二章晶体结合.pdf

第二章 晶体结合第二章 晶体结合2.1 晶体中的结合力和结合能；2.2 元素和化合物晶体结合的规律性；2.3 弹性应变和晶体中的弹性波；参考：黄昆固体物理学 第2章p49-77Kittel8版 第3章 p36-66说明说明：晶体结合力的研究主要考虑价电子行为，更多的是化学问题，这里只作为基础知识，简单介绍一些涉及到的物理问题。弹性一节十分重要，既是学习晶格振动理论的必要基础，又对理解晶体力学性质很有帮助。（Kittel 书5版删掉此节，7版之后又恢复充分说明它的重要性）本章介绍原子、分子是以怎样相互作用结合成晶本章介绍原子、分子是以怎样相互作用结合成晶体的。晶体结合的方式与固体的结构以及物理化学性体的。晶体结合的方式与固体的结构以及物理化学性质都有密切关系，因此确定晶体的结合形式也是研究质都有密切关系，因此确定晶体的结合形式也是研究材料性质的基础。材料性质的基础。2.1 晶体的结合力和结合能一一.晶体结合的一般概念：晶体结合的一般概念：一一.晶体结合的一般概念晶体结合的一般概念二二.晶体的弹性性质晶体的弹性性质三三.晶体结合的基本类型晶体结合的基本类型四四.离子晶体的结合能离子晶体的结合能五五.分子晶体的结合能分子晶体的结合能自然界的矿物中绝大多数物质都以晶态存在，说明晶体的能量比构成晶体的粒子处在自由状态时的能量总和要低的多,因此可以给出：0bNEEU=U0是晶体在 0K 时的总能量，EN是N个自由粒子能量之和，因此 Eb是0K时把晶体分解为相距无限远、静止的中性自由原子所需要的能量，称作内聚能（Cohesive energy）或结合能（binding energy)。取EN0，做能量基点，则有：0bEU=严格计算晶体总能量需要求解复杂的多粒子体系的定态薛定锷方程，这是十分困难的。但我们可以近似把原子对间相互近似把原子对间相互作用能量之和当作晶体的总相互作用能作用能量之和当作晶体的总相互作用能。物质以晶态存在是由于构成固体的原子之间存在着相当大的相互作用力，尽管不同晶体这种结合力的类型和大小不同，尽管不同晶体这种结合力的类型和大小不同，但两个粒子之间相互作用力（势但两个粒子之间相互作用力（势）与与它们它们间间距距离的关系离的关系在在定性定性上上是相同的。是相同的。斥斥力势力势引引力势力势u(r)r晶体中粒子的相互作用可以分为2大类：斥力和引力。较大距离上引力为主，很接近时斥力为主，无限远处，相互作用为零，晶态是粒子间斥力、引力处于平衡时的状态。mr总相互作用势总相互作用势结结合合能能一对粒子之间的相互作用势一般一般可以表示为引力势和斥力势之和,其中，都是待定的正值（0）系数,可由实验确定。这里第一项为吸引能，第二项为排斥能，若两粒子要稳定结合在一起，则必须满足 n m。()mnabu rrr=+处于稳定态的条件是：0022()()0()0rru rf rru rr=,a b m n给出平衡位置001()(1)mmu rrn=平衡时的能量11()0mnu rabmnrrr+=10()n mnbrma=从上式可以看出晶体有平衡态的条件是：n m 更符合实际斥力势变化规律的表达式为指数形式：rbeN个原子组成晶体后的总相互作用能，忽略边界忽略边界的的差异差异，可可以近似以近似表示表示为：1111()()()22NNNijijiiij iiNU ru rur=B严格说，晶体作为一个封闭系统的内能应包括：a.（上面给出的）晶格相互作用能U(V)，它是体积的函数。b.晶格振动能U(T,V)，T0K 时能量的增加。c.零点能，这是量子效应。d.晶格缺陷能。本章只限于考虑晶格能，第3、4两章再分别讨论2、4两项，以后还将考虑：电子气能量，磁自旋波能量等。二二.晶体的弹性性质：晶体的弹性性质：正确地给出各种晶体相互作用能的具体表达式是固体理论的任务之一，以此来解释晶体弹性性质是对理论表达式正确与否的最好验证。1.压缩系数 与体弹性模量压缩系数 与体弹性模量 K：1()TPKVV=由热力学知道：0022VVUUUPVVVV=0202()VUKVV=考虑到：VPKV=两式相比较，有：展开式中的第一项在平衡点为零。