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数学预备知识数学预备知识矢量分析矢量分析?高等数学是掌握电磁理论所必需的知识；?本章中将介绍本课程所需的重要高等数学知识，不注重其严格推导和体系完整性，侧重于应用；?希望大家课后复习有关数学知识。一、物理量的分类一、物理量的分类1、标量：只有大小，没有方向的物理量。例如温度、能量等。标量：只有大小，没有方向的物理量。例如温度、能量等。2、矢量：有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。、矢量：有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。3、张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力。、张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力。本课程只考虑标量场与矢量场，张量场不做讨论；本章节的出发点是为后续电磁场课程教学服务，侧重阐述基本概念和基本规律，故不追求数学上的严格性。本课程只考虑标量场与矢量场，张量场不做讨论；本章节的出发点是为后续电磁场课程教学服务，侧重阐述基本概念和基本规律，故不追求数学上的严格性。什么是场？什么是场？具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如：具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如：1、温度场、温度场T=T(x,y,z)，温度场为标量场。，温度场为标量场。2、流速场，有三个方向分量，是矢量场：、流速场，有三个方向分量，是矢量场：注意：场的本质是点的函数。注意：场的本质是点的函数。zzyyxxez)y,(x,V ez)y,(x,V ez)y,(x,V z)y,(x,VVvvvvv+=yx标量场标量场（）和矢量场和矢量场（A）以以浓度浓度表示的表示的标量场标量场以以箭头箭头表示的表示的矢量场矢量场Ayx标量场的梯度概念标量场的梯度概念问题的提出：若考查空间某一区域各处的温度，以问题的提出：若考查空间某一区域各处的温度，以T(x,y,z)或者以或者以T(P)表示域中某点表示域中某点P处的温度，那么我们就说，在域中构成了一个温度场处的温度，那么我们就说，在域中构成了一个温度场T。我们关心两个问题，第一、域中处处的温度大小；第二、对于域中某点。我们关心两个问题，第一、域中处处的温度大小；第二、对于域中某点P，我们关心在这点温度沿哪个方向上最大？对于第一个问题，用温度计逐点测量，能够确定域中各处的温度；对于第二个问题，以，我们关心在这点温度沿哪个方向上最大？对于第一个问题，用温度计逐点测量，能够确定域中各处的温度；对于第二个问题，以P点为球心，以点为球心，以l（设（设l=10-3m）为半径做一球面，测量出球面所选各点温度，假设其中变化幅度最大值就在上述所列之中，那么各点温度及其变化）为半径做一球面，测量出球面所选各点温度，假设其中变化幅度最大值就在上述所列之中，那么各点温度及其变化Ti=T(Pi)-T(P)分别为分别为-0.002、-0.004如下表所示：如下表所示：结论：温度沿结论：温度沿P5方向变化最大方向变化最大，如图如图17。由此，我们将引出梯度的概念。由此，我们将引出梯度的概念。1.标量场的方向导数与梯度1.标量场的方向导数与梯度标量场在某点的标量场在某点的方向导数方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。0()()limlPPPll=标量场标量场在在 P 点沿点沿 l 方向上的方向导数定义为方向上的方向导数定义为Pl PllP梯度是一个梯度是一个矢量矢量。zyxzy+=eeexgrad在在直角坐标系直角坐标系中，标量场中，标量场的梯度可表示为的梯度可表示为式中式中grad 是英文字是英文字 gradient 的缩写。的缩写。某点梯度的某点梯度的大小大小等于该点的等于该点的最大最大方向导数，某点梯度的方向为该点具有方向导数，某点梯度的方向为该点具有最大最大方向导数的方向。方向导数的方向。zyxzyx+=eee若引入算符若引入算符，在直角坐标系中该算符，在直角坐标系中该算符 可表示为可表示为=grad则梯度可以表示为则梯度可以表示为zxyr OP(x,y,z)rr rP(x,y,z)例例计算及。计算及。R1R1表示对表示对 x,y,z 运算表示对运算运算表示对运算zyx,0R=rr这里这里注意：注意：注意：注意：既具有矢量性质，既具有矢量性质，既具有矢量性质，既具有矢量性质，又具有微分性质又具有微分性质又具有微分性质又具有微分性质zyxzyxeeerzyxzyxeeer+=解解zyxzzyyxxeeeR)()()(+=222)()()(zzyyxxR+=zyxzyx+=eeezyxzyx+=eee31RRR=RR1131RRR=表示源点，表示源点，P 表示场点。表示场点。Pzxyr OP(x,y,z)rr rP(x,y,z)()()xxRxxRRxRRRx=3221221111矢量矢量 A 沿某一有向曲面沿某一有向曲面 S 的的面积分面积分称为矢量称为矢量 A 通过该有向曲面通过该有向曲面 S 的通量，以标量的通量，以标量表示，即表示，即2.矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度=S d SA通量可为通量可为正正、负负、或、或零零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞洞（或（或汇汇）。）。闭合的有向曲面的闭合的有向曲面的方向方向通常规定为闭合面的通常规定为闭合面的外外法线方向。当闭合面中有法线方向。当闭合面中有源源时，矢量通过该闭合面的通量一定为时，矢量通过该闭合面的通量一定为正正；反之，当闭合面中有；反之，当闭合面中有洞洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为时，矢量通过该闭合面的通量一定为负负。