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探索发现法、讲授法有机结合的实践与认识
—兼谈《椭圆》的教学设计
冒建生
(江苏省如皋中学 226500)
1 提出问题
新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式，要求学生进行探究性的学习，使学习活动成为在教师引导下的“再创造”过程.于是人们的视线偏向于学生如何进行自主探究、合作探究等发现法的学习方式，传统教学中的讲授法渐渐淡出人们讨论的范畴. 以笔者所在的县级区域力推的“活动单导学模式”（以下简称“活动单”）为例，其课堂设计主要有以下几个部分：情景创设、自主学习、合作探究、成果展示及点评提升.其核心思想是将第一思考时间还给学生，将第一表达机会还给学生，将第一反思机会还给学生.“数学+活动”构成“活动单”的基本模式，这种教学模式明确了学习活动的探究性质.
然而，课程改革的现状不是人们想象的那样乐观. 多年课程改革实践中，老师们依然觉得讲授法不只是驾轻就熟，而且经济实用.教师中流传“快讲多练常回头，考试成绩不用愁”， 在比赛课、公开课上，执教者为了“体现”新课程理念，才可以让人们见到发现法的“身影”.
2 追根溯源
那么，为什么人们探讨的话题（论文、讲座等）主要是如何开展探究式教学，而实践中老师们又常常回到讲授法而对探究式比较冷漠呢？把原因简单地归于执教者没有确立新课程理念是不客观的，把原因都归咎于高考的压力也是不全面的，实际上还有一个重要的根源是在教学理论上，发现法与讲授法就一直存在着激烈的争论.
2.1发现法倡导者的基本观念
美国20世纪50年代心理学家布鲁纳认为，由学生自身的认知需要以及内部动机启动的学习应该是一种对未知知识的探索与发现的过程. 为此，布鲁纳提出了发现学习的策略，以鼓励学生模仿科学家的科研活动方式，在学习过程中凭借自己的努力去探索和发现未知领域. 认知建构主义的基本观念是：学生有不同于成人的数学世界，数学知识不能从一个人迁移到另一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构.教师的作用是给学生建立良好的数学环境，教师要从知识的传授者转变为知识的“助产士”.教师的重要任务是按照学生的思维模式，建立学生的数学意义，促进他们有意义的发现学习.
荷兰数学家、教育家弗赖登塔尔在《作为教学任务的数学》中给出了“再创造”原则：“我想，学一个活动的最好方法是做，重点是从教转向学，从教师的行为转向学生的活动，从感觉效应转为运动效应”，“学生不应该学现成的数学，学生应该通过再创造来学数学……这样获得的知识与能力才能更好地理解，而且能保持长久的记忆”. 他认为这个“再创造”原则应该贯穿于数学教育整个体系中，要把数学教育作为一个活动过程来分析，要使学生在学习过程的不同层次中始终处于积极创造的状态.
2.2“活动单”的基本要求和策略
正是受建构主义等理论的影响，“活动单”特别强调的是：要把学习过程中的发现、探究、交流等活动凸显出来，使学生的学习更多的成为提出问题、观察和解决问题的过程. 其推崇的这样观念：学生学习的重大发展依赖于学习责任从教师到学生的根本转变. 为了达到这个目标，要求采取四条策略：问学生答案正确与否；鼓励学生探索问题；至少能解释自己正在尝试什么；进行足够长时间的小组讨论，使得学习者进入潜在的可能产生结果的区域.
2.3讲授法力挺者的基本观念
另一方面，对发现法一直有不少质疑的声音. 一些专家和学者认为发现式学习无视教学过程主要是学生学习间接知识，无视学生学习能力的差异性，无视作为“教学的数学”与“学科的数学”的不等同性，从而降低了教师在教学过程中的主导作用. 美国心里学家奥苏贝尔坚信：讲授法是人类文化遗产传递给后代的有效（有时甚至唯一）方法，教师应致力于不断开发这种语言进行教学的技巧. 他认为，学习是否有意义，不在于它是接受学习还是发现学习，而在于学习发生的条件，只要学习者表现出一种有意义学习的心理，即表现出把新学的材料同他已了解的知识建立非任意的、实质性联系的意向. 他认为教师的教学应该以讲授法为主要形式. 南京大学郑毓信教授也指出：我们又应该明确肯定，学习活动主要是一种文化继承行为，事实上，这也应当被看成认识上的一个误区……即认为建构主义的学习观直接决定了学习活动的探究性质，也即认为按照建构主义的观念，只有通过主动探究，学生才有可能进行有意义的学习活动. 他提醒人们：建构主义只是打开了数学教育研究的新思路，而没有给数学教育开一张“处方”，不能把对建构主义的理解边缘化.
