闪耀光栅对厄米_高斯光束的衍射_郑辉.pdf

幸国:条充弟10卷第1翔闪耀光栅对厄米一高斯光束的衍射郑辉(中国科学院上海光机所)提要:本文解析了闪耀无栅对厄米一高斯光束的方和费衍射分希,发现光栅对厄米一高斯先束衍射的分辨本领并不取决于光栅处的光斑尺寸,而是由r光束本身的参量光腰截面半径决定的。众ffractionofablazedgratingil luminate dwit haHermit.Gaus sianbe a m名无e怜gH“落(日恤叼园I到的it ut eo fOpti叨a nd 王、neM6 Cb an i,人呀dem纽S过傀)A bstra ot:T he万 丫au nhof erd if fra 心t iondistributionf romabhz edgra如9il lum l naf od诚比三叮mi tGaus sian悦ams15inv e s桩g at e dan aly ti临l iy.I七15f ound th atth er esolu七iono f七h egra桩ng111口min at ed诫t haHe r 刀n l七一G aus sianb eam15notd咖rmin odb yth es Po ts iz eonth ag ratingbut妙t h epa r amet e ro ft h e腼mi俪1 f,主.e.t hor ad iu so fth eb e amw ai s ts eo t io n由于大多数激光光束都是厄米一高 斯型场分布(或拉盖尔一高斯型),而一般讨论有 关衍射间题多是采用均匀分布的平面波或球面披,自然会提出用厄米一高斯光r束与均匀平面波在处理一些衍射问题时有无差别的问题。01a of e、氏he ll山等人讨论过拉盖尔一高斯光束的圆孔衍射间题;Dombr ov日ki l即等人 讨论过高斯分布的参考光束对全息图再现的影响。光栅对均匀平面波衍射已是众所周知的 81,但光栅对厄米一高斯光束的衍射问题却还未见报导。本文利用万buri er变换得到闪耀光栅的方和费衍射场分布,给出各种模式的光栅方程及分辨本领。并发现光栅分辨本领不像通常用均匀平面波照射光栅时分辨本领取决于光栅处光斑尺寸(分辨本领 等于光栅上被照明的刻槽总数乘以衍射级),而是由光束本身的参量光腰截面尺寸决定。一、公式推导为了处理方便,本文只考虑入射光束的光轴方向垂直于光栅刻槽方向的情况,闪耀光栅及各种坐标 的选取如图1。设闪耀光栅周期为d,刻槽宽度为 峨,刻槽角(闪耀角)为。选取恤,幻坐标,使2轴为光栅的法线方向,。轴沿光栅面;选取 恤,约坐标,使斌轴沿刻槽面方向;选取何,犷r)坐标,使扩为入射光的光轴方向。光栅中心O l也是(二,幻及(扩,z)坐标原点;入射光的光腰中收稿日期:198 2年2月1日。难证明坐标系恤,约与恤”,广)的关系熟吠一武翎(感一a)一蛛s i n体一司二二血杯一匈一蕊。体一a)+h,)用恤,z l l)坐标表示光栅第。个刻槽面上任一点的坐标为:图1光栅及坐标选取心O,是 恤,:,)坐标原点。设峨、8分别是入射角及衍射角,设从:轴起顺时针转动角度为正,逆时针转为负。为了简便,本文只考虑一维情况(两维情况见附录A)。设入射光是厄米一高斯光 束,第。个模的复振幅为叭%恤,)F.恤“,)e砂(1)尸.(二,)式一耐刚感一分、(落一a)嵘耐咖感十了血体一a)+入将(4)式代入(1)式得:(,)二嘛行,叼(4)(5)讨斋击XH(镌芥)ep!