“平面向量”的教育价值和教学建议.doc

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“平面向量”的教育价值与教学建议
南京外国语学校 陈光立
南京市第34 中 徐永忠
1．教育价值．
向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面．
1.1　有助于学生体会数学与实际生活的联系以及数学在解决实际问题中的作用
向量是刻画现实世界的重要数学模型．力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．《标准》突出向量的实际背景与应用．因此，通过本模块内容的学习，有助于学生认识到向量与实际生活的紧密联系，以及向量在解决实际问题中的广泛应用，从中感受数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实世界，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，发展数学应用意识．
1.2　有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学发现与创造过程
向量既是代数的对象，又是几何的对象，它是沟通代数与几何的桥梁．《标准》将向量与三角函数设计在一个模块中，主要是为了通过向量沟通代数、几何与三角函数的联系，体现向量在处理三角函数问题中的工具作用．《标准》要求学生经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，并由此公式作为出发点，推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及积化和差、和差化积、半角公式等，这个过程有助于学生体会向量与三角函数的联系、数与形的联系以及三角恒等变换公式之间的内在联系．
1.3　有助于发展学生的运算能力和推理能力
向量作为代数对象，可以像数一样进行运算．运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索．数运算，字母运算，向量运算，函数运算，映射、变换、矩阵运算等是数学中的基本运算．从数运算、字母运算到向量运算，是运算的一次飞跃，向量运算使运算对象从一元扩充到多元，对于进一步理解其它数学运算具有基础作用．《标准》要求学生掌握向量的加、减、数乘、数量积的运算，推导三角恒等变换公式．因此，本模块内容的学习有助于学生体会数学运算的意义，以及运算、推理在探索、发现数学结论，建立数学体系中的作用，发展学生的运算能力和推理能力．
2．教学目标．
2.1　具体教学目标
(1) 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量 的概念．
(2) 掌握向量的加法与减法．
(3) 掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
(4) 了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概 念，掌握平面向量的坐标运算．
(5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量 的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
(6) 掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用．掌握平移公式．
2.2 教学目标说明
(1) 通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量以及向量相等的含义，理解向量的几何表示．
(2) 掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算，理解上述运算的几何意义，理解两个向量共线的含义．
(3) 了解平面向量基本定理及其意义，理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
(4) 通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量的数量积与投影间的关系．掌握数量积的坐标表达式，会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题．
(5) 经历向量（及其运算）的建构的过程，以及用向量方法解决某些简单的实际问题（几何问题、力学问题等）的过程，了解向量的实际背景，理解向量及其运算的意义，并从中了解到数学和现实世界的深刻联系，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，培养学生的理论思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力．
用新课标的理念组织《平面向量》的教学
3．用新课标的理念组织《平面向量》的教学．
(1) 向量是近代数学中重要的、基本的概念，它是沟通代数、几何与三角函数的工具，有着极其丰富的实际背景．向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型．通过本章的学习，学生不仅可以掌握一种新的数学工具，而且可以帮助学生体会数学的内部联系，数学与实际生活的联系，以及数学在解决实际问题中的作用．新课标将《平面向量》和《三角函数》、《三角变换》放在一起，构成了统一的教学模块，这样做可以更好地体现向量在处理三角函数问题中的工具作用，体现向量集形数于一身的特点．现行教学也应将它作为统领全章的基点．
(2) 向量是现实世界的重要数学模型．学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程．教科书是按照“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的．
本章首先现实根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽像出向量的概念（数学模型），然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，最后再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的，同时也有助于数学应用意识的发展．现实世界中的问题建立数学模型对数学模型进行研究利用数学模型解决问题．
(3) 速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加以刻画和描述．在本章中，教科书突出了向量的实际背景与应用．
(4) 向量是形数结合的载体，在本章中，教科书一直坚持从形和数两个方面来建构和研究向量．具体地说，向量的几何表示、向量的三角形运算法则等等都是从几何的角度对向量的研究．而向量的坐标表示，坐标运算就是用代数的方法来研究向量了．这种形数结合的方法一直贯穿于本章始终，而在有关数量积的教学中更得到集中的体现．
(5) 本章要求学生掌握向量的线性运算和数量积的运算，这就把运算的对象从数、字母扩展到了向量．由于这是学生第一次有意识地根据解决问题的需要定义运算，这无疑是学生认识上的一次飞跃．这为进一步理解其它的数学运算（如函数的运算、映射、变换、矩阵的运算等等）创造了条件．特别是当学生利用向量运算解决了数学中（如推导两角差的余弦公式）和物理中的问题时，就更有助于学生体会数学运算的意义，感悟运算、推理在探索和发现中的作用了．
(6) 在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形、与几何、与代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等各不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性．这样做将有助于学生认识数学内容之间的内在联系，体验数学的发现与创造过程．教科书在编写习题和复习题以及后续学习内容时都充分注意了上面的问题．
4．教学建议．
(1) 向量是数学中重要的、基本的概念，它是从诸如“位移”、“力”等物理概念中抽像出来的．教学中要展现并让学生经历这个抽象的过程．
(2) 教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察，分析和比较，得出抽像的数学模型．例如，物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念都是向量概念的原型，物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时，注重向量模型的运用，引导现实解决一些物理和几何问题．这样这可以充分发挥现实原型对抽像的数学概念的支撑作用．
(3) 向量既是代数的对象，又是几何的对象．向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量“数”的特征，方向反映了向量“形”的特征．向量是集数、形于一身的数学概念，既有代数的抽像性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形像思维与抽像思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具.在教学中要突出数形结合思想，注意从形和数两个方面来理解、研究向量及其运算，从而让学生体会向量法的思想实质．
(4) 在教学中要注意应用对比和类比的方法．例如向量的运算法则、运算律与实数运算法则与运算律的类比（对比）；向量的平行条件与直线平行条件的类比（对比）等等．这样可以加深学生对知识的理解．
在本章的教学之初，应引导学生通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路，在学完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．
另外，从思想实质看，向量法与解析法是完全一致的，平面向量的学习有助于今后学生对解析几何基本思想的理解．