2.4认知负荷理论的样例设计结论
再者，认知负荷理论的样例设计结论是：为学生提供没有详细解答步骤的例题或问题，对数学问题解决图式获得的教学设计策略并不如想象的那么有效. 相反，一些为学生提供有详细解答步骤的样例教学设计对于图式元素的抽取可能非常有效.一些实验证明在图式获得的初期，学习者从事问题解决不是非常有效的学习方法，特别是在完成复杂任务的过程中，新手从事有详细解答步骤的样例学习（简称“例中学”）获益较大. 而在图式形成的后期，“例中学”与通过问题解决学习（简称“做中学”）相比，其优势可能会消失. 相反，“做中学”的作用在逐步增强. 这个结论告诉我们：应该根据学生获得图式的复杂程度及学习阶段来选择“例中学”还是“做中学”.
2.5发现式学习的局限性
国外的相关实践给我们启示，即应当看到发现式学习的局限性. 在上个世纪60年代的美国曾积极倡导、推行发现式学习，但最终只能说是一次失败的尝试. 其失败的根本原因就在于基本立场的错误. 日本学者研究发现，发现式学习比讲授法学习要多花130%~150%的时间，即学习同一材料发现式学习所用时间是讲授法学习的两倍半. 发现式学习难以全面推行也就可想而知了. 华东师范大学戴再平教授也认为：“发现法教学中有许多重大的有待于解决的问题，如怎样的教材适合发现法；发现法是否可以在不同年龄的学生、不同性质的学科、不同类型的课堂中实施等等，都可以作为研究的课题.”
3 探索发现法、讲授法有机结合的实践与认识
在数学课堂教学中，发现法和讲授法是两种主要形式. 讲授法使学生习得知识速度快，因而更直接、更经济，是学生学习的最基本途径，也是主要途径；发现法需要一定的知识贮备作基础，这些知识主要是由接受式学习获得的.而依靠接受式学习获得的知识又需要通过探究的过程来加深和巩固，以提高理解的层次和水平. 另外，数学概念是反映事物在数量关系和空间形式上本质特征的思维形式，接受式学习是以概念的同化途径纳入学习者的知识结构中；而探究式学习则以概念的形成途径来优化学习者的知识结构.两种方法相辅相成，共同存在于教育教学的过程中.
下面的基本观念是重要的：探索发现法、讲授法有机结合必须面对新课程改革的现实，面对当今高考的现实，面对教室里学习数学的现实.新课程强调增加学生自主学习、探究的内容，但绝不是对讲授式教学的否定，而是要求教师舍弃传统教学中机械灌输的成分，还探究式教学应有的位置.把学习者的主动建构与向他人学习对立起来的观念是有害的.探索发现法与讲授法的有机结合，遵循教育教学基本规律，是现实的要求和时代赋予的使命. 诚如张奠宙教授明确指出的：“每种教学方法都有它的优势和局限性，在教学中与其强调某一种单一方法的优点和绝对性，还不如强调各种教学方法功能的互补性.”
为此，笔者以《椭圆》的教学设计为例，谈一谈本人在实践中的想法、做法.不当之处敬请指正.
3.1 随着课程改革的深入和高考形势的变化，每位教育人都应该审时度势，认真分析课程标准和新高考的要求，面对教育现实，借风试新，以图教学相长.
3.1.1要面对课程改革的现实
《普通高中数学课程标准（实验）》对《椭圆》一节的教学提出了明确的要求：“了解椭圆的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握它的定义、标准方程、几何图形及简单性质.”若只限于上述要求，不把课程理念和教学的具体内容结合起来，对学生思维能力的训练就不能落实到实处，本节课程的价值和意义就不能得到充分体现. 设计有以下考虑：（ⅰ）通过学生动手画椭圆，并观察曲线上不同点的共同规律，归纳总结椭圆的定义，训练学生的几何直观能力和抽象概括能力；（ⅱ）通过建立直角坐标系，推导椭圆的标准方程，然后在标准方程之下学习椭圆的几何性质，可以让学生感受解析法的魅力，培养学生的数学意识和运算求解能力；（ⅲ）通过老师设计的问题，让学生进一步探究椭圆的几何性质，鼓励学生独立思考，体验数学发现和创造的过程，增强学生的创新意识和培养学生的探究能力.