一(箭羚)十谧筹了一,(。+合),。“,H.为厄米函数。少(:,)ta n一1即光栅上第。个刻槽面上任意一点的光场分布。由(力式知尸.试,嵘)是试,的缓变函数,完全可以忽略(4)式 中含分的项,贝少有:凡试,)一尸.(一耐哪落,心咖+h)澎尸.(一。do o s云,种/一丁一1,二/甲百奋诚o o s名一丫-抓渝渝H戈一二七示夕兰.少/耐哪云、,.,k(耐o o s落),“,”L一戈盖犷夕+,一兹亩一一,(。+韵,(句。(6,如果观察点B帆,始)是在方和费区,射其衍场 分 布公(味,动为光栅 表示场分布嘛(了动的Fo ur ie r变换:R(:r)二,“。,(:,)一。若1+1十;、,:;)、:.(0)一竺器竺、,氢J:1“(&,哟、.了产刃1矛了、!卜!.!篇翎喘户卜甘r.L.刀(广)、。倒护)分别是波前曲率半径和光束截面半径。吻为光腰(z,二0处)截面半径。光栅中心O:离开光腰中心o.的距离为吃口石刁夏h。将光栅刻槽编号如图1,各刻槽的序号 用一。,士1,士2,表示。光栅刻槽面上 任一点O的坐标可表示为:式心o o s“+砂蛛一n d由刀a丫ex P一夕吞咖恤一8)武(三,叻+哪恤一e)孟(砂叻而,件)将(幻与(5)式代入(7)式得:_、_,、二厂万尸1虱(6)一习(6):虽犷杯渝不赫一。/甲百耐o o s、_丁了耐峭、念丫H,一之井拱筹竺二)ex P弓一(共书彭卜)八“,又一一百丙/“,L火o,(h)/(2)+尹间0 05落),ZR(h)其中犷为光栅面上任一点在其所在 的槽面内的相对位置,如图1所示,。喊了喊叭。不十扒k d(。+,0)一”(8)其 中召(分叭了丽互久入入飞瑞1_;_fk叭。_:_,_、._九,。1-二亏一.L日创u戈协一“夕一日J l l气口一“夕JL右e xP沁+要+粤 s i n(;一、+“(“一,+小+韵,(”)。(8)式中万是整数。(8)式右端求和号中由功0曰0以上讨论可知当。变化1时,(8)式求和 号中的各项的变化量都是足够小的,因此(s)式对。的求和完全可以用对。的积分来代替。最后我们得方和费区某观察 点B处 的光 场分布为:于含有ex P一粤昙禁、,1一项,所以实际、切,刀,J虱(夕)叭do os落.卑耸(一1、一誉仁葬二介人、丫艺”饥!上对硫归)有贡献的。只是满足耐哪!小于几倍。(h)的那些。值。一下面说明(8)式对。求和可以用对。积分来代替。先给出几个量的数量级概念:dc o s云一般是波长数量级,毗o o s落最大是光棚的尺寸且近似为。(h)的“,染,口二“。,/寸百心o o s云、数量级。求和号中的H.是(.卫二止共李竺 三二)一一“一一”一。(种/1火+喘)一的缓变函数,当。变化1时,的变化量寸百do o s感。(h)寸万翩o o,落。(h)1,所以H.的 变化也 远小于 丸当。变化1时,指 数项_ _ 了耐0 05叭,1,_。一,_一dc犯落,x P一(=名 岑 导上)的变化量 正比于理婴井一L。(无)/J目“一J。h)-入夕,*.,_ _、;恤ac o s落),*,。=锐了1,指数项ex P户公筹 署筹井的变化。(h)一,口一2,一L“一2丑(h)J“节人阳。_一,.,呵dc os落),不耐eo s感)(doos坛、量正比于二岑去 岑 粤 导二 公竺答竺华井二共军鉴一入R肋.,“./书白策、,刊一o/从1 1+(琪掣人).一一L一、从/”dc o 日坛.,派6哭_.、.