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第二讲 不确定性下的期望效用理论
确定性条件下的消费与投资尽管考虑了跨时问题，但未来投资收益是完全确定的。未来往往是未知的，现实中更多重要的经济决策是在不确定环境下做出的，很难直接运用第一章阐述的效用理论来研究不确定性环境中的个体选择，必须建立起一整套基于不确定性的专门理论——期望效用理论来那就不确定性下的个体最优决策行为。我们从一个经典的案例开始讲起。
案例 圣·彼得堡悖论
圣.彼得堡悖论（St Peterburg Paradox）关系到经济学理论的一个重要问题：如何对一个含风险的赌局进行评估？200多年前，瑞士数学家丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli）对该悖论提出了开创性的解，从此创立了效用理论以及期望效用理论。该悖论是丹尼尔.伯努利的表兄尼古拉斯.伯努利于1713年提出来的。1713年9月9日，尼古拉斯.伯努利在写给数学家M. de Montmort的信中提出了5个问题，其中第5个问题是这样的：
彼得掷一枚硬币，如果第一次掷硬币头面朝上，彼得答应给保尔一盾（荷兰盾）；如果第一次掷的结果是背面朝上，则掷第二次; 如果第二次掷硬币头面朝上, 彼得付保尔2个盾；如果第二次掷的结果是背面朝上，则掷第三次……，到第n次，如结果是头面朝上，彼得付保尔个盾。这个博局可以无限期地玩下去。保尔在该博局中所获的价值的期望值是多少？
尼古拉斯.伯努利之所以提出这个问题是由于他发现数学界对这个赌局的期望收益的计算与实际生活中发现的该博局的门票价之间存在着悖论。他发现，如果计算保尔的期望收入，则

按这个估算，保尔在该博局中的所获为无穷大，他应该付无穷大来买这个机会。但是，在实际生活中，任何一个理智正常的人若出卖这个机会，其卖价不会超过20盾，因为当时瑞士类似的赌局的门票不超过20盾。
如何解释这个悖论？
大数学家M. de Montmort (1678-1719) 对此并没有回答，但将尼古拉斯.伯努利的信连同上述问题公开出版了。从而引起了数学界后来者的兴趣。
2.1偏好与效用
2.1.1风险备选项的描述
假设C为代表所有可能的结果所组成的集合如果集合所有结果数目有限，则可以用 来表示。假设状态发生的概率分别为（任意一种状态发生的概率为，满足，且），我们称表示一个简单博彩。
（说明：博彩是描述风险备选项的一个正式工具。简单博彩有时候也写成这种形式：，不同的书可能有不同的表示方法，但是内涵是相同的。）举例如下：
p1=p2=0.5
T=0
T=1

θ1
θ2
投资1
－1000
1050
1200
投资2
－1000
500
1600
投资3
－1000
1050
1600
投资1相当于博彩，当未来只有两种状态时，简单博彩还可以简化为，表示以p的概率获得结果x，以1－p的概率获得y。请大家写出投资2和投资3的博彩形式。

相比绝对收益，人们更关注相对收益，即收益率。可以计算出以上三种投资的或有状态收益率。

θ1
θ2
投资1
5％
20％
投资2
－50％
60％
投资3
5％
60％
在简单博彩中，可能出现的结果本身是确定的。一种更为复杂的博彩是复合博彩，其可能出现的结果是一个博彩（即结果还是随机的）。对于任何复合博彩，都可以计算出一个引致博彩。
将复合博彩简化为简单博彩，称此简单博彩为引致博彩。举例：，复合博彩的引致博彩为
注：在有风险条件下，理性人是如何决策，或本质上是理性人如何对随机变量进行排序(比较)的。人们对资产本身没有偏好，而是对资产产生的收益及其发生的概率分布感兴趣。在不确定性条件下的决策理论，本质上就是在收益的概率分布上做选择。

例1，一袋中有100 个球，编号从0 到99，有四种搏彩，其货币结果分别以不同方式取决于从袋中取出球的偏号，具体见下表。请分别写出四种搏彩。
0 1-10 11-99
A 50 50 50
B 0 250 50
C 50 50 0
D 0 250 0
例2：某超市店庆搞活动，凡属是购物者满50元可获得一次抽奖机会。抽奖程序如下：先由顾客随机抛一枚硬币，字朝上参加L1博彩，花朝上则退出游戏。L1是一个摸奖活动，分为一二三等奖，一等奖以万分之一的概率获得免单机会，二等奖以百分之一的概率获得50元购物卡；三等奖获得价值5元的小礼品一个。请你写出该博彩和引致博彩。

2.1.2偏好关系
不确定环境下个体的决策，本质上是在对不同的随机变量进行排序。在对博彩偏好进行理论分析之前，假定决策者遵循结果主义的假设。即对任何风险备选项，决策者关心的是定义在最终结果上的简单博彩，而至于中间过程，即产生于简单博彩还是符合博彩对决策者无关紧要。
风险备选项集合定义在结果集合C上的所有简单博彩的集合，该集合为ċ。个体决策的目标可以被归结为一个偏好关系中，用来代表偏好关系，它是定义在风险备选项集合ċ上的一种二元关系。
如果ċ，被读作弱偏好于，或 至少与一样好。
如果ċ，，且不成立，被读作强偏好于。
如果ċ，且，则，被读作与无差异。
2.1.3偏好关系的性质假设
假设1、完备性
假设2、传递性
假设3、自返性
假设4 独立性：对任何的ċ，和，
独立性假设表明，如果我们把两个博彩的每个都分别于任意第三个博彩相混合，那么混合之后的博彩之间的偏好排序将独立于我们所用的第三个博彩。
独立性假设是不确定条件个体选择理论的核心，他提供了将不确定潜入个体决策模型的基本结构。通过独立性假设，个体希望把复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个部分，整个决策行为仅由不同的部分来决定。
2.1.4阿莱斯悖论
1953年，阿莱斯（Allias）曾做过一组心理试验，要求受验者在如下两组博彩组合种进行选择：
第一组：
A=（ 0 ，500； 1 ， 100 ；）
B=（ 0.1 ， 500 ； 0.89 ， 100 ； 0.01 ， 0 ）
第二组：
C=（ 0.11 ， 100 ； 0.89 ， 0 ）
D=（ 0.1 ， 500 ； 0.90 ， 0 ）
其中，每一数对中的第一个数字表示博彩的收益，第二个为概率大小。单位：万美元。

