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初中数学专题复习——全等三角形
一.知识点结构梳理及解读
1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等
3.三角形全等的判定：
（1）边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。
（2）角边角（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（3）角边角（ASA）：两边和他们的 夹角对应相等的两个三角形全等。
角角边（AAS）：两个角和其中的一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。
4.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
2.角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。
二、找全等三角形的方法
（1）从结论出发，看要证明相等的线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）从已知出发，看可以确定哪两个三角形全等；
（3）从条件和结论综合考虑，看能一同确定哪两个三角形全等；
（4）考虑辅助线，构造全等三角形。
三．全等三角形中几个重要结论
（1）全等三角形对应角的平分线、中线、高分别相等(对应元素都分别相等)
（2）在一个三角形中，等边对等角，反过来，等角对等边；等腰三角形三线合一；等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍；等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高。
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形一边上的中线等于这边的一半，那么，这条边的对角等于90°；Rt⊿30°角的对边等于斜边的一半，反之，Rt⊿中如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角是30°。
（4）三角形三内角平分线交于一点（这点叫三角形的内心，这点到三角形三边的距离相等），三角形两外角平分线与第三内角平分线交于一点（这点叫三角形的旁心，这点到三角形三边所在直线的距离相等），到三角形三边所在直线等距离的点有四个

经典例题
例1．如图：BE、CF相交于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，且DE=DF。求证：AB=AC。

举一反三：
例2．【变式1】如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

例3．【变式2】如图：∠BAC=90°，CE⊥BE，AB=AC，∠ABE=∠CBE，求证：BD=2EC。

例4．（启航）已知：如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，求证：AB=BF

例5．已知：如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE；说明：AD+BC=AB．

例6．（24题）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，∠ACB的平分线交BD于点E。
（1）求证：BC＝CD；
（2）求证：BC＋CE＝AB

例7（24题）．.如图，在等腰三角形ABC中，CA = CB，∠ACB = 90°，点D、E是直线BC上两点且CD = BE，过点C作CM⊥AE交AE于点M，交AB于点F，连接DF并延长交AE于点N．
(1).若AC=2，CD=1，求CM的值；
(2).求证：∠D=∠E．

例8（2015级一中七下）.已知两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，其中∠ACB=∠DFE=90°，E为AB中点，线段DE，EF分别交线段CA，CB（或它们所在直线）于M、N．
（1）如图l所示放置，当线段EF经过△ABC的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC于M，求证：AM=MC；
（2）如图2所示放置，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请探究AM，MN，CN之间的等量关系，并说明理由；
（3）如图3所示放置，当线段EF与BC延长线交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连MN，EC，请猜想AM，MN，CN之间的等量关系，不必说明理由．

例9（2016级南开七下）。已知，在等腰中，为直线AB上一点，连接CD，过C作，且，连接DE，交AC于F。
（1）如图1，当D、B重合时，求证：。
（2）如图2，当D在线段AB上，且时，请探究DF、EF、CF之间的数量关系，并说明理由。
（3）如图3，在（2）的条件下，在FC上任取一点G，连接DG，作射线GP使，交的角平分线于点，求证：。

例10（2014级一中七下）。在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°D是AC的中点，DG⊥AC交AB于点G.
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF，连结EF与 CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．
①求证：DG=DC ②判断FH与FC的数量关系并加以证明．
图1
图2
（2）若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变，（本小题直接写出结论，不必证明）．

三角形中常见辅助线的作法
1、延长中线构造全等三角形
例1：如图1，已知△ABC中，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=6，求AD的取值范围．

第1题 第2题 第3题
2、引平行线构造全等三角形
例2：如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F．
求证：DF=EF．（提示：此题辅助线作法较多，如：①作DG∥AE交BC于G；　②作EH∥BA交BC的延长线于H；再通过证三角形全等得DF＝EF．）
3、作连线构造等腰三角形
例3：如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．求证：BD=DE=CE．
（提示：连结DC，证△ECD是等腰三角形．）
4、利用翻折，构造全等三角形．
例4：如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．求证：AC＝AB＋BD．提示：将△ADB沿AD翻折，使B点落在AC上点B＇处，再证BD=B＇D＝B＇C，易得△ADB≌△ADB＇，△B＇DC是等腰三角形，于是结论可证．

第4题 第5题
5、作三角形的中位线
例5：如图5，已知四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线交EF的延长线于点M、N．求证：∠BME＝∠CNE．提示：连结AC并取中点O，再连结OE、OF．　　则OE∥AB，OF∥CD，　故∠1＝∠BME，∠2＝∠CNE．、　且OE=OF，故∠1＝∠2，可得证．　　

综合练习题1：（2014中考）如图，已知△ABC和△ABD均为等腰直角三角形，∠ACB=∠BAD=90°，点P为边AC上任意一点（点P不与A、C两点重合），作PE⊥PB交AD于点E，交AB于点F．
（1）求证：∠AEP=∠ABP．
（2）猜想线段PB、PE的数量关系，并证明你的猜想．
（3）若P为AC延长线上任意一点（如图②），PE交DA的延长线于点E，其他条件不变，（2）中的结论是否成立？请证明你的结论．

综合练习题2：（2014中考）如图，点E在AD上，△ABC和△BDE都是等边三角形．猜想：BD、CD、AD三条线段之间的关系，并说明理由．

综合练习题3：（2014中考）点P为线段AB的中点，分别过线段AB的端点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接PC、PD．
（1）当直线l过线段AB的中点P，如图1，猜想PC、PD的数量关系（直接写出你的猜想）；
（2）当直线l过线段AB上的任一点，如图2，猜想PC、PD的数量关系并加以证明；
（3）当直线l过线段AB的延长线上的任一点，按照题意画出图形，并判断△PCD的形状（不必证明）．

综合练习题4：（2014中考）如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．
（1）求证：BG=CF；
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．

综合练习题5：（2014•宿迁）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．

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