一,岑泞兴,尸,在h:岑色时,这个 量 取解呼)“/“一一一一极大且等于叫卫9丝x上一上1。再看田0Q)0功0(8)式 最后 一 项ex P办k d(s i n+s i no)一2二万,当。变化1时,其变化量正比于k d(s i n+s i n的一2二万。设0氏,0。满足k d(s i n落+苗五先)一2二万0,这正好是光栅方程,实际上只有当0在0。的附近很小的范围内光强才不为零,e一0。的范围大致为衍射角的范围一上,这样田0 xs i n o票,(一。s i n(0一a)xH。打湍了巨一昔、+s i n“)二一(嚣箫),xM一资(s i n+s i n“)(。功一畴+要+警 s i n(一a)十s i n(0一a)-(瓷斋)、”一要(s i n+s i no)n,(。二.、讨论(的式等号右边第一个因子叭de os落是对B点处有贡献的衍射光与射到光栅表 面光振幅之比;第二个因子J护叮姑表示球面波;苗刀。函数给出衍射场分布的包络线,它的极值位置对应于光栅的闪耀方 向。由苗n。函数第一个 零 点 给出包络 线的半 宽度 为:入d lo os(感一a)它决定了闪耀角的范围。娜(苗l感+由卫口)一2二万dcosso入下面讨论(9)式右边最后两个因子厄米多项式与指数函数项。将(功式写成:硫(0)片AH。(a)。一等一硫(a)。一福 需笋M:资(s i n干“叫(l 0)利用(10)式可以讨论光栅方程及分辨本领等问题。1.光栅方程光强极大值位置应满足下述方程:场分布在氏附近展开后变为如下形式:硫(哟一A。干票“一a)L八d、。,、。万了肠氛气g)=u,切y+s i n(“。一a)+,(夕。一司“xH.(业磊黔刁。)一(”利用厄米多项式性质得极值的条件为:H.+,(g)一夕丑.(g)(11)下面分别讨论对不 同的TEM模光栅方程:(i)TEMo o模,对应于一维。0的情况,则衍射强度最大值的位置应满足方程:d(s i n感+咖0 0)万入(1幻此式即为光栅方程。篮为衍射级。所以对于T EMo o模,光栅方程与均匀平面波的光栅方程完全一样。由于苗n。函数的角 半径入毗o o s(6。一a)高斯函数的角半径入CO日落布。oc o sso所以可忽 略上式 中s i n。函数中含朋的 一项。硫脚0)可写为:硫(口8)一AH_(丛巫竺竺丛竺.、。一(迎戮默哗)人CO S么/由3)1,Z、.1(i i)对TEMl o模,对应一维。(11)式得:劝c朋感“又恤么+腼“,一牲犷士百盲弄面(16)其中A是与0无关的常数。如果光栅是采用利特罗自准形 式(即衍射方向为逆入射方 向),则上式有两个位置光强巍大 值。取。为满足光栅方程(扮)式的衍射角,则取极大值位置0分别偏离夕。为:端一A H。(竺恩些旦)口一(掣,夕一80=口8=士寸万二。C08 乞co ss(14)将刁0用方和费区B点坐标(铸,扁)表示:0一e。刁0澎姚/儿。因在方和费区礴/入略1,所以(i i i)T EM加模,对一维。2,由(11)式得:。“,一了早璐)二箫。这样(16)式最后可写为如下形式:。s i n;+s i n。、一、入_尸二、。、一。、。/孟从约一1.1 0人。COS 么,若书旬O(1 5)式说明一个极值正好在0 0的位置,个极值分别偏离0 0为(15)另两;.()一,二.阵勇李、。一(潇)(17)山汤刀少,一士碍入。s感不 石了刚0 o。从上面分析可知,高阶模经光栅衍射后有几个极值位置,每个极值的位置对。一1,2分别由(13)、(1句式确定。