数学诱导公式.docx

公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα k∈z
cos（2kπ+α）=cosα k∈z
tan（2kπ+α）=tanα k∈z
公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）=—sinα
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
tan（－α）=－tanα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα
tan（π－α）=－tanα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）=－sinα
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
sin（π/2－α）=cosα
cos（π/2+α）=－sinα
cos（π/2－α）=sinα
tan（π/2+α）=－cotα
推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（3π/2+α）=－cosα
sin（3π/2－α）=－cosα
cos（3π/2+α）=sinα
cos（3π/2－α）=－sinα
tan（3π/2+α）=－cotα
诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”

诱导公式的推导
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos2α+sin2α)......*，
（因为cos2α+sin2α=1）
再把*分式上下同除cos2α，可得sin2α=2tanα/(1+tan2α)
然后用α/2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos2α+cos2αsinα－sin3α)/(cos3α－cosαsin2α－2sin2αcosα)
上下同除以cos3α，得：
tan3α=(3tanα－tan3α)/(1-3tan2α)
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos2α+(1－2sin2α)sinα
=2sinα－2sin3α+sinα－2sin3α
=3sinα－4sin3α
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα
=（2cos2α－1）cosα－2cosαsin2α
=2cos3α－cosα+2cosα－2cos3α
=4cos3α－3cosα
即
sin3α=3sinα－4sin3α
cos3α=4cos3(α)－3cosα
和差化积公式推导
首先,我们知道sin(a+b)=sina·cosb+cosa·sinb,sin(a-b)=sina·cosb-cosa·sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina·cosb
同理,若把两式相减,就得到cosa·sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa·cosb-sina·sinb,cos(a-b)=cosa·cosb+sina·sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa·cosb
同理,两式相减我们就得到sina·sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
这样,我们就得到了积化和差的公式:
cosa·sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
sina·sinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin[(x+y)/2] ·cos[(x-y)/2]
sinx-siny=2cos[(x+y)/2] ·sin[(x-y)/2]
cosx+cosy=2cos[(x+y)/2] ·cos[(x-y)/2]
cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2] ·sin[(x-y)/2]