作业：
如果风险备选项集合上的偏好关系满足独立性假设，请证明：
1） 对任何的和，。
2） 如果，，，和，则。
3） 对任何的和，如果，当且仅当，。（保序性）
假设5 连续性：对任何的，和，集合 和 为闭集。
等价的阿基米德公理：
对任何的，如果，则存在，使得，
连续性假设将保证概率的微小变化不会改变原有的两个抽奖商品之间的偏好顺序。 如：如果消费者对“快乐和安全的开车旅行”的偏好强于“待在家中”，那么，他对于一个“快乐与安全的开车旅行”与一个具有充分小、但不为0的正概率的“发生车祸导致死亡”的混合结果的偏好，仍然要强于“待在家中”。连续性假设保证了效用函数的连续性。
定理（中值性）
如果风险备选项集合上的偏好满足独立性假设和阿基米德公理，若，且，则存在唯一的，使得。
证明：如果，取=1；如果，取=0.
当时，（存在性）反证法。如果不存在，满足。那么必然有任意的，必然有或者，取集合M={}，N={}，显然0，1，，由于任意的，有
根据传递性可知：，因此，不妨设M=，N=，因此有，根据阿基米德公理，存在，满足

矛盾。
唯一性，也是反证法，自己证明。
2.1.5 效用函数
在金融学的理论研究中，效用函数是描述偏好关系的方便工具。效用函数H(L)赋予风险备选集合中的每个博彩一个数值，将博彩按照个人偏好的顺序排列。如果对于任意的有成立，则函数关系是一个代表了偏好关系的效用函数。
定理3.7 如果在风险备选项集合上只有有限个或者可数个博彩，则建立在风险备选项集合上的理性偏好关系一定可以用效用函数来表示。

2.2期望效用理论
当风险备选项的结果集C中包含的有限结果数目很大，运用效用函数来表示偏好关系就变得异常复杂和极为不便。为此需要引入一类性质更好、处理起来更方便的效用函数——期望效用函数，为表示建立在上的理性偏好关系。
2.2.1期望效用函数及其特征
对于风险备选项的可能结果集合C={}，如果可以赋予一组数值{}，使得对于任意的简单博彩，都有U(L)=,则称效用函数U：具有期望效用形式。具有期望效用形式的效用函数被称为冯·诺依曼-摩根斯坦期望效用函数。
定理
效用函数 U：具有期望效用形式，当且仅当对于任意K个博彩,以及概率(),满足

证明：如果成立，那么记为以1的概率产生结果的退化博彩，将任意的表示为，则，因此效用函数U：具有期望效用形式。
如果效用函数U：具有期望效用形式，则对任意K个博彩,以及概率(),，有
，得证。
注：这个定理告诉我们期望效用函数存在，当且仅当复合博彩的效用等于简单博彩效用的复合。
定理
假定U：是代表风险备选项集合上偏好关系的冯·诺依曼-摩根斯坦期望效用函数，其仿射变换也是代表偏好关系的另一个冯·诺依曼-摩根斯坦期望效用函数。

2.2.3期望效用函数存在定理
期望效用函数存在定理：如果风险备选项集合上的理性偏好关系满足独立性假设和阿基米德公理，则偏好关系具有期望效用函数。

注：这个定理证明需要用到比较高深的拓扑学和泛函的数学理论，我们对证明过程不做任何要求，如果有兴趣，可以查阅以下文献：

但是当我们再加上一个约束条件的时候，这个定理就是我们能证明。加上一个条件就是：假设存在一个最优的博彩b和一个最差的、最不想要的博彩w.
证明：如果风险备选项集合上，存在一个最优的博彩b和一个最差的、最不想要的博彩w。
那么对于所有的，均有。如果，则意味着所有博彩是无差异的。对所有的博彩，其效用都为常数。
当时，对于任意的，均有，必然存在唯一的，满足，定义，可以证明当且仅当，（自证）。因此是效用函数。再证明此效用函数具有期望效用函数形式。
对于任意K个博彩,以及概率(), ，根据效用函数定义，

得证。

关于期望效用函数的几点说明：
1、 首先需要界定确定性条件下的货币效用。是对效用求数学期望。期望效用函数是定义在不确定资产收益的结构上，而货币效用函数定义在单个货币的收益上。
2、 如果未来自然状态的概率给定，，效用函数是唯一能够描述一个投资特征的函数。一般投资者具有递增（越多越好）、凹（风险厌恶）的效用函数。但对期望效用函数投资者来说，不确定性的结构如何却不影响投资决策。
2.2.4 VNM期望效用表达式的推广
n 对揭晓不确定性的时机的偏好
n 确保时间一致性计划的偏好
n 定义在结果上而非基本收益上的偏好
n 非线性概率权重。