椭圆中的焦点三角形问题.doc

椭圆中与焦点三角形有关的问题
一、内容和内容解析
本节课起源于两个常见习题，在焦点三角形中很典型，教者试图利用课堂有限的四十分钟引导学生做一些探究，体会发现的乐趣。
规律在大纲中指的是定律、定理、法则等，一般在书上以黑体字出现，是前人研究的成果。而在知识形成和解题教学中，引导学生多角度挖掘知识，充分发挥典型题的探索价值往往能够使学生发现许多书本上没有的规律。让学生自主参与教学全过程，不仅培养了学生的自主学习能力。而且培养了学生的创新精神和实践能力，使他们体会到做学问的快乐。
费赖登塔力曾经说过：“学一个活动的最好方法是做。”学生的学习只有通过自身的操作活动和再现创造性的做才可能是有效的。通过引发创新思维的问题，让学生学会自主学习。培养他们的独立思考能力，这是培养创造能力的重要手段。学生具有了这种能力．就会不断获取新知识，创造就有了根基。
二、目标和目标解析
1.知识上，能一起探究焦点三角形的有用结论，能理解、会应用，体会到一些有用的结论将会为解析几何的解题带来帮助；
2.行动上，笔不离手，认识到有效的计算是解答解析几何问题的必备。
三、教学问题诊断分析
从学生的认知基础和认知结构看，第一，在高一学生虽然对已经学习了三角知识和基本不等式，但是对于利用三角和基本不等式处理关联的知识掌握参差不齐，甚至大部分学生没有这种意识；第二，如何把一个素未谋面的具体问题利用坐标法转化为熟悉的问题来解决这是一个关键，由于学生积累的经验还不够，这也是一个教学难点。第二，学生会感到结论太多，学过会忘记。
从教师这方面看，首先这部分内容教材中出现不多，但其实是各类考试的热点，经久不衰，题型灵活多样。鉴于知识储备及学生的差异，高效的组织教学将是一个突出的问题；其次学生虽然已对于简单的焦点三角形有所认识，但不可能从根本上去理解，在完成探究任务的同时，还要结合一些典型案例的处理，使学生经历较完整的自主发现的全过程，在过程中让学生体会坐标法的基本思想，对教师驾驭课堂、灵活应变能力提出了较高的要求。
四、教学过程设计
第一部分：课前两分钟。
学生活动：让学生轻闭双眼，随着舒缓的音乐，回想以前学过的焦点三角形，回忆它的研究方法。
教师活动：两分钟快结束时，点明研究需要的知识：椭圆定义、三角形中的的正(余)弦定理、内角和定理、面积公式等。
第二部分：四十分钟
（一）课题引入1
1. （教师活动）由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作为焦点三角形。当场在Google和百度上输入“焦点三角形”，均有350000条与之有关的词条；
设计意图：与这个三角形有关的问题是解析几何研究的热点，经久不衰，题型灵活多样。
2.问题：
题1：椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上动点，当 为钝角时，点P横坐标的取值范围是_______。
设计意图：从习题入手，不陌生，并且让学生明白本节课内容有很强的实用价值。
（二）问题的分析与引导
问题分解：
问题1. 椭圆的焦点为Fl、F2，点P为其上一点，当为直角时，点P的横坐标是_______。
问题2. 而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？
解题的关键在于点动，发现的大小与点P的位置有关，究竟有何联系，成了大家探索的焦点。
设计意图：把一个看似未知的问题转化为几个“已经具备的经验”可以解决的问题，是数学常规解题策略，这个任务不可能一蹴而就，但可以水滴石穿。
性质一：当点P从右至左运动时，由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点P与短轴端点重合时，达到最大。
3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？
提示：“这节课我们研究的是焦点三角形，在三角形中，求角的最值往往可转化为求什么的最值?”学生思考后回答：求某个三角函数的最值。
问题3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？
问题4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经大家演算、试验，悟出“欲求的最大值，只需求cos的最小值”
（面对cos= 如何求最小值，有的同学尝试后发现若用两次均值不等式，则两次不等号方向相反，达不到目的。能否少用一次均值不等式求出最值呢?学生们发现分子变化的部分是，分母变化的部分是，二者的关系是
，于是目标式可分成两部分 ，最后对 利用均值不等式，即可大功告成。

