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试谈问题解决中的数学建模
张霞
一、数学模型法与数学建模
数学模型法是数学的一种重要方法，是应用数学解决其他学科问题的主要方法。相对于现实来说，数学中的数、式、方程、函数、统计量等都可视为数学模型，它是实际问题的数学化。数学建模不同于数学模型法，通常后者主要被当作一种“静态的”数学方法，而前者关注的是过程。学生解决实际问题，一般要把实际问题转化成数学问题，再通过数学建模，继而解决问题。数学建模是学生解决问题过程中的重要一环，是要解问题通向问题解决的桥梁。有人认为建模是专家、学者的事，小学生只有使用模型，顶多给模型找个生活原型，从而加深理解它的份儿，本无建模可言。笔者不同意这种看法：一是因为学生也有发明创造数学模型的机会与可能；二是因为学生面临实际问题（不是纯数学的练习题），无现成的方法套数可用，须研究探索，最后找到合适的数学模型，从而解决问题。这个过程对于学生来说，是经历中的第一次，笔者认为也可视作学生在建模。
二、训练学生建模的意义
由于数学建模体现了解决实际问题真实、全面的过程 ，所以它在数学教育中的作用是十分明显的。它不仅可以在相当程 度上解决课堂理论教学中难以解决的诸如数学兴趣等方面的问题，而且也能让学生真正体验到现实中许多问题与数学 有关。例如学生从车轮为什么会是圆的，建构了圆上各点到圆心的距离都 相等的模型；从房梁呈三角形，得出三角形具有稳定性；从“公交车站的2路车每隔15分钟发一次车，3路车每隔20分钟发车一次，这两辆车同时发车后，至少要多少分钟又同时发车？”一题中，建构了求两个数最小公倍数的数学模型。数学建模不仅真正训练了学生把现实问题抽象为数学问题、求解数学问题的数学思维，而且把学生实践能力的培养真正落到实处，还可以让学生感受到“在现实中学数学，在做中学数学”，也有利于发挥并培养学生的主体性，实现全方位的数学目的。
三、培养学生建模的策略
1. 对已建的数学模型进行“意义赋予”，让学生感受建模作用
在教学 平行四边形认识时，教师拉动用木条钉成的平行四边形，使之变形。学生得出平行四边形具有不稳定性，体会到电动推拉门就是利用这一特性制成的。在教学“圆柱的认识”时，学生感知圆柱侧面展开是长方形或平形四边形，其长或底便是底面圆的周长，由此联想到生日蛋糕盒的制作需要两 个圆形塑料托盘和一张印有图案的长方形硬纸片，纸片的长度则要与托盘的周长 相一致。久而久之，学生会觉得生活都在有意无意地利用数学，建构的数学模型真有用，我也要建构数学模型。
2. 应用题要应用，在实际问题解决中训练学生建模
应用题的编制要真正反映实际问题情景，成为未经抽象和转化的原胚型问题。这类应用题以其丰富的背景材料所蕴含的刺激因素，能对学生构成认识上的冲突和挑战，激起问题解决的动机与驱动力。例如把“哥尼斯堡七桥问题”出给学生“再创造”：18世纪，东普鲁士的哥尼斯堡是一座美丽的城市。在这个城市中有一条布勒格尔河穿过城区，城中有一座公园，公园中有七座桥把河流两岸同公园连接起来。夏季的夜晚，人们正在乘凉、聊天时，一位居民突然想到：“能不能一次走遍七座桥，而每座桥只许走一次，最后又回到原出发点？”学生跃跃欲试。结果反复探试，均未成功。最后在老师的带领下，撇开陆地的大小、岛的大小和桥的宽窄等一系列无关紧要的因素，用点和线来代表陆地、岛和桥，采取抽象分析的办法，构建了“一笔画”的数学模型。这也许深奥了一些，出简单的也可以。如小兰带了165元钱，买了一件上衣用去98元。问小兰该怎样付款？她还剩多少钱？学生有过类似的经验，他们大都会说小兰先付100元，营业员找回2元，她还剩（65+2）元。然而将上述问题数学化，即165-100+2，从而建 构了减法中接近整百（165-98）的简算模型：多减了要加。长期的训练，学生逐渐认识数学的知识、原理均来自生活，从而树立了从生活中学数学，自觉地解决生活中的实际问题的意识。在此过程中学生的建模能力也相应地得到 了提高。
