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第14章 虚位移原理
在静力学中，我们利用力系的平衡条件研究了刚体在力的作用下的平衡问题，但对有许多约束的刚体系而言，求解某些未知力需要取几次研究对象，建立足够多的平衡方程，才能求出所要求的未知力。这样做是非常繁杂，同时平衡方程的确立只是对刚体而言是必要和充分的条件；而对任意的非自由质点系而言，它只是必要条件不是充分条件。
从本章开始我们学习用数学分析的方法来研究非自由质点系的力学问题，称为分析力学。1788年，法国科学家拉格朗日发表的《分析力学》一书，给出了解决非自由质点系的新方法，即利用广义坐标描述非自由质点系的运动，使描述系统运动量大大减少，同时从能量角度出发将质点系的动能、势能与功用广义坐标联系起来，给出了动力学普遍方程和拉格朗日方程。
虚位移原理是静力学的最一般原理，它给出了任意质点系平衡的必要和充分条件，减少了不必要的平衡方程，从系统主动力作功的角度出发研究质点系的平衡问题。
14.1 约束·自由度·广义坐标
14.1.1约束
质点或质点系的运动受到它周围物体的限制作用，这种限制作用称为约束，表示约束的数学方程称为约束方程。按约束方程的形式对约束进行以下分类。
1.几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束。例如图14-1所示的单摆，其约束方程为

又如图14-2所示的曲柄连杆机构，其约束方程为

上述例子中的约束方程均表示几何约束。
如果约束方程中含有坐标对时间的导数，或者说，约束限制质点或质点系运动的条件，称为运动约束。例如图14-3所示在平直轨道上作纯滚动的圆轮，轮心的速度为

运动约束方程为

设和分别为轮心点的坐标和圆轮的转角，则上式可改写为

2.定常约束与非定常约束
约束方程中不显含时间的约束称为定常约束，上面各例中的约束均为定常约束。约束方程中显含时间的约束称为非定常约束，例如将单摆的绳穿在小环上，如图14-4所示，设初始摆长为，以不变的速度拉动摆绳，单摆的约束方程为

约束方程中有时间变量，属于非定常约束。

3.完整约束与非完整约束
约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，称为非完整约束。反之，约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能积分成有限形式，称为完整约束。上述例子中在平直轨道上作纯滚动的圆轮，其运动约束方程为完整约束。
4.双侧约束与单侧约束
如果约束不仅限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为双侧约束。例如，图14-1所示的单摆是用直杆制成的，摆杆不仅限制小球拉伸方向的位移，而且也限制小球沿压缩方向的位移，此约束为双侧约束。若将摆杆换成绳索，绳索不能限制小球沿压缩方向的位移，这样的约束为单侧约束。即约束仅限制物体沿某一方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移，这种约束称为单侧约束。
本章非自由质点系的约束只限于几何、定常的双侧约束，约束方程的一般形式为
(14-1)
式中n为质点系中质点的数目，s为约束方程的数目。
14.1.2自由度
确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目称为质点系的自由度数，简称自由度，用表示。例如，在空间运动的质点，其独立坐标为,自由度为；在平面运动的质点，其独立坐标为,自由度为；作平面运动的刚体，其独立坐标为，自由度为k=3。
一般情况，设由n个质点组成的质点系，受有s个几何约束，此完整系统的自由度数为
空间运动的自由度数： ；
平面运动的自由度数： 。
14.1.3广义坐标
确定质点系位置的独立参量称质点系的广义坐标，常用表示。广义坐标的形式是多种的，可以是笛卡尔直角坐标,,、弧坐标、转角。
一般情况，设具有理想、双则约束的质点系，由n个质点组成，受有s个几何约束，系统的自由度为，若以表示质点系的广义坐标，质点系第i个质点的直角坐标形式的广义坐标为
(14-2)
矢量形式为
(14-3)
14.2 虚位移原理
14.2.1虚位移和虚功
1.虚位移
在某给定瞬时，质点或质点系为约束所允许的无限小的位移称为质点或质点系的虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。用变分符号表示，以区别真实位移。
例如图14-1所示的单摆，沿圆弧的切线有虚位移。
虚位移与实际位移是两个截然不同的概念。虚位移只与约束条件有关，与时间、作用力和运动的初始条件无关。实位移是质点或质点系在一定时间内发生的真实位移，除了与约束条件有关以外，还与作用在它们上的主动力和运动的初始条件有关。虚位移是任意的无限小的位移，在定常约束下，虚位移可以有沿不同方向的虚位移。
2.虚功
力在虚位移上作的功称为虚功，用表示，即
(14-4)