但衍射光束中心线的方位仍与TEMo o模相同满足光栅方 程(12)式。2.厄米一高斯光束被光栅衍射后在方和费区的光强 分布仍是厄米一高斯型。将(的式以(17)式与(1)式的嘛恤,扩)相比可知:厄米一高斯光束经过光栅衍射后在方和费区其强度分布仍为 厄米一高斯形式。这与F our ie r光学中:厄米一高斯函数的Four ie r变换仍为厄米一高斯函数的结论是一致的。3.以厄米一高斯光束入射时,衍射光栅的分辨本领:(i)对于TEMo o模,由光栅方程d(s i n感+s i n几)一万扬其中杨为满足光栅方程的波长,可得dc o sso刁8卫从,代入(16)式得:知、一从6 o(叫一A e一徐黯r书(1 s)由此求得光栅分辨本领为:金一试黯了(19)为了说明厄米一高斯光束被光栅衍射的特点,下面给出均匀分布的平面波被光栅衍射的场分布及分辨本领闭。衍射场为:栅分辨本领等”照明的光栅条数(需箫)乘以衍射级万,但对高斯光束来说,这个规律并不成立。从图1可见光栅处的光束半径。(劝,对厄米一高斯光束光栅的分辨本领笋万一。入拓。刀U足一不产z 性吮丁丁丁丁r,即习八幼气父J妞 协:(二)一。(二滤渝“鄂_s i n(二瓮篆,韵ZaM万百茄砚刁入入(20)分辨本领为入,Za,。曰、-竺一万一二竺七-(21、纵一dc o s感、一/(21)式中a是均匀平面波光束截面半径。图2绘出光栅分别对均匀平面波 和 对厄米一高斯光束的方和费衍射场振幅与欲的关系(为方便取横坐标为恤芍擎 丝r半、),为比较,“一F、叭一阳刀犷一d00 s么入/,我们选取均匀平面波的孔径2。吻。由图2可见均匀平面波被光栅衍射后有正负相 间的次峰结构,但厄米一高斯光束被光栅衍射后却是平滑的。由光腰的截面半径吻决定。所以尽管 使激光器离开光栅很远伍 很大),使。(h)增大,被照明的光栅刻线数加多,但光栅的分辨本领却无任何提高,即光栅分辨本领只决定于厄米一高斯光束的固有特性光腰截面 半径吻。这一点初看起来似乎有些奇怪,但并不难理解。比较两种情况,即入射光的光腰处在光栅表面(h0)与入射光的光腰离光栅表面为h的两种情况。后者在光栅上的光束1一,、,_一、,八./h入、叭丁肠、”四叭刃比月“百蜘从上十火不哥)钱送似乎使光栅的分辨率变好,但是前者入射光在光栅处的波阵面是平面,相当于以平行光入射到光栅上,而后者入射光在光栅处的波阵面是球面,相当于以不同方向的平 行 光入射到光 栅上;入 射 光的角范围增大了1(、+(吧奥丫丫倍引起光栅分辨率变坏,这、沥田6/样总合效果使得虽然从h0增加到h,但不会使光栅分辨率变好。(i i)对于高阶模,光栅的分辨本领明显变坏(见附录B)。图2衍射场的相对振幅与队=入一扬的关系三、结论实线表示 由(15)式绘 出的以高斯光束入射时光栅的方和费衍射场;虚线表示由(20)式绘出的以均匀平面波入射时光栅的方和费衍射 场比较(1功式与(2均式可知厄米一高 斯光束照射光栅,光栅的分辨本领 等于孔径为Za。的均匀平面光照射光栅时光栅的分辨本领。再看(21)式,用均匀平面波照射,光上面结果可总结如下:(1)厄米一高斯光束经过光栅衍射后在方和费区仍为厄米一高斯分布。(助 对于T EMo o模,光栅方程与均匀平面波的相同;高阶模光栅衍射的光强为极大值的位置并不满足光栅方程,但衍射光束中心线的方位仍满足光栅方程。(3)对T EMo o模,光栅分辨本领等于直径为汀田。的均匀平面波入射时光栅的分辨本领。()对厄米高斯光束入射到光栅上,光栅的分辨本领在方和费区与射到光栅处光束截面半径。