1、解答题规范专练(三) 数 列
1．数列{an}的前n项和为Sn＝2n＋1－2，数列{bn}是首项为a1，公差为d(d≠0)的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
2．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝2.
(1)判断数列是否为等差数列，若是，请给予证明，若不是，请说明理由；
(2)若bn＝·n，求数列{bn}的前n项和Tn.
3．(2014·皖南八校联考)将数列{an}中所有的项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a1
a2 a3
a4
2、 a5 a6
a7 a8 a9 a10
……
记表中的第1列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1＝a1＝1，Sn为数列{bn}的前n项和，且满足＝1(n≥2，n∈N+)．
(1)证明数列是等差数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)上表中，若从第3行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a81＝－时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．
答 案
1．解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n，
又a1＝S1＝21＋1－2＝2＝21，也满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n.
3、b1＝a1＝2，设公差为d，则由b1，b3，b11成等比数列，
得(2＋2d)2＝2×(2＋10d)，
解得d＝0(舍去)或d＝3，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1.
(2)由(1)可得Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋，
2Tn＝2＋＋＋…＋，
两式相减得
Tn＝2＋＋＋…＋－，
Tn＝2＋－＝5－.
2．解：(1)数列是等差数列，理由如下：
∵an＋1＝，an≠0，∴＝＋，
∴数列是首项为，公差为的等差数列．
(2)由(1)知，＝＋(n－1)·＝，
bn＝·n＝·n＝(n＋1)·n，
∴Tn＝2×＋3×2＋4×3＋…＋(n＋1)·n，①
Tn＝2×2
4、＋3×3＋4×4＋…＋(n＋1)·n＋1.②
①－②得Tn＝1＋2＋3＋…＋n－(n＋1)·n＋1＝
1＋－(n＋1)n＋1＝－，∴Tn＝3－.
3．解：(1)由已知，当n≥2时，＝1，
又bn＝Sn－Sn－1，所以＝1，
即＝1，所以－＝.
又S1＝b1＝a1＝1，
所以数列是首项为1，公差为的等差数列．
故＝1＋(n－1)＝，即Sn＝.
所以当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝－＝－.因此bn＝
(2)设表中从第3行起，每行的公比都为q，且q>0.
因为1＋2＋…＋12＝＝78，
所以表中第1行至第12行含有数列{an}中的前78项，
故a81在表中第13行第3列，
因此a81＝b13·q2＝－.又b13＝－，
所以q＝2(舍去负值)．
记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，
则S＝＝－·＝·(1－2k)(k≥3)．
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