虚功与实际位移中的元功在本教材中的符号相同，但它们之间有着本质的区别。因为虚位移是假想的，不是真实位移，因此其虚功就不是真实的功，是假想的，它与实际位移无关；而实际位移中的元功是真实位移的功，它与物体运动的路径有关。这一点上学习时应当注意。
3.理想约束
如果约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零，这样的约束称为理想约束。若用表示质点系中第i个质点所受的约束力，表示质点系中第i个质点的虚位移，则理想约束为
(14-5)
将第12章的式（12-11）中变换为即可。如光滑接触面、铰链、不可伸长刚杆（二力杆）等均为理想约束。将第12章的理想约束推广到某些非定常约束，也能成为理想约束。例如变长度摆，如图14-5所示，绳的约束力在实位移上作的功，但虚位移上的虚功，因而也是理想约束。

14.2.2虚位移原理
虚位移原理：具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即
(14-6)
式(14-6)的解析式为
(14-7)
虚位移原理由拉格朗日于1764年提出的，又称为虚功原理，它是研究一般质点系平衡的普遍定理，也称静力学普遍定理。
虚位移原理的必要性证明：
当质点系平衡时，质点系中的每个质点受到主动力和约束力而处于平衡，则有

将上式两端同乘以，并连加得

由于质点系受有理想约束，即

则有
虚位移原理的充分性证明：
假设质点系受到力系作用时，不处于平衡状态，则作用在质点系上的某一个主动力和约束力其在相应的虚位移上所作的虚功必有

由于质点系受有理想约束，即

则对于质点系有

这与式(14-6)矛盾，质点系必处于平衡。
例题14-1如图14-6所示的机构中，当曲柄绕轴转动时，滑块沿曲柄滑动，从而带动杆在铅直的滑槽内移动，不计各杆的自重与各处的摩擦。试求平衡时力和的关系。

解：作用在该机构上的主动力为力和，约束是理想约束，且为1个自由度体系。有如下的两种解法：
（1）几何法
如图14-6所示，、两点的虚位移为，，则由虚位移原理式(14-6)得
（1）
由图中的几何关系得

（2）
式（2）代入式（1），得

由于虚位移为是任意独立的，则

有关系为

（2）解析法
由于体系具有1个自由度，广义坐标为曲柄绕轴转动时的转角，则滑块在图示坐标系中的坐标为

滑块的虚位移为

点的虚位移为

将点、的虚位移代入式（1）得

由于广义虚位移是任意独立的，则有

即

例题14-2如图14-7所示的平面机构中。已知各杆与弹簧的原长为，重量均略去不计。滑块重为，弹簧刚度系数为，铅直滑道是光滑的。试求平衡时重力与之间的关系。

解：去掉弹簧的约束，以弹力、代替，体系的约束为理想约束，在主动力重力和弹力、的作用下处于平衡。此体系具有1个自由度，广义坐标为，则由虚位移原理式(14-6)得
（1）
主动力作用点的坐标为

则各作用点的虚位移为上式取变分，得
（2）
弹簧的弹力、为
（3）
将式（2）和式（3）代入式（1），得

整理得

由于广义虚位移是任意独立的，则有

即得平衡时重力与之间的关系为

例题14-3一多跨静定梁受力如图14-8a所示，试求支座的约束力。

解：将支座处的约束解除，用力代替。此梁为1个自由度体系。由虚位移原理式(14-6)得

则

其中，各处的虚位移关系为

从而得支座的约束力为

14.2.3以广义坐标表示的质点系平衡方程
设由n个质点组成的质点系，受有s个定常完整约束，系统的自由度为，对质点系中第i个质点的广义坐标求变分，由式(14-2)得
（14-8）
其矢量式为

式(14-8)代入式(14-7)得

(14-9)
令

(14-10)
式(14-10)代入式(14-9)
(14-11)
其中，具有功的量纲，称为与广义坐标对应的广义力。
由于广义坐标具有独立性，式(14-11)有
(14-12)
即质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。式(14-12)广义力表示的平衡方程。
求广义力有两种方法：一是直接从式(14-10)中求出，另一中求法是利用广义坐标具有独立和任意的性质，令某一的虚位移，其余的个虚位移为零，则有

