第三讲平行四边形.doc

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第三讲 平行四边形
平行四边形是一类特殊的四边形，它的特殊性体现在边、角、对角线上，矩形、菱形是特殊的平行四边形，矩形的特殊性体现在有一个角是直角，菱形的特殊性体现在邻边相等，所以，它们既有平行四边形的性质，又有各自特殊的性质．
对角线是解决四边形问题的常用线段，对角线本身的特征又可以决定四边形的形状、大小，连对角线后，平行四边形就产生特殊三角形，因此解平行四边形相关问题时，既用到全等三角形法，特殊三角形性质，又要善于在乎行四边形的背景下探索问题利用平行四边形丰富的性质为解题服务．
熟悉以下基本图形、基本结论：

例题求解
【例1】 如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为 ．
(全国初中数学联赛试题)
思路点拨 分别求出PE、PF困难，△AOD为等腰三角形，若联想“到等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上的高”这一性质，则问题迎刃而解．

注 特殊与一般是对立统一的，在一定条件下可以互相转化，相对于一般而言，特殊的事物往往更简单、更直观、更具体．因而人们常常通过特殊去认识一般；另一方面，一般概括了特殊，一般比特殊更为深刻地反映着事物的本质，所以人们也往往通过一般去了解特殊．
一般与特殊，是知识之间联系的一种重要形式，知识常常在一般到特殊或特殊到一般的变化过程中，不斩地得到延伸与拓展．
【例2】 已知四边形ABCD，从下列条件中：(1)AB∠CD，(2)BC∥AD；(3)AB=CD；（4）BC=AD；(5)∠A=∠C；(6)∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（ ） A．4种 B．9种 C．13种 D． 15种 (山东省竞赛题)
思路点拨 根据平行四边形的判定方法及新的组合方式判定．

【例3】】 如图，在△ADC中，∠DAC=90°，AD⊥BC，DC、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．(湖北省荆州市中考题)
思路点拨 从角的角度证明困难，连结CF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．

【例4】 如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于G点，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD＝PC，求证：BC⊥BD，且BC=BD．
(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 尽管图形复杂，但证明目标明确，只需证明△CPB≌△DPB，应从图中分离出特殊三角形、特殊四边形，充分运用它们的性质为证题服务．
【例5】 如图，在等腰三角形ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连结DE，恰有AD=BC=CE=DE．求∠BAC的度数．
(北京市竞赛题)
思路点拨 题设条件给出的是线段的等量关系，要求的却是角的度数，相等的线段可得到全等三角形、特殊三角形，为此需通过构造平行四边形改变它们的位置．

注 课本中平行四边形的判定定理是从边、角、对角线三个方面探讨的，一般情况是，从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题．其中有真命题与假命题，对于假命题，要善于并熟悉构造反例．
构造反例是学习数学的一种重要技能，可以帮助我们理解概念．培养推理能力，数学史上就曾有许多著名的论断被一个巧妙的反例推翻的实例．
若题设条件中有彼此平行的线段或造成平行的因素，则通过作平行线，构造平行四边形，这是解四边形问题的常用技巧，这是由于平行四边形能使角的位置更理想，送线段到恰当的地方，使线段比良性传递．
学力训练
1．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行 四边形，还需要增加的一个条件是 (填上你认为正确的一个即可，不必考
虑所有可能情形)
(宁波市中考题)
2．(1)如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若∠DAE：∠BAE＝3：1，则∠CAC＝ ； (河南省中考题)
(2)矩形的一个角的平分线分矩形一边为lcm和3cm两部分，则这个矩形的面积
为 cm2． (武汉市中考题)

3．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．
(1)四边形ADEF是 ；
(2)当△ABC满足条件 时，四边形ADEF为矩形；
(3)当△ABC满足条件 时，四边形ADEF不存在． (2000年贵州省中考题)
4．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为 ． (2001年天津市选拔赛试题)
5．四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足，则这个四边形一定是( )
A．平行四边形 B．两组对角分别相等的四边形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
6．如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为( )
A．98 B．196 C．280 D． 284
(湖北省荆州市中考题)

7．如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长(粗线部分)为( )
A．12 m B．20m C． 22m D．24m
(吉林省中考题)
8．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则( )
A．AD>BC B．AD希望杯”邀请赛试题)
9．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别是BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADC．
(1)求证：△ACD≌△CNBF；
(2)当D在线段BC上何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°?
证明你的结论． (南通市中考题)

10．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于C，M为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．
(黑龙江省中考题)
11．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
(1)求证：CO＝FO；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．
(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形?
12．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有 对四边形面积相等，它们是 ．
(常州市中考题)
13．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积为 ．

14．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则∠BOE= ．
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 ． (山东省竞赛题)
16．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是( )
A．60° B．65° C．70° D．75° (“希望杯”邀请赛试题)

17．如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点EF分别在BC、CD上，则∠B的度数是( )
A．70° B．75° C．80° D．95°
(重庆市竞赛题)
18．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=( )
A．2 B． C ．3 D． (“五羊杯”竞赛题)

19．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CZ⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=
54°，则∠B=( )
A．54° B．60° C．66° D．72°
(武汉市选拔赛试题)
20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C=60°，BC＝2，D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连结DF，求DF的长．

21．如图，菱形的对角线AC与BD交于点O，延长BA到E，使AE=AB，连结OE，延长DE交CA的延长线于F．求证：OE=DF．
22．阅读下面短文：
如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个便点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD和矩形AEFB(如图2)．

解答问题；
(1)设图2中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为Sl、S2，则S1 S2(填“>”，“=”或“<”)；
(2)如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出 个，利用图3把它画出来；
(3)如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC>AC>AB，按短文中的要求把它补成矩形，则符合要求的矩形可以画出 个，利用图4把它画出来；
(4)在(3)中所画出的矩形中，哪一个的周长最小?为什么?
(陕西省中考题)
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM＝AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．
(杭州市“求是杯”竞赛题)
24．如图，在锐角△ABC中，AD、CZ分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连结PQ、DE．
(1)求证；直线PQ是线段DE的垂直平分线；
(2)如果△ABC是钝角三角形，∠BAC>90°，那么上述结论是否成立?
请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形，并给予必要的说明．
(“希望杯”邀请赛试题)

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