注解注解：体积弹性模量：按胡克定律，在弹性限度内，物体形变产生的内应力与相对形变成正比，比例系数称弹性模量。由热力学第一定律 dU=TdS pdV，若不考虑热效应，即 TdS=0（实际上只有当T=0K时才严格成立），有fdxKSx=ddUPV=VPKV=外部压强外部压强一般情况下，晶体受到的只是大气压力P0，上述关系确定了晶体处于平衡态时的体积。0d0dUPV=2.抗张强度：抗张强度：晶体所能负荷的最大张力叫抗张强度，负荷超过抗张强度时，晶体就会断裂。从两个原子之间的相互作用势看，张张力力就就是两原子间的是两原子间的最最大大吸引吸引力力：22()()0mmrrf ru rrr=确定出：mr因此晶体的抗张强度：()mmVUPV=体弹性体弹性模模量和量和抗张强度抗张强度都是都是可测可测量，晶体相互作用能的量，晶体相互作用能的理理论表达论表达式和式和计算计算结结果应该果应该可可以以解释其数值解释其数值。mr斥斥力力引引力力在固体物理研究的早期阶段，人们曾集中了很大精力去计算晶体的结合能，了解晶体结合能的形式与性质，对晶体进行分类。今天固体物理更多的不是从电子在实空间的分布，而是从电子在倒易空间的情况来分类固体和理解晶体性质，因此研究结合能的重要性只是在于得到晶体的基基态态能能，判断晶体是否稳定。关于原子结合的成原子结合的成键键理理论论是量子化学的研究成是量子化学的研究成果果，量子化，量子化学和能学和能带论带论都是都是在在量子力学的基础量子力学的基础上发展起来上发展起来的，但量子化学的，但量子化学强调了实空强调了实空间原子的间原子的几何位几何位形、形、电电子的子的局域局域化、化、电电子密子密度度的的集集中中和和电荷电荷的的转移转移，而而能能带论则强调了公带论则强调了公有化的有化的价电价电子以及子以及在波在波矢空矢空间的间的色散色散关系。关系。我们依照传统的固体物理对成键理论只做简要介绍，但越来越证明：成成键键理理论论和能和能带论带论是相互是相互补充补充的两的两个概念，量子化学也个概念，量子化学也将将成成为为固体理固体理论论的有的有效组效组成成部部分。分。参考：顾秉林等固体物理学p184 冯端：凝聚态物理新论p19-21三三.晶体结合力的基本类型：晶体结合力的基本类型：原子之间的斥斥力力除去除去同性同性电荷电荷之间的之间的排斥排斥力以力以外外，主要来主要来源于源于量子力学的一个基本原理：量子力学的一个基本原理：Pauli 不相不相容容原理原理，两个电子云的交迭会产生强大的排斥力。虽然可以笼统地说，“固体的内聚力全部归因于电子的负电荷与原子核正电荷之间的静电吸引作用”，但形式上有别：以正负离子间库仑力为结合力来源的离子键；以公用电子对为结合力来源的共价键；以弥散在离子间公有电子为结合力来源的金属键；以范德瓦尔斯力为结合力来源的分子键；以及氢键。以结合力的形式不同可以将晶体分为5类，但多数多数晶体是两种晶体是两种或多或多种结合力的种结合力的混混合型，合型，所所以分类不以分类不可可能是能是严格严格的，的，我们只我们只讨讨论论典典型晶体。型晶体。1.离子晶体：离子晶体：离子晶体一般由电负性相差较大的两种元素的原子结合而成。电负性小的原子将其外层价电子转移给电负性大的原子，形成正负离子，正负离子靠库仑相互作用结合起来。典典型的型的正负正负离子离子的电子壳层饱和，电子云的分布基本上是球对称，没有方向性和饱和性，因而在形成晶体时满足刚性球密堆积原则，并可作为点电荷来处理。典型的结构有两种：NaCl型（6配位）和 CsCl 型（8配位）。由于正负离子间的相互作用较强，所以离子晶体的结合能一般比较大，熔点较高，强度大，硬度高，但质地较脆。唐有棋化学与社会p732.共价晶体：共价晶体：共价晶体是靠共价键结合而成的晶体典型的共价键晶体有：Si,Ge,金刚石,SiC,ZnS等。原子之间的共价键结合是依靠相邻原子电子云的重叠而形成共用电子对，各原子间的共共价键价键有一定的方有一定的方向向性和性和饱饱和性，和性，从从而而规规定定了了原子原子间结合的方间结合的方位位和和配配位数位数。