八年级数学期中复习(二)几种特殊平行四边形、梯形、一元一次不等式(组)华东师大版知识精讲.doc

初二数学期中复习（二）几种特殊平行四边形、梯形、一元一次不等式（组）华东师大版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
期中复习（二）几种特殊平行四边形、梯形、一元一次不等式（组）

［教学目标］
1. 认识几种特殊四边形，掌握图形的特征及识别方法，并能利用图形特征及识别方法解决简单的推理与计算问题，进一步学会推理与数学说理。
2. 认识不等式（组），理解不等式性质；掌握一元一次不等式（组）解法；探索一元一次不等式（组）在实际问题中应用。

二. 重点、难点：
1. 教学重点：
（1）几种特殊四边形的特征和识别方法。
（2）不等式性质及解一元一次不等式（组）。
2. 教学难点：
（1）平行四边形与特殊平行四边形之间的区别联系。
（2）探索一元一次不等式（组）在实际问题中应用。

［知识网络及要点总结］
1. 四边形

几种特殊四边形的特征：

边
角
对角线
对称性
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
两条对角线
互相平分
中心对称
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线互相
平分且相等
轴对称
中心对称
菱形
对边平行
四边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

轴对称
中心对称
正方形
对边平行
四边相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
轴对称
中心对称
等腰梯形
两底平行
两腰相等
同一底上的两个角相等
两条对角线相等
轴对称

2. 不等式（组）

基本性质
不等式的三条基本性质：
（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号不变。
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

规律与方法
（1）一元一次不等式的解集的四种基本情况
一元一次不等式
数轴表示
解集
化为

化为

化为

化为

（2）一元一次不等式组解集的四种情况
不等式组
数轴表示（）
解集
法则
（1）

同大取大
（2）

同小取小
（3）

小大取中
（4）

无解
矛盾无解

【典型例题】
例1. 如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH。试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？完成以下题目：

（1）当ABCD为任意四边形时，EFGH为________________；
当ABCD为矩形时，EFGH为________________；
当ABCD为菱形时，EFGH为________________；
当ABCD为正方形时，EFGH为________________；
当EFGH是矩形时，ABCD为________________；
当EFGH是菱形时，ABCD为________________；
当EFGH是正方形时，ABCD为________________。
（2）请选择（1）中任意一个你所写的结论进行证明。
（1）答案：平行四边形；菱形；矩形；正方形；对角线垂直的四边形；对角线相等的四边形；对角线相等且垂直的四边形。
（2）分析：结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD。
证明：①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH
∴四边形EFGH为平行四边形
证②：若ABCD为矩形，则EFGH为菱形
∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH
∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形
∴EH＝AC＝FG，EF＝BD＝GH
∵四边形ABCD为矩形
∴AC＝BD
∴EH＝AC＝FG＝EF＝BD＝GH
∴四边形EFGH为菱形
③若ABCD为菱形，则EFGH为矩形，留给同学们自己证。

例2. 如图，在矩形ABCD中，AC交BD于O，AM、CN分别平分∠BAO及∠DCO，交BD于M、N。试问：四边形AMCN是平行四边形吗？为什么？

分析：（1）已知矩形，联想到矩形特征。
（2）证平行四边形，联想到平行四边形的识别。
（3）由角平分线可很容易得出AM∥CN。
所以用边的关系式、对角线推证AMCN为平行四边形均可。

证明（1）：∵矩形ABCD

∵AM、CN分别为∠BAO、∠DCO的平分线

∴∠1＝∠2
∴△ABM与△CDN绕O点旋转重合

∴四边形AMCN为平行四边形
证明（2）：∵矩形ABCD
∴OA＝OC，AB∥CD
∴∠BAO＝∠DCO
∵AM、CN分别平分∠BAO、∠DCO

∴△AMO与△CNO全等
∴OM＝ON
∴四边形AMCN为平行四边形

例3. 如图所示，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AE⊥BC于E，AE＝10cm，AB＝AD，求四边形ABCD的面积。

剖析：由于ABCD是不规则四边形，根据已知条件不易直接求出面积，若通过旋转，构造正方形，就可化难为易。
答案：将△ABE绕点B旋转90°后得△ADF
则AF＝AE＝10cm，∠1＝∠2
因为，所以
又因为AE⊥BC，所以∠AEC＝90°
因为∠C＝90°，所以四边形AECF为矩形
又因为AE＝AF，所以矩形AECF为正方形
所以
所以