设计意图：在课堂教学和作业中渗透两个7：3是我们一直致力在研究的课题，本例很好地体现了三角及基本不等式的应用。
从而求得当 ，即点P与短轴端点重合时，cos有最小值为，有最大值。此题结果为。）
问题5：由上面的分析，你能得出cos与离心率e的关系吗？
性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）
设计意图：进一步的挖掘，可以让问题简单化，应用价值就更高，“看似一小步，其实一大步”！
题2：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。
思路：由焦点三角形性质二，
　≤＜
变式1：已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,
于是得到的取值范围是
追问：何时取等号？
变式2：若椭圆的两个焦点、，试问：椭圆上是否存在点，使？存在，求出点的纵坐标；否则说明理由。
简解：两种做法：
方法一：设,，可以得到，故，所以P的纵坐标的绝对值，故P的纵坐标为3或-3.
方法二：≤＜，但椭圆离心率为，不在范围内，故不存在。
两种解法，答案不一致，原因？
设计意图：两个练习题，层层递进，练习2直接为“问题引入2”埋下伏笔，有承上启下的作用。
（三）问题引入2（一道很普通的错题）
题3：P是椭圆 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若 ，则的面积等于_______。
多数同学：利用椭圆定义和余弦定理列出方程组，消元，求出，代入面积公式。
问大家：“既然面积可求，那么 也一定可求，请大家计算一下 的值”。同学们利用根与系数的关系构造一个以 为根的一元二次方程，发现此方程判别式小于0，无实根，究竟怎么回事，同学们陷入思考中。两种解法，两种结果，谁对准错，难以定夺，同学们自发地探索起分歧的原因。经讨论、交流、思考，发现题目出错，利用刚才—探索出的规律，当点P与短轴端点重合时， 有最大值，查表求得是，因此，给定椭圆上不存在点P，使
问题1：已知椭圆C： (a>b>0)，F1、F2是两个焦点，对于给定的角， 探求在C上存在点P，使 的条件。
尽量让学生得到：存在点P的条件可相应得到：。(B为椭圆短轴的一个端点)
设计意图：要学生养成仔细审题的习惯，就必须从课堂开始训练。
问题2：怎样改动，使上面不是一个错题？
改动一：P是椭圆 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若 ，则 的面积等于_______。
改动二：P是椭圆 上的点，Fl，F2是椭圆的焦点，若 ，则的面积等于_______。
问题3：改动的依据是什么？（,B为短轴的一个端点）
设计意图：自己编题，体会题目如何来，要考什么。
题4：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，求椭圆的面积。
解：设，，由余弦定理得①
由椭圆定义得 ②
由①得：

性质三：若、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且，则。
继续看题2：已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。
思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑
不妨设短轴一端点为
则≤
≤ ≤ ≤≥
故　≤＜
当然，若用公式去解同学们编制的题目，将是易如反掌的。
如果把图形特殊化，使PF1⊥F1F2,我们可以得到：
性质四：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为。
20090423
题5：已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．求椭圆的方程；
这就是09年浙江省高考理科试题。展示评分标准。
设计意图：从高考角度出现进一步体现实用价值。
问题：考察两个定点的位置还有哪些可能。
定点可以是长轴顶。恒、中心、短轴顶点，甚至可能是坐标轴上任一点或椭圆内的一点。
【课堂测试】
1.已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。若的面积为9，则 . 9（09上海）
2.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ C ） （09江西）
A． B． C． D．
3.已知椭圆的两个焦点分别为,,为椭圆上一点,且,则的值等于 ．
4（选做）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．证明；
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