共价晶体的结构稳定、共价键能由中等到很高的都存在，因此共价键晶体的熔点、硬度和强度由中等到很高都有。成成键键的的电电子子均束缚均束缚在在原子之间，不能原子之间，不能自由运动自由运动，因此，因此共共价键价键晶体不晶体不导导电电。3.金属晶体：金属晶体：金属晶体由金属原子结合而成。由于金属原子的电负性小，容易失去其价电子而变成正离子，而这些价电子则归整块金属所共有，称为公有化电子。通过公有化电子与带正电的离子实之间的库仑相互作用将这些带正电的离子实结合起来。由于金属原子失去其价电子后，每一个离子实的电子云分布基本上是球对称的，符合球密堆原则，原子的原子的配配位位数数较较大，大，可达可达 8 到到 12。由于金属中存在着大量的自由电子，因而金属具金属具有有高高的的导导电电性和性和传热传热性性。金属键没有方向性，因而金属金属可可以以接受锻接受锻压压等加工等加工。4.分子晶体：分子晶体：构成晶体的结构单元是分子，分子内的原子靠共价键结合，但分子与分子之间依靠Van der Waals力而结合成晶体。如固态的N2,H2,干冰（固态CO2)等都是分子晶体。范德华力是分子偶极矩之间的作用力，也包括非极性分子的瞬时偶极、诱导偶极之间的作用力。Van der Waals结合相当弱，结合能较低，因此这类分子晶体的熔点很低（Kr:117 K；Ar:84 K）。它们的质地软，可以压缩，也不导电。5.氢键晶体：氢键晶体：氢键由氢原子与其他电负性较大的原子（如F、O等）或原子团而形成的。一个氢原子在与一个原子A键合的同时，由于电子对偏向A原子，使得氢原子变成一个带正电的质子，因此，还能与另外一个负电性很强的B 原子相互作用，形成一个附加键，称作氢键。含有这种氢键的化合物就是氢键晶体。例如冰和铁电晶体磷酸二氢钾（KH2PO4）等。氢键晶体的结合能虽比离子晶体和共价晶体要低得多，但其作用仍不可忽略，比如含有氢键物质的熔点和沸点要比没有氢键的同类化合物要高。以上分类的详细叙述见于固体化学等书，实实际际晶体晶体往往往往不是不是一种一种纯粹纯粹的化学的化学键在起键在起作用，作用，而而是是包含包含几几种种键键型。型。晶体结合的主要类型Kittel P37+说明：该表取自朱建国等固体物理学p59反映了不同键能的相对大小Kittel固体物理导论8版p38,39,40,42,55分别收集了周期表中各元素的内聚内聚能、能、熔点熔点、体、体积积弹性弹性模模量、量、电电离能和离子离能和离子半径半径的数值，很有参考意义。此外p15 的元素元素晶体结构晶体结构表，p16 的元素元素密密度度值也都值得我们经常使用。这都是国内教材中不易寻找的资料。四四.离子晶体的结合能离子晶体的结合能NaCl 晶体中，任意两离子间的相互作用能依照库仑定律可以写作：其中e为电子电荷，同性电荷离子之间相斥，取号；异性电荷离子之间相吸，取号。若晶体中有N个原胞（即N个正离子和N个负离子）组成，那么晶体的互作用能为：20()4ijneburrr=+0 ijij2j1(2)24nebUNrr=+式式中中同性同性电荷电荷取正取正值值，异异性性电荷电荷取负取负值值取0ijijra r=是两离子间的最短距离，取其做单位。0r20 00114nnjjijijebUNrara=式式中中同性同性电荷电荷取负取负值值异异性性电荷电荷取正取正值值1jija=令：它们都是只和晶体几何因素有关的常数，其中称作Madelung常数njijbBa=20 004neBUNrr=于是，有N个原胞的NaCl晶体的相互作用能可以表示为：其中，是待定系数,但它们之间不是独立的：,B n200 0114eUNrn=002210d0d4nrrUenBNrrr+=+=21001100244nneBrnnBre=晶体晶体处处于于稳稳定定态态时时的能量的能量式式中中同性同性电荷电荷取负取负值值异异性性电荷电荷取正取正值值注注意各书意各书定定义义的的差差别别，若晶体结构已知，即可以算出马德隆常数，离子间距 r0由衍射实验确定，可以通过测量体弹性模量 K 计算出 n 值。因此利利用用上上述述公公式式可可以以给出给出离子晶体结合能理离子晶体结合能理论值论值。