3.1.2要面对当今新高考的现实
从某种意义上讲，高考也是课程改革的指挥棒，课改的效果要接受高考的检测，不面对高考、只论改革的教学是不符合实际的. 圆锥曲线的教学中，由于研究双曲线、抛物线的方法与椭圆具有相似之处，所以，椭圆的知识与方法对紧邻的后续学习具有一种原始的开发功能.江苏高考将椭圆作为重点考查对象且具有较高的要求，自江苏单独出卷以来，就一直受到命题者的青睐.椭圆教学的重要地位由此可见一斑. 因此，老师要帮助学生建立起解决椭圆问题的一般模式，并“教给他们才智，思维方式.”（波利亚语）
3.1.3要面对教室里数学学习的现实
不同教室里坐着不同学习基础和知识结构的群体，面对不同群体的教学方法和手段是随之而变化的，这已成为人们的共识. 然而下面事实是不容回避的：课前预习是学生学习的一个重要环节，是每个学习者都能做到常态化的. 但是我国现行数学教材的行文基本上是采用陈述句来表达的，概念、性质、定理、公式等知识明明白白呈现在读者面前，课堂上学生是先知的，有的内容对学生来说已没有未知的成分或元素. 这对教师的备教提出了新的要求，倘若不顾学习者结论预知的现实，课堂上依然让学生探究一番，这种教学方式可能会演变为“伪探究”. 我们的确需要对学生的认知起点有一个准确的定位，才能够在椭圆的定义、标准方程及几何性质等方面知晓哪些内容应该让学生探究、哪些应该由老师讲解.
3.2 教学中，既要使学生习得扎实的基础知识，又要培养学生的数学思维能力；既要注意知识的整体性和完备性，又要把握住重点和分寸；设计教学时要考虑内容难度、学情状况，把讲授和探究有机结合起来.
3.2.1 椭圆定义的完整解读，需要将老师引导与学生探究式理解相结合
虽然教材中应用数学的三种语言——图形语言、文字语言、符号语言给出了椭圆的准确定义，但是学生课前的预习对定义的理解处于初步印象阶段和肤浅的层面上，它的本质所包含的各个要素相对于学生的认知水平来说还存在未知成份，概念的准确、深刻理解源于对概念的内涵和外延的透视、剖析. 因此，在老师的引导下，学生针对定义中的限制条件“平面上”、“常数大于”的道理进行探究，得出椭圆完整、准确的定义，这个过程也正好填补了教材给读者预留的空白.
3.2.2 椭圆标准方程的推导，需要将老师讲授与学生推演求解相结合
如果不考虑学生课前自主学习的因素，即假设学生只知道椭圆的定义，对推导椭圆标准方程的过程一无所知，那么，课堂上采用“做中学”的学习方式可能不是非常的有效. 因为学生不知道建立什么坐标系方程才是最简洁的，还要寻求化简的策略；加上运算求解的过程较为复杂（方程平方后等式两边字母多、项数多、次数高）；之前也没有可供参考的直接经验，即这些内容对学习者具有较高的“内在负荷”，且“内在负荷”可能超过学习者的“工作记忆容量”的限制.由此可以推断，如果学生没有良好的自学习惯，椭圆方程推导的教学设计选择“例中学”可能比较合适.
当学生有了课前的自主学习后，推导方程“内在负荷”得以降低，而随着“内在负荷”的降低，学习者在解决问题的过程中可以有“更多的心理资源投入到算子条件的精致加工上”，即是说“做中学”的作用在逐步增强，为采用“做中学”的设计提供了前提条件.
首先，教师讲解：设，常数，为什么要有系数“2”？这里留白，让学生先用后思考. 且老师讲明为了使的坐标既简洁又对称，采用的建系方法是：以所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系. 这种方法的合理性学生是能够接受的. 这样，教师把学生学习的着力点引导在推导标准方程上，因为“要求学习者将心理资源集中到一些与图式建构、自动化无关的活动上那么这些活动将防碍学习的顺利进行”. 由于推导过程的复杂性，学生合上课本独立完成，在策略分析和化简变形过程中还是表现出一定的困难，教师要视学生推演情况作适当的提示，符合数学教学的量力性原则.
学生在上述演算过程中，不只是自主学习之后的知识简单回忆和模仿，也包含着新的知识与方法对原有知识结构强力分化、整合的过程；这个过程尽管是“幼儿扶墙式”的学步，但是，它是学习者在学习道路上迈出的必要且致用的一步.
在推导方程中，教师无必要让学生探究其它（中心不在原点）坐标系下的椭圆方程. 有人认为上述教学设计没有让学生通过对比发现“标准方程”，失去了让学生亲历建系、感受推导方程的全过程，是属于“掐头无尾烧中段”式的教学设计. 对此，我们要指出的是：一方面，要明确作为“学科的数学”与“教学的数学”是有区别的. 要知道学生是刚刚涉入解析几何的“深水区”，在推导标准方程的过程中，要利用化简策略，判明化简方向，方程平方后等式两边的代数式比较复杂，不借助外部因素（翻看课本或老师、同学提示）的推演会有相当的困难. 如果椭圆的中心不在原点，学生去推导方程是何其艰难! 即便有学生推导出方程，没有平移坐标轴的知识和方法作基础，学生面对复杂的方程除了感知方程复杂外，还有其它的收获吗？另一方面，培养学生的发现和创造能力的机会比比皆是，又何必在这个问题上处心积虑呢？否则，探究将耗费学生大量的学习时间，犹如绠短汲深成为“性价比”很低的教学活动.