=S d SA前述的前述的源源称为称为正源正源，而，而洞洞称为称为负源负源。S 已已知真空中的电场强度知真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数与真空介电常数0之比，即，之比，即，当闭合面中存在当闭合面中存在正正电荷时，通量为电荷时，通量为正正。当闭合面中存在。当闭合面中存在负负电荷时，通量为电荷时，通量为负负。在电荷不存在的。在电荷不存在的无源区无源区中，穿过任一闭合面的通量为中，穿过任一闭合面的通量为零零。=Sq 0dSE但是，通量仅能表示闭合面中源的但是，通量仅能表示闭合面中源的总总量，它不能显示源的量，它不能显示源的分布分布特性。为此需要研究矢量场的特性。为此需要研究矢量场的散度散度。当闭合面当闭合面 S 向某点向某点无限无限收缩时，矢量收缩时，矢量 A 通过该闭合面通过该闭合面 S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的在该点的散度散度，以，以 div A 表示，即表示，即VSVd limdiv 0=SAA式中式中div 是英文字是英文字divergence 的缩写，的缩写，V 为闭合面为闭合面 S 包围的体积。包围的体积。VSVd limdiv 0=SAA上式表明，上式表明，散度是一个标量散度是一个标量，它可理解为通过包围，它可理解为通过包围单位体积单位体积闭合面的通量。闭合面的通量。直角直角坐标系中散度可表示为坐标系中散度可表示为zAyAxAzyx+=Adiv因此散度可用算符因此散度可用算符 表示为表示为AA=div=SVV d d div SAA散度定理散度定理=SVV d d SAA或者写为或者写为从从数学数学角度可以认为散度定理建立了角度可以认为散度定理建立了面面积分和积分和体体积分的关系。从积分的关系。从物理物理角度可以理解为散度定理建立了角度可以理解为散度定理建立了区域区域 V 中的场和包围区域中的场和包围区域 V 的边界的边界 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，根据散度定理即可求出边界中的场，根据散度定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。例例求空间任一点位置矢量求空间任一点位置矢量 r 的散度。的散度。3=+=zzyyxxr求得求得zyxzyxeeer+=已知已知解解rOxzyxzyzyxzyx+=eee标量场的标量场的梯度梯度VSVd limdiv 0=SAAzAyAxAzyx+=A矢量场的矢量场的散度散度矢量场的矢量场的旋度旋度？zyxzyx+=eee算子算子矢量场矢量场 A 沿一条有向曲线沿一条有向曲线 l 的的线积分线积分称为矢量场称为矢量场 A 沿该曲线的沿该曲线的环量环量，以，以表示，即表示，即3.矢量场的环量与旋度矢量场的环量与旋度=l d lA可见，若在闭合有向曲线可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场上，矢量场 A 的方向处处与线元的方向处处与线元 dl 的方向保持的方向保持一致一致，则环量，则环量 0；若处处；若处处相反相反，则，则 0。可见，环量可以用来描述矢量场的。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡旋涡特性。特性。l已知真空中磁通密度已知真空中磁通密度 B 沿任一闭合有向曲线沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率与真空磁导率0的乘积。即的乘积。即式中电流式中电流 I 的正方向与的正方向与 dl 的方向构成的方向构成 右旋右旋 关系。关系。Il0 d =lB环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总总的源强度，它不能显示源的的源强度，它不能显示源的分布分布特性。为此，需要研究矢量场的特性。为此，需要研究矢量场的旋度旋度。I1 I2旋度旋度是一个矢量。以符号是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量表示矢量 A 的旋度，其的旋度，其方向方向是使矢量是使矢量 A 具有具有最大最大环量强度的方向，其环量强度的方向，其大小大小等于对该矢量方向的最大环量等于对该矢量方向的最大环量强度强度，即，即 maxn0 dcurllimlSS=AlAe?式中式中 curl 是旋度的英文字，是旋度的英文字，en为最大环量强度的方向上的单位矢量，为最大环量强度的方向上的单位矢量，S 为闭合曲线为闭合曲线 l 包围的面积。包围的面积。矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大最大环量。环量。en1en2en直角直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为坐标系中，旋度可用矩阵表示为curlxyzxyzxyzAAA=eeeA或者或者curl=AA无论梯度、散度或旋度都是无论梯度、散度或旋度都是微分运算微分运算，它们表示场在，它们表示场在某点某点附近的变化特性。因此梯度、散度及旋度描述的是场的附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点点特性或称为特性或称为微分微分特性。特性。函数的函数的连续性连续性是可微的必要条件。因此在场量发生是可微的必要条件。因此在场量发生不连续不连续处，也就处，也就不存在不存在前述的梯度、散度或旋度。前述的梯度、散度或旋度。旋度定理旋度定理（斯托克斯定理斯托克斯定理）(curl)d dSl=ASAl?从数学角度可以认为旋度定理建立了从数学角度可以认为旋度定理建立了面面积分和积分和线线积分的关系。从物理角度可以理解为旋度定理建立了积分的关系。