3. 提高学生的元认知水平
建构数学模型的过程需要学生从纷繁复杂的自然现象和社会行为中，舍弃与数学问题无关的东西，抓住问题实质，进而联想、探索、猜测方案、验证方案，这一系列的思维活动都要受元认知的支配。实践证明，元认知水平高的学生不仅具有较多的解题策略方面的技能技巧，而且善于监控自己的解题过程。例如解答车轮为什么是圆的？学生自拟目标，然后解答，一旦解答进程与目标不符，而又相信自己的解答进程时，则将怀疑目标，对目标必将修改或放弃，以确定新的目标。这一过程则由元认知来完成。再如解答“巧分马群问题”，学生根据题目，寻求已有数学认知结构的“相似块”，确定解题策略，构筑模型。一旦对自己的目标确信无疑而又达不到或不能顺利达到目标时，则将怀疑其策略，有必要对策略进行改组。这一过程也是由元认知来完成。因此元认知直接制约建模过程，提高学生的元认知水平则显得尤为必要。
提高学生的元认识水平可以从以下两方面着手：(1)解题教学要充分暴露解题思维过程,显示为什么要这样做和怎么做的思维过程,突出解题中的探索环节及解题方法被发现的过程,以培养学生解题思维中的调控能力。这要求教师要从学生的思维角度出发,将解题思维过程精心设计成一个符合学生认知结构特点的带有枝叉选择的思维过程。值得注意的是,暴露思维过程不应一味展示给学生畅通的思维过程。必须适当体现一些错误思维的暴露和纠正过程,因为学生解题一开始的分析思路可能是不对的,这时如何进行思维的“转舵”,如何选择有效的思维方向就显得非常重要。(2)教师要引导学生善于想象、联想和多反思、回顾。数学问题解决方案正确与否?是否最佳?能否找出另外的解决方案?该方案有什么独到之处?能否推广和做到智能的迁移?通过总结、回顾和反思使个人的元认知能力得到更高层次的发挥。这样，学生的思维能力就在这种结合实际的最佳思维过程和最佳解题方案的不断探索和回顾反思中产生出新颖性、独特性和巩固性，从而使学生的元认知能力在自我反省中得到了很好的培养和开发。
4. 实行探究性学习，促进学生主动建模
探究性学习是指学生在教师指导下，用类似科学研究的方式去获取知识、应用知识、解决问题的学习方式。它提倡学生自由探究，满足学生对周围事物的好奇心，为学生提供更多的活动空间和表现机会。因此学生兴趣浓厚，积极参与。小学数学探究学习旨在让学生学习数学地思考问题，获得将实际问题转化为数学模型，最终解决问题的能力。例如教学“圆的周长”，学生动用一切办法(用自备的软尺、直尺、棉线等测量碗、杯、盘的周长、直径)探求圆的周长，得出圆的大小与它的直径有关，周长与直径的比的比值是一个定值，从而建立求圆的周长的数学模型——c= ∏d。探究性学习把对知识的认识过程转化为对问题的探索过程，把对知识的认知掌握转化为对问题的探 究解决。学生置身于这样的学习过程中，就逐渐学会了科学家们研究自然界的方法，理解了数学意义，提高了通过建构数学模型解决问题的能力。
数学建模在数学学习和应用中占据着重要的地位，培养学生的建模能力必将有助于提高他们发现数学、“创造”数学、运用数学的能力和数学素养。