数学课应有“数学味”.docx

数学课应有“数学味”
周卫东
常有老师问我：当下的教学主张、课堂标签峰起云涌，眼花缭乱，我们的数学课堂究竟要关注什么？每当此时，我总是跟他们说这样一个比喻：裤子市场上有形形色色的裤子，有牛仔裤、休闲裤和西裤，有七分裤和九分裤，有长裤和短裤……，但不管形式如何变化，裤子的生产商必须要保证两点：一是裤子必须有两条腿，否则就不能成其为裤子，二是必须考虑到顾客的高矮胖瘦。这一比喻中所蕴含的朴素道理，对审视当下的数学课堂较具积极意义，警醒我们：一是数学课要有“数学味”，即数学的内涵（裤子的两条腿）；二是数学课堂要重视儿童个体的特点，要关注儿童立场（顾客的高矮胖瘦）。这两者中，前者尤为关键。
问题1：什么是“数学味”？ “数学味”是数学内涵的形象描述。数学是一个多元复合体，数学内涵包含如下两大方面。
其一，数学的理论和方法体系。最古老的数学产生于日常生活、生产中的计数和测量，经过千百年的归纳、演绎、抽象、概括、扩展，形成了一套经验知识，构成了如算术、几何、代数、三角等理论体系，所以，这些显然是数学的重要内涵。在理论体系形成的过程中逐步累积起来的演绎证明、类比归纳、灵活计算、探索发现等思想与方法体系也应该看成是数学的重要内涵。
其二，之于数学理论和方法之上的数学精神和数学能力。汪宇先生在《西方文化中的数学》一书写道：“我们对数学的理解悖逆数学的本质到了多么严重的程度。功利实用倾向和计算技能崇拜遮蔽了数学的本质精神，因此，国民的科学精神和基本的思维能力依然令人失望。我们可以成规模地制造战无不胜的奥赛选手，可是数学能力捉襟见肘”。上述论断中的“科学精神、基本的思维能力”，都类属于“数学内涵”的范畴。
“数学味”在《数学课程标准（2011版）》中得到了很好的落实。比如“数学思考”强调：数感、符号感的培养（“数感”和“符号感”的背后，就是数量意识和符号意识，即能够用数量意识考察事物发展的数量规律，并且善于用符号进行表达和理解），发展抽象思维能力，建立空间观念，发展形象思维；发展数据分析观念；发展演绎推理和合情推理能力。比如“解决问题”强调从数学的角度发现问题、分析问题、提出问题、理解问题，形成解决问题的基本策略，体验策略的多样性。比如“情感、态度和价值观”则强调“培养科学的态度、感受数学的严谨”。这里所倡导的各种要素，其实质都是关注数学内涵，关注“数学味”。
问题2：怎样才能做到数学课有“数学味”？ 要做到数学课有“数学味”，不是一种简单的技巧，它不像“泡汤”一样，只要把“数学”放到汤碗里搅拌一下，就会出现“数学”的味道。
沉入教材，找寻“数学味”的配方。从教材的构成体系来看，数学教材由两条“河流”组成：具体知识构成的、易于被发现的“明河流”和数学内涵构成的、具有潜在价值的“暗河流”，它们是骨架与血脉的关系。有了数学内涵作灵魂，各种具体的数学知识才不成为孤立的、零散的东西。正因为有了数学内涵，“游离”状态的知识才会凝结成优化的知识结构，形成一个有机的整体。只有做到“看书要看到底，书要看透，要看到书背面的东西”（苏步青），充分挖掘教材中的灵魂——数学内涵，用数学内涵引领我们的课堂教学，才能高屋建瓴，统领整个知识体系，进行再创造、再建构。
融入过程，品尝“数学味”的芳香。数学的内涵往往呈隐蔽形式，积沉、凝聚在数学结论的背后，常常渗透在学生获得知识和解决问题的过程中。著名数学家波利亚认为：“学习任何知识的最佳途径，都是由自己去发现、探究，因为这种理解最深刻，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”。我们应该有效地引导学生经历知识形成的过程，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，积累数学活动经验，感受和理解数学内涵，促使学生对数学知识的理解达到领悟的水平，提升数学思考的能力。只有如此，学生所掌握的知识才是鲜活的，这样的学习才是充满智慧的学习。
聚焦思想，吮吸“数学味”的营养。从哲学角度来看，“思想”即“观念”，即社会存在于意识中的反映。而所谓数学思想，是人们对数学研究统一的本质性认识，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，是被人们反复运用和确认的、带有普遍意义和相对稳定的特征，它直接支配着数学的实践活动，是对数学规律的理性认识。由此看来，数学思想是“数学味”（数学内涵）的核心，它决定了数学的经验基础、思考核心和发展目标。
从宏观角度看，小学数学思想按研究层次不同大致可分为以下几类：一为哲学的（包括逻辑的）思想：如抽象、推理、建模、分析、综合、演绎、归纳、类比等；二为科学的思想：如试验法、图表法、假设法等；三为数学的思想：如化归法、递推法、列举筛选法等。数学思想的形成同样有一个循序渐进的过程，只有经过理解、应用、促疑、释疑才能使学生真正领会，形成自觉运用数学思想的意识，建立起学生自我的“数学思想系统”。
延伸阅读： 要弄清“数学味”，必须厘清一个关系：“生活化”与“数学化”该如何把握？
数学“生活化”要不要？回答是肯定的！数学走向生活，这是教育的诉求，纯粹例题式的教学起点，对于儿童来说，不具有可攀性。于是，我们需要各种生活情境，需要借取现实素材。
但在这个过程中，我们不能遗漏一点：即使最简单的数学，也是抽象的产物。有人问得好：你见过纯粹的三角形而不是三角形物体吗？你见过没有大小的点，没有宽度的线吗？你能说出的那些数字，又在哪儿真实地看见过？所有这一切，都是从现实原型中提取出的“理想化”的思维产物。
从现实原型中提取出的“理想化”思维产物的过程，就是“数学化”的过程。“数学味”与“数学化”是密不可分的。
“数学化”是荷兰数学家弗赖登塔尔教育思想的核心，有横向数学化和纵向数学化之分。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，纵向数学化是“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用。”可以这样说，“横向数学化”生成生活与数学的联系，“纵向数学化”生成抽象数学知识之间的联系。
弗赖登塔尔认为如果用二分法分别从横向数学化和纵向数学化分类，数学教育可以分成四种类型，分别对应着四种不同的哲学观：一是缺少横向数学化，也缺少纵向数学化，是机械主义；二是横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义；三是横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义；四是横向数学化和纵向数学化都得到成长，是现实主义。
当下的数学课堂倡导现实主义的教学，亦即在“横向数学化”和“纵向数学化”的关系中找到一个合适的地带，能够促使两者均衡地发展。