它与实验值的比较见黄昆书p55。比较可知，离子晶体相互作用能（结合能）的理论值与实验值符合得很好，这说明把离子晶体的相互作用看成是由以正负离子为单元，主要依靠离子间的库仑作用而结合是符合实际情况的。-1.05-1.06RbBr-1.10-1.11RbCl-1.08-1.10KBr-1.13-1.15KCl-1.18-1.21NaBr-1.25-1.27NaClU理论(10-18J/pair)U实验(10-18J/pair)下表引自黄昆书 p55引自方俊鑫书 p81参考：Kittel 8版p50-51；黄昆 p55弹性模量 K和斥力系数 n关系的证明：根据定义令：0202()VUKVV=300VNr=sc:=1NaCl:=202201d9drUKNrr=所以：()()210022230 024004d1d4172neBrnUN enrreKnr=将代入能量表达式中有：故4002721rnKe=+22222UUrKVVVrV=五五.分子晶体的结合能：分子晶体的结合能：通过分析分子晶体的作用力特点（见Kittel 8版p43，黄昆书p69），可以给出其原子对之间的相互作用势：也可表示为如下形式：后者，通常称作Lennard-Jones 势。两种表达式中系数间的关系是：612()abu rrr=+126()4u rrr=6124,4,ab=126,4baab=或：惰性气体分子晶体（不包括固体氦）是最简单的分子晶体，上述讨论就从两个惰性气体原子间的相互作用开始：（只只适适用用于于单单原子分子原子分子）设晶体中有N个饱和原子或饱和分子，则晶体的互作用能为1260jj42NUrr=j设最近邻两饱和原子间的距离为 r0，令有0ra r=jj12612600()2AAU rNrr=其中12121Ajja=1661Ajja=1均均为只为只与晶体结构有关的与晶体结构有关的常常数数16120621.09r=BAA0()U rN=2612A2A33475K=B5232612A2A0()0rU rr=由：可以得到：很多分子晶体具有面心立方结构，代入相关数据，有：由此看出系数 可以度量原子实相互排斥的半径。将值带回能量公式，平衡态时的能量值为:0r同样代入fcc结构数据，每个原子的平均能量是：00()8.6U ruN=还可以求出体弹性模量：是可以反映结合能大小的量对于fcc，将所对应的0、A6和A12代入以上各式可得：，09.10=r08.6UN=37.5K=由气相实验数据可确定 和，再根据以上各式计算出r0、U0和K的理论值，然后再与实验值比较（书p70）。比较可知，Xe的结合能的理论值与实验值符合得相当好，随着原子量的减小，结合能的理论值大于实验值越来越明显，而Ne的偏差最大。这是由于原子的零点振动造成的。D.N.Bernards考虑了零点振动能的修正，Ne、Ar和Kr的结合能将分别减少28、10和6。若考虑了零点振动能的修正，则理论与实验符合得相当好。这表明这个理理论论对对于于分子晶体也是相当成分子晶体也是相当成功功的的。注：惰性气体固体除去氦(hcp)外，都是fcc 结构。以上参考顾秉林书p193-197-0.172-0.17Xe-0.120(-0.113)-0.11Kr-0.089(-0.080)-0.08Ar-0.027(-0.019)-0.02Neu理论(eV/atom)u实验(eV/atom)摘自黄昆书p70惰性气体元素的固体结合能六.共价晶体和金属结合能的计算远比离子晶体结合能的计算要复杂的多，需要许多量子力学知识。上世纪70年代以后发展了局域局域密密度度泛函泛函理理论论，在这个理论基础上对各类半导体和金属材料的结合能、晶格常数、体弹性模量进行了计算，与实验结果符合的很好。这些已经很难在我们课程里做介绍了。上述两表充分反映了近年来密度泛函理论的发展。其主要贡献者Kohn获1998年Nobel化学奖。引自朱建国等固体物理学（2005）p50,52。2.2 元素和化合物晶体结合的规律性元素和化合物晶体结合的规律性一.