小学数学解题技巧大全（名家见解--引荐给同行）.doc

小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 （一）

1.特殊数题(1)21－12
　　当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。
　　被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如
　　210－120＝(2－1)×90＝90，
　　0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

　　若十位数字的和满10，进1。如

　　证明：(10a＋1)(10b＋1)
　　＝100ab＋10a＋10b＋1
　　＝100ab＋10(a＋b)＋1
　　(3)26×86 42×62

　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a＋c)(10b＋c)
　　＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
　　＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
证明：(10＋a)(10＋b)
　　＝100＋10a＋10b＋ab
　　＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
　　＝72×60＋27＝4347。
证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
　　＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如

证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd
　　＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。

(7)38×22
　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
　　原式＝(30＋8)×(30－8)
　　＝302－82＝836。
　　(8)88×37
　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。

(9)36×15
　　乘数是15的两位数相乘。
　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

　　＝54×10＝540。
　　55×15

(10)125×101
　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。
　　原式＝12625。
　　再如348×101，因为348＋3＝351，
　　原式＝35148。
(11)84×49
　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
　　原式＝8400÷2－84
　　＝4200－84＝4116。
(12)85×99
　　两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
　　原式＝8500－85＝8415

　　不难看出这类题的积：
　　最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；
　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差；
　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则

　　如果被乘数的个位数是1，例如

　　31×999
　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
　　71×9999＝709999－70＝709929。
　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为
　　(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
　　这是一道颇为繁复的计算题。
　　原式＝0.052631578947368421。
　　根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
　　原式转化为01÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
　　(1)先用0.1÷2＝0.05。
　　(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

　　如此除到循环为止。

　　仔细分析这个算式：
　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
　　除数末位是9，都可用此法计算。
　　例如1÷29，用0.1÷3计算。
　　1÷399，用0.1÷40计算。
2.估算
　　数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。
　　美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……”
(1)最高位估算
　　只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。
　　例1 1137＋5044－3169
　　最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。

　　如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。
　　例3 51.9×1.51
　　整体思考。
　　因为 51.9≈50，
　　而50×1.51≈50×1.5＝75，
　　又51.9＞50，1.51＞1.5，
　　所以51.9×1.51＞75。
　　另外9×1＝9，
　　所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。
　　例4 3279÷79
　　把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。
(2)最低位估算
　　例如，6403＋232＋1578
　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)规律估算
　　和大于每一个加数；
　　两个真分数(或纯小数)的和小于2；
　　一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和；

　　两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；

　　奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；
　　差总是小于被减数；
　　整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。

　　带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；

　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；

　　如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；
　　若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；
　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如，

　　A＜AB＜B。
　　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；
　　若除数＜1，则商＞被除数；
　　若除数＞1，则商＜被除数；
　　若被除数＞除数，则商＞1；
　　若被除数＜除数，则商＜1。
(4)位数估算
　　整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。
　　最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；
　　例如，451×7103
　　最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；
　　例如，147342÷27
　　14不够27除，商是4－2＝2(位数)。
　　被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。
　　例如，30226÷238
　　302够238除商是5－3＋1＝3(位数)。
(5)取整估算
　　把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。
　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。
　　12×8.5≈10×10，积接近100。
3.并项式
　　应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。
　　例1 3.34＋12.96＋6.66
　　　　＝12.96＋(3.34＋6.66)

　　＝12.96＋10＝22.96
　　＝3－3＝0
　　例3 15.74－(8.52＋3.74)
　　＝15.74－3.74－8.52
　　＝12－8.52＝3.48
　　例4 1600÷400÷7)
　　＝1600÷400×7
　　＝4×7
　　 ＝28
4.提取式
　　根据乘法分配律，可逆联想。

　　＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4
　　＝4

5.合乘式

　　　　 ＝87.5×10×1＝875
　　　　 ＝8－7＝1

6.扩 缩 式
　　例1 1.6×16＋0.4×36

　　　　＝0.4×(64＋36)
　　　　＝0.4×100＝40
　　例2 16×45

7.分 解 式
　　例如，14×72＋42×76
　　＝14×3×24＋42×76
　　＝42×(24＋76)
　　＝42×100＝4200
8.约 分 式

　　　　＝3×7×2＝42
　　例2 169÷4÷7×28÷13

　 　=1988
　　例7 1988 198819881988÷1989198919891989被除数与除数，分别除
9.拆 分 式

10.拆 积 式
　　例如，32×1.25×25
　　＝ 8×1.25×(4×25)
　　＝10×100＝1000
11.换 和 式
　　例1 0.1257×8
　　　　＝(0.125＋0.0007)×8
　　　　＝1＋0.0056＝1.0056

　　例4 8.37－5.68
　　　　＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)
　　　　＝8.69－6＝2.69

12.换 差 式

13.换 乘 式
　　例1 123＋234＋345＋456＋567＋678
　　　　＝(123＋678)×3
　　　　＝801×3＝2403
　　例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25
　　　　＝6.72×(4×25)＝672
　　例3 45000÷8÷125
　　　　＝45000÷(8×125)
　　　　＝45000÷1000＝45
　　例4 9.728÷3.2÷25
　　　　＝9.728÷(0.8×4×25)
　　　　＝9.728÷80
　　　　＝0.9728÷8＝0.1216
　　例5 33333×33333
　　　　＝11111×99999
　　　　＝11111×(100000－1)
　　　　＝1111100000－11111
　　　　＝1111088889
　　综合应用，例如