从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域区域 S中的场和包围区域中的场和包围区域 S 的的边界边界 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据旋度定理即可求出边界中的场，根据旋度定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。上的场，反之亦然。=lS d d)(lASA或者或者例例试证任何矢量场试证任何矢量场 A 均满足下列等式均满足下列等式=SVV d d)(SAA式中式中S 为包围体积为包围体积 V 的闭合表面，此式又称为的闭合表面，此式又称为矢量矢量旋度定理，或旋度定理，或矢量矢量斯托克斯定理。斯托克斯定理。证证ACACCAAC=)(设设 C 为任一为任一常常矢量，则矢量，则SVAne根据散度定理，上式左端根据散度定理，上式左端=VVVV d d)(ACAC=SVV d)(d)(SACAC=SS d )d(SACSAC那么对于任一体积那么对于任一体积 V，得，得=SVV d d)(SACAC求得求得ACACCAAC=)(散度处处为散度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无散场无散场，旋度处处为，旋度处处为零零的矢量场称为的矢量场称为无旋场无旋场。4.无散场和无旋场无散场和无旋场可以证明可以证明0)(=A上式表明，上式表明，任一矢量场任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零的旋度的散度一定等于零。因此，任一。因此，任一无散无散场可以表示为另一矢量场的场可以表示为另一矢量场的旋度旋度，或者说，任何，或者说，任何旋度旋度场一定是场一定是无散无散场。场。上式表明，上式表明，任一标量场任一标量场的梯度的旋度一定等于零的梯度的旋度一定等于零。因此，任一。因此，任一无旋无旋场一定可以表示为一个标量场的场一定可以表示为一个标量场的梯度梯度，或者说，任何，或者说，任何梯度梯度场一定是场一定是无旋无旋场。场。0)(=又可证明又可证明5.格林定理格林定理设任意两个标量场设任意两个标量场及及，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场及及满足下列等式满足下列等式SV,ne=+SVSnV 2dd)(式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，为标量场的闭合曲面，为标量场在在 S 表面的外法线表面的外法线 en方向上的偏导数。方向上的偏导数。n根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成=+SVV 2d)(d)(S上两式称为上两式称为标量第一格林定理标量第一格林定理。=SVSnnV 22dd)()22 ()d dVSV=S?基于上式还可获得下列两式：上两式称为基于上式还可获得下列两式：上两式称为标量第二格林定理标量第二格林定理。设任意两个矢量场设任意两个矢量场 P 与与 Q，若在区域，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及及Q 满足下列等式满足下列等式()=SVV d d)()(SQPQPQP式中式中S 为包围为包围V 的闭合曲面，面元的闭合曲面，面元 dS 的方向为的方向为S 的外法线方向，上式称为的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理矢量第一格林定理。基于上式还可获得下式：基于上式还可获得下式：()(d dVSV =QPPQPQQPS?此式称为此式称为矢量第二格林定理矢量第二格林定理。格林定理建立了格林定理建立了区域区域 V 中的场与中的场与边界边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域区域中场的求解问题转变为中场的求解问题转变为边界边界上场的求解问题。上场的求解问题。格林定理说明了格林定理说明了两种两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种一种场的分布特性，即可利用格林定理求解场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种另一种场的分布特性。场的分布特性。6.矢量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理位于某一区域中的矢量场，当其位于某一区域中的矢量场，当其散度散度、旋度旋度以及边界上场量的以及边界上场量的切向切向分量或分量或法向法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源源及及边界条件边界条件共同决定的。共同决定的。VSF(r)ntor and&FFFF7.正交曲面坐标系正交曲面坐标系直角坐标系(直角坐标系(x,y,z)zxyz=z0 x=x0y=y0P0zexeyeO圆柱坐标系圆柱坐标系(r,z)yzxP00=0r=r0z=z0rezeeO球坐标系球坐标系(r,)=0 xzy00r=r0=0ereeP0O微分单元的表示微分单元的表示球坐标系球坐标系d sin d ddrrrreeel+=d dd d sin d d sind2rrrrrreeeS+=d d d sind2rrV=圆柱坐标系圆柱坐标系zrrzrdd ddeeel+=d d d dd d drrzrzrzreeeS+=zrrVd d d d=直角坐标系直角坐标系zyxzyxddddeeel+=yxzxzyzyxddddd ddeeeS+=zyxVd d dd=zzryrxsincos=+=zzxyyxrarctan22坐标坐标变量变量的转换的转换=cossinsincossinrzryrx=+=+=xyzyxzyxrarctanarctan22222=zyxzrAAAAAA 1000cossin0sincos=zyxrAAAAAA 0cossinsinsincoscoscoscossinsincossin=zrrAAAAAA 010sin0coscos0sin矢量矢量分量分量的转换的转换