从而
(14-13)
在实际求解中常采用第二种方法。
例题14-4平面机构在如图14-9所示位置上平衡，已知在曲柄上作用有力偶矩，在铰链处，受有水平力。，各杆的重量和摩擦不计，试求水平力与力偶矩为的关系。

解：此机构为2个自由度体系。设广义坐标为曲柄与水平轴的夹角，滑块的水平位移。
（1）求广义坐标所对应的广义力
令滑块不动，虚位移，则广义力

图示位置，杆可以看成瞬时平移，则有

代入上式，再由质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。则

得

则水平力与力偶矩为的关系为
（a）
（2）求广义坐标所对应的广义力
令曲柄不动，虚位移。此时体系相当于为曲柄，杆为连杆组成的曲柄连杆机构。铰链处的虚位移垂直于杆，由速度投影定理得

广义力为

由质点系平衡条件

得

则水平力与的关系为
（b）
将式（a）代入式（b）得水平力与力偶矩为的关系为

例题14-5如图14-10所示两重物和，重量分别为和，并系在细绳上，分别放在倾角为和的斜面上，绳子绕过两个定滑轮与动滑轮相连。动滑轮上挂重物，重量为的重物。若滑轮和细绳的自重以及各处的摩擦不计，试求体系平衡时，、和的关系。

解：此机构为2个自由度体系。设广义坐标为重物沿斜面向下的位移为和重物沿斜面向上的位移为。重物的竖直位移为。
（1）求广义坐标所对应的广义力
令重物不动，虚位移，则广义力

由运动关系得

则上式为

由质点系平衡条件

得
（a）
（2）求广义坐标所对应的广义力
令重物不动，虚位移，则广义力

由运动关系得

则上式为

由质点系平衡条件

得
(b)
由式（a）和式(b)得、和的关系为

当主动力是势力时，势能也是广义坐标的函数，即

主动力与势能的关系由（12-27）有
(14-14)
虚位移为
(14-15)
将式(14-14)和(14-15)代入(14-10)得

(14-16)
则虚位移原理的平衡方程式(14-12)变为
(14-17)
或者为
(14-18)
即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。
例题14-6例题14-2用广义坐标法，求试求平衡时重力与之间的关系。
解：此机构为1个自由度体系。广义坐标。设铰链为重力的零势能点，弹簧为原长为弹力的零势能点，则体系的势能为

虚位移原理的平衡条件，

得

由虚位移是任意独立的，则得

14.3 本章小结
1．约束·自由度·广义坐标
约束分为以下形式：
（1）几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。
（2）运动约束：约束限制质点或质点系运动的条件。
（3）定常约束：约束方程中不显含时间的约束。
（4）非定常约束：约束方程中显含时间的约束。
（5）非完整约束：约束方程中含有坐标对时间的导数，而且方程不能积分成有限形式，（6）完整约束：约束方程中不含有坐标对时间的导数；或约束方程中含有坐标对时间的导数，但能积分成有限形式。
（7）双侧约束：约束限制物体沿某一方向的位移，同时也限制物体沿相反方向的位移。
（8）单侧约束：约束仅限制物体沿某一方向的位移，不能限制物体沿相反方向的位移。
自由度：确定具有完整约束的质点系位置所需独立坐标的数目，用表示。
广义坐标：确定质点系位置的独立参量，以表示质点系的广义坐标。
由n个质点组成的质点系，受有s约束，自由度为，则质点系第i个质点直角坐标形式的广义坐标为

矢量形式为

2.虚位移·虚功·理想约束
虚位移:质点或质点系为约束所允许的无限小的位移。
虚功：力在虚位移上作的功。
理想约束：约束力在质点系的任意虚位移中所作的虚功之和等于零。即

3虚位移原理
具有理想、双侧、定常约束的质点系其平衡必要与充分条件是：作用在质点系上的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即

解析式为

4.广义坐标表示的质点系平衡方程
（1）一般的平衡问题
广义力：

广义力表示的平衡方程：

即质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。
（2）当主动力是势力时
广义力:

其中，势能是广义坐标的函数，即。
平衡方程：

或者为

即在势力场中，具有理想、双侧、定常约束的质点系平衡的必要与充分条件是：势能对每个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。