　　＝1000＋7＝1007

　　＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(转)
　　＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合)
　　＝8×125.25
　　＝8×(125＋0.25)(拆)
　　＝8×125＋8×0.25＝1002
14.换 除 式
　　例如，5600÷(25×7)
　　＝5600÷7÷25
　　＝800÷25＝32
15.直 接 除

17.以乘代加
　　例1 7＋4＋5＋2＋3＋6
　　　　＝9×3＝27

　　如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。

18.以乘代减

　　知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。

　　可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积
19.以加代乘

　　一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小1
20.以除代乘
　　例如，25×123678448
　　＝123678448×(100÷4)
　　＝12367844800÷4
　　＝3091961200
21.以减代除

　　＝1986－662＝1324
　　3510÷15

　　＝(3510－1170)÷10＝234
22.以乘代除
　　例如，2.7÷4÷6×24÷27

23.以除代除

　　观察其特点，

24.并数凑整
　　例如，372＋499
　　＝372＋500－1＝871
　　56.7－12.8
　　＝56.7－13＋0.2＝43.9
25.拆数凑整
　　例如，476＋302
　　＝476＋300＋2＝778
　　9.42－3.1
　　＝9.42－3－0.1＝6.32
26.加分数凑整
　　应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。

　　例3 8.37-5.68
　　　=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
　　　=8.69-6=2.69
30.凑公因数
　　例如，1992×27.5＋1982×72.5
　　＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5
　　＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5
　　＝1992×(27.5＋72.5)-725
　　=199200-725=198475
　　或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5
　　……
31.和差积法

32.直接写得数

　　观察整数和分数部分，显然原式=3。

33.变数为式

　　……

34.分解再组合
　　例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
　　＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
　　＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分

　　有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。

　　判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
　　57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
　　[57，76]＝19×3×4＝228。

　　26＝2×13，65和91是13的倍数。
　　最小公分母为
　　13×2×5×7＝910。
37.巧用分解质因数
　　教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。
例1 184×75
　　原式＝2×2×46×3×5×5
　　=46×3×(2×5)2
　　=138×100=13800。
38.“1、1”法
　　一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数，再从1中减去分数部分。
　　为便于记忆，称“1、1”法。
39.“1，9，9…10”法
　　一个整数减去一个小数(末位不为0)，可先减去比小数高位多1的数，再从9中减去其它位数，最后从10中减去末位数。

40.改变运算顺序
　　例1 650×74÷65
　　　　＝(650÷65)×74
　　　　＝10×74＝740
　　例2 176×98÷49
　　　　＝176×(98÷49)
　　　　＝176×2＝352
　　例3 7÷13×52÷4

　　例4 102×99－0.125×99×8
　　　　＝102×99－1×99
　　　　＝99×(l00＋１)
　　　　＝9900＋99＝9999

41.用 数 据
　　熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。
　　例1 由37×3＝111
　　知 37×6＝111×2＝222
　　37×15＝37×3×5＝555

　　例3 1000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；
　　5、25、125、625。
　　这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。
　　例4 特殊分数化小数
　　分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2倍，再缩小10、100倍。

　　分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、3。

　　分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。

　　例5 1～9π
　　1×3.14＝3.14 6×3.14＝18.84
　　2×3.14＝6.28 7×3.14＝21.98
　　3×3.14＝9.42 8×3.14＝25.12
　　4×3.14＝12.56 9×3.14＝28.26
　　5×3.14＝15.7
　　熟记这些数值，可口算。

　　3.14×13=10π+3π=40.82
　　3.14×89=90π-π
　　=282.6-3.14=279.46
　　π×1.58
　　变为整数，三位数前面补0改为四位数，

　　这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得4.9612。也可从高位算起。
42.想特殊性

　　仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。

　　 所以可直接得0。
　　例3(1.9-1.9×0.9)÷(3.8－2.8)
　　除数为1，则商就是被除数。
43.想 变 式

44.用 规 律
　　例1 682＋702
　　两个连续奇(偶)数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。
　　原式＝68×70×2＋4
　　＝9520＋4＝9524。
　　例2 522－512＝52＋51＝103
　　两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。
　　例3 18×19＋20
　　任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。
　　原式＝20×19－18＝362。
　　例4 16×17－15×18
　　四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。
　　原式＝2。
　　证明：设任意四个连续自然数分别为a－1、a、a＋1、a＋2，
　　则a(a＋1)－(a－1)(a＋2)
　　＝a2+a-a2-a＋2＝2。
　　例5 一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数)，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。
　　ABAB×CD＝(AB×100＋AB)×CD
　　＝AB×100×CD＋AB×CD
　　＝(CD×100＋CD)×AB
　　＝CDCD×AB
　　如：125×5×1616×78
　　＝125×5×7878×16
　　＝(125×8)×(5×2)×7878
　　＝78780000