例4. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝72°，平移腰AB到DE，再将△DCE沿DE翻折，得到△DC'E，则∠EDC'＝_________。

分析：由等腰梯形ABCD，∠ABC＝72°，联想到∠C＝72°，再利用轴对称可知∠C'＝∠C＝72°，在△DEC'中可求出∠EDC'度数。
解：∵等腰梯形ABCD
∴∠B＝∠C＝72°
∵AB∥DE，∴∠1＝∠B＝72°
∵△DCE沿DE翻折得△DC'E
∴∠2＝∠1＝72°，∠C'＝∠C＝72°
在△DEC'中，
∴∠EDC'＝180°－72°－72°＝36°

例5. 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于O点，E是AC上一点，过A作AG⊥EB于G，AG交BD于F，则OE＝OF。

解：因为四边形ABCD为正方形
所以∠BOE＝∠AOF＝90°，BO＝AO
因为AG⊥EB，所以∠GAE＋∠GEA＝90°
又因为∠EBO＋∠GEA＝90°
所以∠EBO＝∠FAO
则△BEO顺时针旋转90°到△AFO的位置
所以OE＝OF
问题：对于上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，如图（2），请你想一想，结论“OE＝OF”还成立吗？如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由。

分析：对于此类问题的解决，一定注意先阅读理解图（1）的证明，疏理证题思路，图（2）通常是图形变，证题方法不变。
答：OE＝OF成立。
证明：∵正方形ABCD
∴∠1＝∠2＝90°，OA＝OB
∵AG⊥EB
∴∠E＋∠GAE＝90°
∵∠E＋∠EBO＝90°
∴∠FAO＝∠EBO
∴△AOF与△BOE全等
∴OE＝OF

例6. （徐州市2001）如图所示，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重合且不留空隙），并把你的拼法仿照下图按实际大小画在方格内，方格为1cm×1cm。
（1）不是正方形的菱形（一个）；
（2）不是正方形的矩形（一个）；
（3）梯形（一个）；
（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）；
（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（两个）；
（6）与以上画出和图形不全等的其他的凸四边形（画出的图形互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）。

分析：首先弄清拼图的直角三角形边之间的关系：长直角边＝2短直角边，再拼图时联想特殊四边形的识别方法。
答：

例7. 由，得到的条件应该是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
分析：由到联想到不等式性质。

例8. 已知与的和是单项式，解不等式。
分析：此题为一道小综合题，由两个单项式的和为单项式，可以想到它们是同类项，于是可求出a、b的值。
解：与和为单项式

解得：
化为
解得：

例9. 已知不等式的最大整数解为关于x的方程的解，求代数式的值。
分析：本题将不等式、方程、代数式知识综合在一起，并不难，按题目语言叙述顺序去解即可。
解：

则小于的最大整数为
将代入中

将代入中

∴代数式的值为

例10. 阅读下列材料并完成填空：
你能比较和的大小吗？为了解决这个问题，先把问题一般化，即比较和的大小（n≥1的整数），然后，从分析n＝1，2，3，……等简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
（1）通过计算，比较①～③各组两个数的大小。（填“＞”“＝”“＜”）
①______；②______；③______；④；⑤；⑥；⑦……
（2）从第（1）小题的结果归纳，猜想出和的大小关系是______
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，可以得______（填“＞”“＝”“＜”）。
分析：此题体现将复杂题转化为一般问题，通过探索规律，再解决复杂题的辩证的思维方式。
解：（1）①＜；②＜；③＞
（2）当时，
当时，
当时，
（3）＞

例11. 昌平南口农场的苹果非常著名，农场组织20辆汽车装运A、B、C三种苹果42吨到外地销售，按规定每辆车只装同一种苹果，且必须装满，每种苹果不少于2车。
（1）设有x辆汽车装运A种苹果
用y辆汽车装运B种苹果
试根据图表中提供的信息求y与x的关系式，并求x的取值范围。
（2）设此次外销活动的利润为W（百元），求W与x的关系式以及最大利润，并安排相应的车辆分配方案。
苹果品种
A
B
C
每辆汽车运载量（吨）
2.2
2.1
2
每吨获利（百元）
6
8
5
分析：（1）先根据题意可列出y与x的关系式，再由每种苹果不少于2车可以求出x的取值范围。
（2）先建立W与x的关系式，再由x的取值范围，结合关系式从而确定x的值。
解：（1）
化简，得：
由题意，可得：
解之得：
∴x的值为2、3、4、5、6、7、89
（2）

