建构。认识图形，掌握它们的特征及求积规则，进而运用它们解决问题是否是本领域数学学习的唯一目标？事实上，相对于“掌握几何知识”而言，它似乎还应承担“发展空间观念”的新要求。
空间观念是在空间知觉的基础上形成起来的。课程标准对其作了这样的描述，“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系；能描述实物或几何图形的运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的位置关系；能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考。”概括地说，它是几何形体的大小、形状及其相互位置关系在人脑中的表象。表象是由感知觉到概念间的“阶梯”，具有直觉性和概括性。由于空间观念的积累，可以逐步形成空间想象力，这将为目前和以后的学习奠定必要的基础。
再者，小学生能否清晰地掌握图形的特征，能否正确计算物体的面积、体积，很大程度上也决定于空间观念的积累。有了空间观念，才能建立没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面这样的几何概念。
由此可见，相对于“几何知识”的习得而言，空间观念的发展意义更为重大。当然，空间观念的习得并非空中楼阁，为了达成这样的目标，课程标准对教学目标作为如下的设置。
最后是学习方式的再次厘定。如前所言，学生学习在小学阶段学的应该属于直观几何，学习直观几何，就得采用儿童喜爱的“看一看、折一折、剪一剪、拼一拼、摆一摆、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视听觉、触觉、运动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而掌握图形特征，形成空间观念。抽象推理、逻辑演绎、严格证明的方式要不要？必要的时候也可以适当运用，但鉴于小学生实际的思维水平及认识能力，动手操作、实践探索似乎更能适应学生“空间与图形”领域的学习。正如课程标准所言，应注重使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小；应注重通过观察物体、制作模型、设计图案等活动，发展学生的空间观念。
二、梳理教材的脉络与结构
由于小学生空间观念的形成要经历一个长期的、反复的过程，因而各版本的数学课程标准教材十分注意把这些“空间与图形”知识有层次、有坡度地分配到各个学段中。编排时，既强调“空间与图形”知识本身内在的纵向联系，又关注数与形的横向沟通与联系，做到相互为用。尤其是，“空间与图形”知识的编排充分考虑了小学生空间观念形成的认识规律。比如，一般按几何中点、线、面、体系统，应先学平面图形，再学立体图形。但是，考虑到人们认识事物一般是从粗略的整体感知开始，然后对物体进行细致观察和局部研究。客观世界最常见的是各种形状的物体，“面”是附着于“体”上的。儿童首先看到的是一个个物体，在整体感知“体”的基础上，才能逐渐研究“面”，建立“形”的概念。所以，先认识“体”，后认识“形”能降低认知难度，有利于学生学习。因此教材在编排这些内容时，没有受“空间与图形内在的逻辑结构的简单制约，而是采取了“体－形－体”的混合螺旋编排结构，即先直观立体图形，然后借助立体图形初步认识平面图形，而在学生深入认识平面图形特征后，再在其基础上安排立体图形的特征探索及求积计算。
细分到具体内容时，为了体现儿童由具体到抽象的认识规律，并符合由简单到复杂的教学顺序，教材采取了先从形体的直观认识开始，逐步抽象出形体的特征；在讲形体的特征时，又按照由简单到复杂的顺序，从线段、射线、直线、角到长方形、正方形、平行四边形、三角形和梯形，再到长方体、正方体；从直线围成的图形到圆、圆柱、圆锥等曲线围成的图形。至于每一类图形，教材又根据学生的思维水平和认知规律，通常按“直观认识”、“掌握特征”、“求积计算”三个层次循序渐进展开教学。具体如下：
形体名称
第一学段要求
第二学段要求
线段、射线、直线
认识线段，会度量线段长度
认识射线，直线，两直线位置关系
角
直观认识，直角、锐角和钝角
认识角，度量，分类
长方形、正方形
直观认识，掌握特征，计算周长和面积

平行四边形
直观认识
掌握特征，计算面积
三角形
直观认识
掌握特征，分类，内角和，三边关系，计算面积
梯形

掌握特征，分类，计算面积
简单组合图形
会用简单平面图形拼图
计算面积
长方体、正方体
直观认识
掌握特征，认识展开图，计算表面积和体积
圆
直观认识
掌握特征，计算周长与面积
圆柱
直观认识
掌握特征，认识展开图，计算表面积和体积
圆锥

掌握特征，计算体积
球
直观认识

同时，为了提高学生认识图形及观察能力，发展空间观念，各版本教材还分别在两个学段中由易到难分层次安排了“观察物体”的内容。同时，在求形体的长度、面积、体积(容积)之前，教材穿插安排了周长、面积与体积(容积)的含义以及长度、面积和体积（容积）单位及相应的测量活动等，从而将“空间与图形”领域的内容有机统合在一起，形成一个整体。数学知识的逻辑性强，“空间与图形”领域中的每一知识点都不会孤立存在。它们或者前有关涉，或者后有呼应，或者二者兼而有之。新知往往能在旧知基础上找到生长点，同时又构成后续新知的生长点。就以苏教版三年级“认识长方形和 正方形”为例，之前学生已在一年级(下册)“认识图形”单元中初步认识了长方形和正方形，在二年级(上册)“量长度”和二年级(下册)“分米和毫米”两个单元中已练习过量长方形各条边的长度和量正方形的边长是多少，在二年级(下 册)认识了角，知道长方形和正方形都有四个直角。而刚刚形成的认识又成为后续内容“长方形、正方形的面积”的生长点，进而又成为其它平面图形面积计算新的基点。就这样，新旧知识彼此呼应、相互关联，编织成了系统的数学知识网络结构。教师在备课、教学时，对于这一特点应该有深刻而鲜明的认识与把握。
鉴于小学生思维的形象、直观性，加之一维空间比二维、三维空间更抽象，曲线（曲面）图形比直线图形更难以把握，且化曲为直、极限等数学思想又较难把握，因而在图形的认识与测量领域，对于直线以及直线之间的位置关系，射线以及射线组成的角，圆、圆柱及圆锥的相关知识等，学生认识起来颇有困难，这些构成了学生的主要认识难点。
三、解读学生的背景与现实
我们生活在一个由形、体构成的丰富、生动的现实世界里，学生每天都在和图形接触、交往，日常生活中积累下的对图形世界的感知、表象和思考构成了学生丰富的经验背景，成为他们认识“空间与图形”的重要物质基础。同时，学前教育期的儿童，鉴于其思维水平的现状，他们尤其偏爱操作性活动，比如搭积木、折纸等，大量活动积累下的丰富活动经验以及初步形成的空间观念构成了儿童学习数学的重要方法基础。我们常说，“学生不是一张白纸”，在空间与图形领域的学习中，这一点尤为突出。
当然，我们不得不承认，学生尽管对“空间与图形”领域已经具备丰富的感性经验，但有些经验无论是从其生成方式还是储备形式看，都是模糊的、直觉的、多义的，系统化程度不高，甚至有些经验还会对系统的数学学习产生负迁移，干扰学生对数学知识的准确建构。因而，它们只是构成了学生认识图形领域的“可能基础”，要想真正将其转化为学生的系统认识，并在认知过程中发展学生的数学思考与空间观念，经验的唤醒与重组，活动的组织与开展，教学的引导与建构，学生的探究及内化等显得尤为重要。