45.基础题法
　　在基础题上深化。例如，

　　观察(1)的解题过程，

　　逆用各步的结构特点，

46.巧 归 纳
　　例如，1＋2＋…＋100＋99＋…＋1
　　1～100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的100为10000。但速度太慢。
　　有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。

　　由图知
　　1＋2＋3＋2+1＝32，
　　1＋2＋3＋4+5＋4+3＋2＋1＝52。
　　不难发现，和为最大加数的平方。显然，
　　5＋6＋…＋29＋30＋29＋…＋6＋5
　　＝302－42-4
＝900－16－4＝880。
【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题（一）
1.想 数 码
　　例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。
　　思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。
　　相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是

　　思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。
　　不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”
2.尾数法
　　例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。
　　由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。
　　知 1222×1222＞1221×1223
　　例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。
　　由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。
　　由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。
　　甲数是348，乙数是34。
　　例3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。

　　由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；
　　由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为
　　142857×3＝428571。
3.从较大数想起
　　例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？
　　思路一：较大数不可能取5或比5小的数。
　　取6有6＋5；
　　取7有7＋4，7＋5，7＋6；
　　…………………………………………
　　取10有九种 10＋1，10＋2，……10＋9。
　　共为 1＋3＋5＋7＋9＝25(种)
　　思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有9＋10。
　　共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种)
　　这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。
　　思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。
　　和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法
　　5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(种)。
4.想大小数之积

　　用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知

　　交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。

5.由得数想
　　例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是
　　0，0.5，1，1.5，2。
　　从得数出发，想：
　　两个相同数的差，等于0；
　　一个数加上或减去0，仍等于这个数；
　　一个因数是0，积就等于0；
　　0除以一个数(不是0)，商等于0；
　　两个相同数的商为1；
　　1除以0.5，商等于2；……
　　解法很多，只举几种：
　　(0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0
　　0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0
　　(0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0\
　　(0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0
　　(0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5
　　0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5
　　(0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5
　　(0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5
　　(0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1
　　0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1
　　(0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1
　　(0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1
　　0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝15
　　(0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5
　　0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5
　　0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5
　　0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2
　　(0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2
　　(0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2
　　[(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
6.想平均数

　　思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占

　　知这三个数是14、15、16。

　　二、一个数分别为

　　16－1＝15，
　　15－1＝14 或 16－2＝14。
　　若先求第一个数，则

　　思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，

　　知是15、16。
　　思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。
　　若先求第三个数，则
　　2÷(8－7)×8＝16。　
7.想奇偶数

例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如

1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100
　　你还能想出不同的添法吗？
　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即
　　1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
　　＝45＋63＝108。
　为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
　“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，不能介绍。如果式左变为
　12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
　［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
　要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
　12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
　12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
　　同理得
　　12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
　　1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
　　1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，
　　123＋4－5＋67－89＝100，
　　123－45－67＋89＝100。
　　为了减少计算。应注意：
　　(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
　　1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
　　(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
　　例2 求59～199的奇数和。
　　由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方
　　1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
　　奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
　　例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
　　知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
　　所求为 10000－841＝9159。
　　或者 59＝30×2－1，302＝900，
　　10000－900＋59＝9159。
例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。
例如
1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100

你还能想出不同的添法吗？

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即

1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9
　　＝45＋63＝108。
为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。
“减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能介绍。如果式左变为
12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。
［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。
要将“＋变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有
12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100，
12－3－4＋5－6＋7＋89＝100，
同理得
12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100，
1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100，
1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100，
　　123－4－5－6－7＋8－9＝100，
　　123＋4－5＋67－89＝100，
　　123－45－67＋89＝100。
　　为了减少计算。应注意：
　　(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？
　　1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。
　　(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。
例2 求59～199的奇数和。
　　由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方

1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2
奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。
例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。
知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。
所求为 10000－841＝9159。
或者 59＝30×2－1，302＝900，
10000－900＋59＝9159。

8.约倍数积法

任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。
证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。
那么 M×N＝P×a×P×b。
而 Q＝P×a×b，
所以 M×N＝P×Q。
例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？

例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。
这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。
所求是1和155，5和31。
例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。
由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。
小数的平方为4×40÷2.5＝64。
小数是8。
大数是8×2.5＝20。
算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。

9.想 份 数

10.巧用分解质因数
　　例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。
　　144＝24×32
　　＝(22×3)×[(2×3)×2]
　　＝(4×3)×(6×2)
　　可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。
　　例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。
　　4896＝25×32×17
　　＝24×17×(2×32)
　　＝16×17×18

　　1728＝26×33＝(22×3)3＝123
　　385＝5×7×11

　　例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？
　　1992＝2×2×2×3×83
　　2＋3＋83＝88
　　例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。
　　1620＝22×34×5
　　＝(32×22)×(32×5)
　　甲数是45，乙数是36。
　　例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。
　　八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。
　　每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为

例7 600有多少个约数？
　　600＝6×100＝2×3×2×2×5×5
　　＝23×3×52
　　只含因数2、3、5、2×3、2×5、3