结合规律分析：参见黄昆书 2.5 节（p71）晶体中的原子以那种方式结合，除了受温度、压力等外界条件外，主要取决于组成晶体原子的束缚或得到电子的能力原子的电负性（electronegative)，它是用来综合标志原子得失电子能力的物理量。其数值见下表，一个一个普遍普遍的的规规律律是是周期周期表中表中同一同一周期周期的原子的原子电电负负性性从左到右从左到右不不断加断加强强，周周期期表表由由上上到下到下，负负电电性性逐渐减弱逐渐减弱。马利肯(Mulliken)定义：原子原子电电负负性性0.18（电电离能离能电电子子亲亲和能和能）上面的系数0.18只是为了使Li的电负性为1。电负性有不同定义，除去马利肯的定义外，还有鲍林（Pauling）和菲利蒲（Philips）等定义方式，其数值不尽相同。引自朱建国一书电负性数值与前表不尽相同，但规律是一致的引自Kittel 一书 p42，是电离能数据。周期表左右两端元素电负性差别大，所以元素最易形成离子化合物，例如NaCl,CsCl 等。随着，族元素之间负电性差别的减小，它们之间的化合物由离子性化合物逐渐过渡到共价性化合物，所以AlP,GaAs,InSb等都具有类似金刚石结构的闪锌矿结构，也是半导体材料。黄昆书中相关数值不够完整，可以参见上面表格。这节内容虽简单，但其知识在材料制备中十分有用。从中可以看到一些晶体结合的规律：碱金属电负性最低，最易失去电子，所以形成金属。族元素具有较强的电负性，它们束缚电子比较牢固，获得电子的能力也强，最易形成共价键，族元素是典型的共价晶体，它们按C,Si,Ge,Sn,Pb的顺序，电负性不断减弱，金刚石的电负性最大、共价性最强，Pb的电负性最弱，已是金属键结合，中间的Si,Ge是典型的半导体。二.离子半径：参考Kittel书p54 在晶体生长和材料制备过程中，经常需要寻找替代和参杂原子，选择替代原子不仅要考虑它的价数，还必须考虑离子的尺寸。因此离子半径（自洽半径）是一个重要的物理量。（严严格来格来说，说，电电子的子的状状态要态要用用波波函函数表示数表示，因，因而而无法无法用一用一严格严格的的刚刚性性球球的的边界边界来来限制限制，引引入半径入半径的概念是的概念是为了在为了在讨讨论论和和预预测测原子间原子间距距时时方方便便）原子半径主要由核外电子云来决定，当原子形成晶体后，其电子云的分布已经不同于自由原子状态，而且同一原子在不同的晶体结构中会有不同的电子云分布，因此只能分别给出金属半径，共价半径，离子半径，和范德瓦尔斯半径等。X射线衍射可以很准确的测出两个原子之间的距离(105),但无法判定它们各自的半径。金属半径可以定义为两核距离的一半；离子晶体中，正负离子半径一般不相等，通常采用Goldschmidt 和 Pauling 方法定义。见王矜奉固体物理教程P74该表摘自Kittel 书p552.3 弹性应变和弹性波在晶体中的传播弹性应变和弹性波在晶体中的传播一.晶体的弹性应变二.膨胀率体弹性模量、压缩率三.弹性波在晶体中的传播一一.晶体的弹性应变：晶体的弹性应变：在处理固体的弹性问题时，常忽略固体是离散原子的集合，而当作连续介质处理，在弹性波波长大于106厘米（即频率f10-12）的情形，显然这种近似是允许的。以下讨论限限于于胡胡克克定定律适律适用的用的范围范围，即固体应变与应力成正比的范围内。先给出相关定义：固体结构由 6个晶胞参数确定，若发生一个小的小的均均匀匀形形变变，可以假定晶体的每个原胞都将以同样的方式发生形变，因此也可以用 6个参数表述固体的形变。,a b c 固体形变的背景知识：固体形变的背景知识：固体的形变有线度变化和体积变化之分，大多数情况下，体积变化也伴随着形状变化。固体的形变可以由外力引起，也可能是温度所致。形变时固体的原子从初始的平衡位置移到一个新位置，必然会受到原子之间相互作用力的反抗，从而在固体内部产生弹性恢复力，它与作用到物体上的外力相抗衡。弹性形弹性形变变指指引起引起形形变变的力的力消失消失或或停止后停止后，形，形变变立即消失立即消失、点点阵阵中中的离子的离子可可逆地逆地回回到到初始初始的的平衡平衡位位置置的的情况情况。