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均匀设计和正交设计的比较

    正交设计和均匀设计是目前最流行的两种试验设计的方法，它们各有所长，相互补充，给使用者提供了更多的选择。本节将讨论两种试验设计的特点。
    首先正交设计具有正交性，如果试验按它设计，可以估计出因素的主效应，有时也能估出它们的交互效应。均匀设计是非正交设计，它不可能估计出方差分析模型中的主效应和交互效应，但是它可以估出回归模型中因素的主效应和交互效应（参见1.3节）。
    正交设计用于水平数不高的试验，因为它的试验数至少为水平数的平方。我们曾遇到一项试验，有五个因素，每个因素取31水平，其全部组合有个，若用正交设计，至少需要做次试验，而用均匀设计只需31次，所以均匀设计适合于多因素多水平试验。
    均匀设计提供的均匀设计表在选用时有较多的灵活性。例如，一项试验若每个因素取4个水平，用来安排，只需作16次试验，若改为5水平，则需用表，作25次试验。从16次到25次对工业试验来讲工作量有显著地不同。又如在一项试验中，原计划用均匀设计来安排五个因素，每个有13个水平。后来由于某种需要，每个因素改为14个水平，这时可用来安排，试验次数只需增加一次。均匀设计的这个性质，有人称为“试验次数随水平增加有“连续性”，并称正交设计“有跳跃性”。
    正交设计的数据分析程式简单，有一个计算器就可以了，且“直观分析”可以给出试验指标Y随每个因素的水平变化的规律。均匀设计的数据要用回归分析来处理，有时需用逐步回归等筛选变量的技巧，非使用电脑不可。幸好电脑在我国已日趋普及，找一台电脑已不是很困难的事。配合本书，我们已编了一套软件，并有相应的说明。
    下面我们对两种设计的均匀性作一比较。在3.2节我们曾通过线性变换将一个均匀设计表的元素变到（0，1）中，它的n行对应于中的n点。用类似的方法，也可以将表变换为中的n点。这两个点集的偏差可以衡量它们的均匀性，或代表性。要合理地比较两种设计的均匀性并不容易，因为很难找到二个设计有相同的试验数和相同的水平数，一个来自正交设计，另一个来自均匀设计。由于这种困难，我们从如下三个角度来比较：

    i）试验数相同时的偏差的比较
    表23给出当因素数s=2,3,4 时两种试验的偏差比较，其中“UD”为均匀设计，“OD”为正交设计。
表23 实验数相同时两种设计的偏差
OD＆UD
s=2
s=3
s=4
s=5

0.4375
0.1445
0.5781
0.2000
0.6836
0.2709

0.3056
0.1944
0.4213
0.3102
0.5177
0.4066

0.4375
0.1163
0.5781
0.1838
0.6838
0.2233
0.7627
0.2272

0.4375
0.0908
0.5781
0.1262
0.6836
0.1705
0.7627
0.2070

0.2344
0.0908
0.3301
0.1262
0.4138
0.1705
0.4871
0.2070

0.1900
0.0764
0.2710
0.1294
0.3439
0.1793
0.4095
0.2261

0.3056
0.0710
0.4213
0.1205
0.5177
0.1673
0.5981
0.2115

0.3438
0.1797

0.5078

0.2822
06309

    例如，当s=2时，若用来安排试验，其偏差为0.4375；若用表，则偏差最好时要达0.1445。显然后者比前者均匀性要好得多，值得注意的是，在比较中我们没有全部用表，如果全部用表，其均匀设计的偏差会进一步减小。这种比较方法对正交设计是不公平的，因为当试验数给定时，水平数减少，则偏差会增大。所以这种比较方法正交设计明显地吃亏。在过去许多正交设计的书籍中，强烈地推荐用二水平的正交表，从偏差的角度来看，这种观点是错误的。
    ii）水平数相同时偏差的比较
    表24的前两列给出了两种设计水平数相同，但试验数不同的比较，其中当均匀设计的试验数为n时，相应正交设计的试验数为，例如的偏差0.1875，而的偏差为0.1597，两者差别并不很大。所以用安排的试验其效果虽然比不上，但其效果并不太差，而试验次数却少了6倍。
表24 水平数相同时两种设计的偏差
OD
D
UD
D

0.1597

0.1875

0.1378

0.1582

0.1211

0.1445

0.1080

0.1574

0.0975

0.1125

0.0888

0.1136

0.0816

0.1163

0.0754

0.0962

0.0656

0.0833

0.0548

0.0779
    iii）偏差相近时试验次数的比较
    刚才我们讲到比不上，如果让试验次数适当增加，使相应的偏差与的偏差相接近，例如的偏差为0.1445，比的偏差略好，但试验次数可省36/8=4.5倍，表25的最后一列给出了多种情形的比较及其可节省的试验倍数。
    综合上述三种角度的比较，如果用偏差作为均匀性的度量，均匀设计明显地优于正交设计，并可节省四至十几倍的试验。
表25 水平数相近时两种设计的比较
OD
D
UD
D
#OD/#UD

0.1597

0.1445
4.5

0.1378

0.1125
4.9

0.1211

0.1125
6.4

0.1080

0.0962
6.2

0.0975

0.0962
7.7

0.0888

0.0833
8.1

0.0816

0.0779
8.0

0.0754

0.0755
8.9

0.0656

0.0638
9.8

0.0548

0.0545
11.6