高三数学小题综合限时练（五）.doc

(限时：40分钟)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝(　　)
A.[0，1] B.(0，1]
C.[0，1) D.(－∞，1]
解析　由M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lg x≤0}＝(0，1]，得M∪N＝{0，1}∪(0，1]＝[0，1].故选A.
答案　A
2.已知复数z＝＋2i，则z的共轭复数是(　　)
A.－1－i B.1－i
C.1＋i D.－1＋i
解析　由已知z＝＋2i＝1＋i，则z的共轭复数z＝
1－i，选B.
答案　B
3.已知函数y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝x，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y＝f(x)的单调性相同的是(　　)
A.y＝－x2＋1 B.y＝|x＋1|
C.y＝e|x| D.y＝
解析　由已知得f(x)是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C.
答案　C
4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
在一个周期内的图象如图所示，则f＝(　　)
A.1 B.
C.－1 D.－
解析　由题图知，A＝2，且T＝－＝，则周期T＝π，所以ω＝2.
因为f＝2，则2×＋φ＝，从而φ＝.所以f(x)＝2sin，故f＝2sin＝1，选A.
答案　A
5.下列四个结论：
①p∧q是真命题，则綈p可能是真命题；
②命题“∃x0∈R，x－x0－1＜0”的否定是“∃x∈R，x2－x－1≥0”；
③“a＞5且b＞－5”是“a＋b＞0”的充要条件；
④当a＜0时，幂函数y＝xa在区间(0，＋∞)上单调递减.
其中正确结论的个数是(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
解析　①若p∧q是真命题，则p和q同时为真命题，綈p必定是假命题；
②命题“∃x0∈R，x－x0－1＜0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≥0”；
③“a＞5且b＞－5”是“a＋b＞0”的充分不必要条件；
④y＝xa⇒y′＝a·xa－1，当a＜0时，y′＜0，所以在区间(0，＋∞)上单调递减.选B.
答案　B
6.过点A(3，1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，则·＝(　　)
A.0 B.
C.5 D.
解析　由圆C：x2＋y2－4y－1＝0得C(0，2)，半径r＝.
∵过点A(3，1)的直线l与圆C：x2＋y2－4y－1＝0相切于点B，∴·＝0，∴·＝(＋)·＝2＝5，所以选C.
另：本题可以数形结合运用向量投影的方法求得结果.
答案　C
7.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为＝0.8x－155，后因某未知原因第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m(如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m的值为(　　)
x
196
197
200
203
204
y
1
3
6
7
m
A.8.3 B.8.2
C.8.1 D.8
解析　x＝＝200，y＝＝.由回归直线经过样本中心，＝0.8×200－155⇒m＝8.故选D.
答案　D
8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于(　　)

A.2 　　　 .1
C. 　　　 .
解析　由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V＝×1×1×2－××1×1×2＝.故选C.
答案　C

9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是(　　)

A.14 B.15
C.16 D.17
解析　由程序框图可知，从n＝1到n＝15得到S＜－3，因此将输出n＝16.
答案　C
10.若实数x，y满足的约束条件将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a，b，则z＝2ax＋by在点(2，－1)处取得最大值的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析　约束条件为一个三角形ABC及其内部，其中A(2，－1)，B(－2，－1)，C(0，1)要使函数z＝2ax＋by在点(2，－1)处取得最大值，需满足－≤
－1⇒b≤2a，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a，b)，其中满足b≤2a有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为＝.选A.
答案　A
11.如图所示，已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA＝EB＝3，AD＝2，∠AEB＝60°，则多面体E－ABCD的外接球的表面积为(　　)

A. B.8π
C.16π D.64π

解析　将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O，底面重心为G，则△OGD为直角三角形，OG＝1，DG＝，∴R2＝4，∴多面体E－ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.故选C.
答案　C
12.已知函数f(x)＝a－x2(其中e为自然对数的底数)与函数g(x)＝2ln x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C.[1，e2－2] D.[e2－2，＋∞)
解析　由已知得方程－(a－x2)＝2ln x，即－a＝2ln x－x2在上有解，设h(x)＝2ln x－x2，求导得h′(x)＝－2x＝，因为≤x≤e，所以h(x)在x＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h(x)max＝h(1)＝－1，h＝－2－，h(e)＝2－e2，且h(e)＜h，所以h(x)的最小值为h(e)＝2－e2.故方程－a＝2ln x－x2在上有解等价于2－e2≤－a≤－1，从而解得a的取值范围为[1，e2－2]，故选C.
答案　C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13.若随机变量ξ～N(2，1)，且P(ξ＞3)＝0.158，则P(ξ＞1)＝________.
解析　∵随机变量ξ～N(2，1)，∴正态曲线关于x＝2对称，∵P(ξ＞3)＝0.158，∴P(ξ＞1)＝P(ξ＜3)＝1－0.158＝0.842.
答案　0.842

14.若二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是________.(请用数字作答)
解析　因为二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即n＝8，展开式通项为Tk＋1＝Cx8－k(－1)kx－k＝(－1)kCx8－2k，令8－2k＝2，得k＝3；则展开式中含x2项的系数是(－1)3C＝－56.
答案　－56
15.已知抛物线y2＝2px(p＞0)上一点M(1，m)(m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线－y2＝1(a＞0)的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a＝______.
解析　因为抛物线的准线为x＝－，则有1＋＝5，得p＝8，所以m＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－，0)，则有＝，解得a＝.
答案　
16.已知函数f(x)＝若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f(t)≥kt”是假命题，则实数k的取值范围是________.
解析　当x＜1时，f(x)＝－|x3－2x2＋x|＝－|x(x－1)2|＝当x≤0时，f′(x)＝3x2－
4x＋1＝(x－1)(3x－1)＞0，f(x)是增函数；当0＜x＜1时，f′(x)＝－(x－1)(3x－1)，所以f(x)在上是减函数，在上是增函数，作出函数y＝f(x)在R上的图象，如图所示.

命题“∃t∈R，且t≠0，使得f(t)≥kt”是假命题，即对任意的t∈R，且t≠0，f(t)＜kt恒成立，作出直线y＝kx，设直线y＝kx与函数y＝ln x(x≥1)的图象相切于点(m，ln m)，则由(ln x)′＝，得k＝，即ln m＝km，解得m＝e，k＝.设直线y＝kx与y＝x(x－1)2(x≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y′＝(x－1)(3x－1)，则k＝1，由图象可知，若f(t)＜kt恒成立，则实数k的取值范围是.
答案