应应变变：固体的形固体的形变变不能用质不能用质点点的的位移来表示位移来表示，只只能用质能用质点点的相对的相对位移来表示位移来表示，量，量度度的是的是单单位位形形变变，它它等等于于绝绝对形对形变变与原与原始始值值之之比比，称称应应变变。应应力力：是是指指固体固体受到受到外外力力时时，内内部部产生产生的的抵抵抗抗形形变变的弹性的弹性回复回复力。量力。量度度是作用是作用到单到单位位面面积积上上的力。的力。应力和应变都是无无量量钢钢量量。在晶体中应变和应力都应该是一个对称的二级张量：xxxyxzyxyyyzzxzyzzeeeeeeeeee=t考虑到因此只有6个独立变量：,xyyxxzzxyzzyeeeeee=,xxyyzzyzxzxyeeeeeexxxyxzyxyyyzzxzyzzT=s r在非正交坐标系的情况下，再使用原晶胞参数会带来极大的不方便，所以改用 6 个新的参数代表伸伸缩应缩应变变；代表切切应应变变。ij=ijeij应力张量也有 6个独立的分量：111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566xxxxyyyyzzzzyzyzxzxzxyxyeccccccecccccceccccccecccccceccccccecccccc=胡克定律表明，对于足够小的形变，其应变与应力成正比。其比值称作弹性常数或弹性劲度常量。在胡克定律成立的条件下，弹性能密度是应变的二次函数，上述36个弹性模量将减少为21个。如果考虑到晶体的对称性，还可以进一步减少。例如立方晶系只需要 3个独立变量即可，见Kittel P59-60证明。对称性最低的三斜晶系则需要21个常数才克描述。7个晶系的弹性模量见方俊鑫书p94。各向各向同性介质同性介质，只只需需要要 2 个个独立参独立参量量：前者称杨氏杨氏模模量量Y，后者称切切变变模模量量G。1112111244,2ccccc=室温下几种立方晶体的绝热弹性模量室温下几种立方晶体的绝热弹性模量部分金属的绝热弹性模量及上表见Kittel 8版 p64 二二 膨胀率、体弹性模量、压缩率膨胀率、体弹性模量、压缩率与形变相联系的单位体积的变化称为膨胀率。在形变很小时，膨胀率：xxyyzzVVeeeV=+;均匀膨胀时：可以证明立方晶系的体弹性模量：3xxyyzzeee=11121(2)3Kcc=+三三.弹性波在晶体中的传播：弹性波在晶体中的传播：见Kittel p81-64各向同性连续介质中的弹性波：设：表示点处的弹性位移，其纵向运动方程为：()u xx2222()()0u xu xxYt=d(),du xex=推导中利用了：()()it qxu xAe=TYe=及胡克定律：其解为：Yqv q=PGv=q频率波矢关系称作色散关系，弹性波是线性关系 晶体是各向异性的，弹性模量不是仅用 Y 和 G 所能 描绘的，要用张量来表示，因此方程要复杂的多，不同晶向的传播速度是各不相同的。下面仅以只有 3 个 弹性模量的立方晶系为例说明，ijct442443cvcv=111100:cv传播方向和振动方向都在方向所以是纵波传播速度。100振动方向在方向，与传播方向垂直，所以是横波传播速度。振动方向在方向，也是横波。两个横波速度相同。01000111124412110:2cccv+=442111232cvccv=111244124111:3cccv+=111244233cccvv+=+振动方向纵波传播，振动方向横波传播振动方向横波传播110001110振动方向纵波传播，振动方向横波传播，两个速度相同。111？111,111 声波范围：（弹性波，机械波）声波范围：（弹性波，机械波）可闻声波可闻声波：16 Hz 2104Hz次声波次声波：16 Hz 超声波超声波：2104Hz 其上其上限取限取决决于于介质性质介质性质晶体晶体或或液液体体1013 （相当（相当于于红红外波外波段段）标准标准状状态态下下的的气气体体109见 Blakemore：Solid State Physics P89 注注意意：该表数值该表数值和和按按上上页页表中计算表中计算出出的体弹性的体弹性模模量量数值数值稍稍有有差差别别电磁波波谱图电磁波波谱图