∴当时，W取最大值，（百元）
此时，装运方案为：装运A种苹果2车，装运B种苹果16车，C种苹果2车。

例12. 如图，梯形ABCD中，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A开始沿AD边向D以1m/s的速度移动，点Q从C点开始沿CB边向B以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、C同时出发，设移动时间为t秒，求：
（1）t为何时，四边形ABQP为矩形？
（2）t为何时，四边形PQCD为等腰梯形？

分析：（1）假设ABQP为矩形成立
即：

看P、Q应满足什么条件？
即AP＝BQ
解：（1）∵AP＝BQ

∴7秒时ABQP为矩形
分析：（2）若四边形PQCD为等腰梯形
即：

则PQ＝CD，将PQ＝CD的关系转化到AD、BC边上
则须添什么辅助线？
略解：（2）过P做PE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F

可证出四边形ABEP、PEFD、ABFD均为矩形
∵BC＝21，AD＝18，CF＝3
（若QE＝3，则PQ＝DC，则四边形PQCD为等腰梯形）

∴8秒时四边形PQCD为等腰梯形

【模拟试题】
一. 选择题。
1. 下列说法中错误的是（ ）
A. 对角线互相平分的四边形是矩形
B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 对角线相等的平行四边形是矩形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
2. 在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的长的取值范围是（ ）
A. 2＜AD＜8 B. 1＜AD＜4
C. 0＜AD＜2 D. 无法确定
3. 不等式组的解集是（ ）
A. B.
C. D. 或
4. 不等式的非负整数解的个数是（ ）
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
5. 正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直平分 B. 对角线相等
C. 邻边相等 D. 每一条对角线平分一组对角

二. 填空题。
1. 梯形ABCD中，AB∥DC，DE∥CB，△AED的周长为18，EB＝4的梯形的周长为________________（如图所示）。

2. （1）对角线________________________________的四边形是正方形；
（2）对角线_________________________的矩形是正方形；
（3）对角线________________________________的菱形是正方形；
（4）对角线________________________________的平行四边形是正方形。
3. 当x___________时，的值小于；当x____________时，的值是非负数。
4. 请仔细阅读后答题：已知，若知道a、c，求b，叫对数运算，有，例如，因为，所以，求____________。

三. 解下列不等式（不等式组）。
（1）
（2）
（3）试确定c的范围，使不等式组，①只有一个整数解；②没有整数解。

四. 证明题。
1. 已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，试说明EF与AD互相垂直。

2. 如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，求∠BOE的度数。

五. 实际应用。
某家具商场出售桌子和椅子，单价分别为500元/张和60元/把，该商场制定了两种优惠办法：（1）买一张桌子赠送两把椅子；（2）按总价的87.5%付款，某顾客需购5张桌子，若干把椅子（不少于10把）。若已知购买数为x（把），付款数为y（元），试就两种优惠办法分别用x的代数式表示y，并讨论该顾客买同样多的椅子时，两种方法哪一种更省钱？

【试题答案】
一. 选择题。
1. A 2. B 3. B 4. C 5. B
二. 填空题。
1. 26
2. （1）互相平分，相等，垂直；（2）互相垂直；
（3）相等；（4）相等，垂直
3.
4. 4
三. 解下列不等式（不等式组）。
（1）
（2）
（3）①；②
四. 证明题。
1. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF为平行四边形
∴AE＝DF，DE＝AF
∵AD平分∠BAC

∴∠1＝∠2
∵AB∥DF
∴∠1＝∠3
∴∠2＝∠3
∴AF＝DF
∴AE＝DE＝DF＝FA
∴四边形AEDF为菱形
∴AD⊥EF

2. 解：∵矩形ABCD
∴∠BAD＝∠ABC＝90°
OA＝OB，AD∥BC
∵AE平分∠BAD

∴∠BAO＝60°
∵OA＝OB
∴△OAB为等边三角形
∴OB＝AB，∠3＝60°
∵∠ABC＝90°，∴∠4＝∠ABC－∠3＝30°
∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠5
∵∠2＝∠DAE，∴∠2＝∠5
∴AB＝BE
∵AB＝BO，∴BO＝BE
∵∠4＝30°
∴

五. 实际应用。
解：买5张桌子，10把椅子
元

，第一种合算
买5张桌子，x把椅子，

化简：

若，则

∴当买39（含39）把以上椅子时（2）合算
当买39把以下椅子时（1）合算