3.2.3 椭圆几何性质的学习，需要将教师讲授与启发式提问相结合
Kalyuga, Chanler等人的研究表明：在简单的学习任务中，考察有解样例的学习方式与探究学习方式之间的后测成绩差异只达到边缘显著水平，即“例中学”比“做中学”略好，没有显著差距.对于椭圆几何性质的学习，由于老师讲解的学习用时较短，大约需要20~30分钟；而探究式用时较长，如使用“活动单”大约需要35~45分钟，所以，椭圆几何性质的学习讲授法效率较高. 老师设计一些针对性问题，边讲解边启发式提问，学生回答椭圆的性质很顺利，效果也很理想. 椭圆的顶点、长轴、短轴、离心率等概念，老师讲解娓娓道来，明白明了. 用比用更能直接刻画椭圆的“扁平”程度，可为什么选用而不选呢？老师此处要发挥先知利导的作用，给予解释. 如果用“活动单”进行教学，不但用时长，而且活动中裹夹有“伪探究”的成分：学生有的结论已知道，不用探究；对于问题：“离心率为什么选而不选”，学生怎么“探”也弄不明白，课堂结构松散，效率不高. 高效率是课堂教学的基本追求，好课的标准不是某个固定的模式，而是方法与内容相匹配.
3.4. 椭圆性质的深入理解，需要将老师设计问题与鼓励探究相结合
所谓探究，是指人们利用已有的信息资源和掌握的方法来认识未知的问题，希冀有所发现或创新. 数学学习中的发现法，首先，问题结论是学生未知的或含有未知的成分，让学生通过观察类比、抽象概括、运算求解、猜想证明等思维过程来进行思考并作出判断. 其次，老师设计的问题既要贴近高考的实际，又要符合学生的认知规律，以开发学生潜力、启迪学生智慧.
以下的问题具有探究价值和意义，不但紧扣双基，还有提升学生数学能力的考虑，具有挑战性、开拓性，符合波利亚给数学教师的箴言：要找出手边哪些对后来解题有用的特征
——即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式.
问题1.点与椭圆的位置关系：设点在椭圆内，则满足什么关系？
问题2. “焦半径”公式：设点在椭圆上变动，是其左焦点，则用表示的解析式是什么？并求出的最大值和最小值.
问题3.椭圆的离心率：已知分别是椭圆右顶点和上顶点，过左焦点作轴的垂线交椭圆在轴上方的部分于点，且（为坐标原点），求椭圆的离心率.
问题4. 椭圆上点对两焦点张角的最大位置：设点在椭圆上变动，是椭圆左、右焦点，则的最大值是多少？当取最大值时，点在什么位置？
问题引领教学是探究性学习的核心所在，“活动单”适用于上述问题的教学.老师将第一思考时间还给学生，甘当“助产士”. 首先要求学生独立思考、自主探究，解决问题有的要从直观图形上寻求突破；有的要利用函数思想及椭圆的方程推算求解；有的要从定义出发挖掘隐含条件等等.依靠这样的真实探究才会让学生在“尝试、失败、再尝试”中，一步步走向成功；再让他们在小组内交流，小组成员之间可以疑难求助、质疑辨析或合作探究，从而感受集体的智慧和力量；最后进行成果展示，让不同小组的智慧“碰撞出思维的火花”，提高他们的数学判断能力、交流能力.
5 结束语
总之，发现法有利于发挥学生学习的主动性，有利于培养思维的创造性和发散性；探究式的教学设计必须针对学生的未知问题或含有未知成分的对象，要面对学情，坚决杜绝“伪探究”，要让探究式学习富有价值和成效. 讲授法有利于发挥教师的主导功能，但要摒弃机械传授和“一讲到底”，教师要不断开发讲授法的功能和应用的技巧，讲什么、怎么讲、什么时机讲都是教学设计的研究课题. 要充分发挥发现法、讲授法教学功能的互补性，探索两种方法在教学过程中的契合点，让“例中学”、“做中学”更加贴近学生、贴合内容，这样培养学生的数学精神和数学思维能力才会真实而高效.
参考文献
① 张奠宙主编. 数学教学研究导引[M]. 南京：江苏教育出版社，1998,5
② 连四清 伍春兰 认知负荷理论与数学教学样例设计[J] 数学通报 2005. 11
③ 高文 徐斌艳 吴刚. 建构主义教育研究[M]. 教育科学出版社 2008年2月
【作者简介】冒建生（1964—），男，江苏如皋人，大学本科，中学高级教师，数学组教研组长，南通市226工程学科技术带头人.
【原文出处】全国中文核心期刊《数学通报》2013年第1期，论文被中国人民大学书报资料中心复印报刊资料《高中数学教与学》2013年第6期全文转载.