(h)无直接关系,而决定于光束本身的参量光腰截面半径吻。因此,为了提高光栅分辨本领必须扩束,使光腰截面半径吻增大,而不能通过拉长距离增 大。(h)来提高分辨本领。本文方法可以用来处理任意场分布的光束的光栅衍射问题。1饥(刃,)1I各:(即:)I卜一助一图3实线:虚线:衍射场振幅绝对值与刁0的关系对应TEMI模的中心波长场(山0)对应TEMI模的中心波长肠(加塑0,)认(口卜A二(鱼嘿黔巡)-。-。,/一一2梅.粤惹黔。一-e.姗一附录A对两维情况,TEM价。模可写为凡(,“)凡(,:,)尸“,“在光栅表面上,第一个因子的表达式为(6)式,可写为凡(二,:,)“凡(”内0 5,h)。本文考虑入射光束光轴方向垂直于光栅 刻槽方向,所以犷二犷,故在 犷方 向光栅面上场分布凡(,。,)二凡(夕,h)又因方和费区衍射场分布即为光栅表面上场分布的Four ie r变换,因此由上面 两表达 式可知:两维F ou r ie r变换可分成两个一维孔ur le r变换之积。在才方向上的场分布由于各刻槽面光场的干涉,其变换的结果出现了正文中所述的衍射分布,但因犷方向上光束未被分割成小单元,凡(犷,砂)的F o变换只是反映了光束的传播过程,因此在犷方 向上光束分布并不发生变化。更一般的情况,即入射光与光栅刻槽不垂直情况,除发生衍射分布外还伴 随反射,使衍射场空间方位发生变化,此问题本文不再考虑。(B1)其中刁8 二8一0。设。二1模的云,(动)中包含两个中心波长为与及林的光,图3绘出这两条光谱线振 幅的绝对值与朋二0一e。的关系。对人二入。(对应刁0二0)的谱线振幅取极值的位置,由(1 4)式得士刁01二入e0s艺翔万嘶。晶图3中设留。是衍射场振幅极值的绝对值!运叼0 1)降到1认倒0 1)】/e的位置。按照瑞利判据,如果中心波长入肠(对应加二朋。,e 0,一e 0)的衍射场振 幅左峰值位置也在动。位置,则队一肠一杨就是最小可分辨的波长差。首先求出云:(刁0)对应杨和肠中心线的角间距乙8。,如图3。刁80,=201+占,占三刁8。一刁81,使!云,(刁oe)卜几(刁01)!/e(B2)将(10)式认(0)在(0。十刁氏)附近展开,令080+刁01+6,则(10)式中g(占)二寸百二。dco s坛、M一会日n+s in(“。+”工+“,再利用(13)式得g(占)一甲百二吻de0s艺附录B粤票率V乙盯田O十会o o s(0 0+姚,“对于高阶模,T EMI。模(一 维有光栅的分 辨本领明显变坏,以仍1)为例说明之。根据 以6)式。一1一寸百二。与eos公e o s(凡+刁8,)舀把夕(6)代入奋i(0)得:戒生(占)一超生f l+漂黔咖(0 0“、。丢“,貂号一。(e+,l)。,一。l+骡黔.c o s(0 o+、3刁百入000 5感抓功oe o soo(B4)式即为肠及肠中心线的角间距。(B4)再利用匆与滋的关系刁0皿刁入de osso可求出光栅对呱M:模的最小可分辨波长差:、。一i l小等黔c o B(e.“勾理因为爪(动。)一石,(6+朋;)二云盆必),又将本,dc os0 0皿3万飞二札e。日落3而矾e6或寿万盲腌doo s肛派曰。,刁8生。彻。旧该甲百嘶。o e,b 0-代入(B1)式得认(d 0 l)一A凡(1)e-i一Z Ae一丢。所以由(B2)式得:。J,.斌百而。,.,、.12连11+.之兰竺兰竺。o s(0。+刁61、占l一L一与c o“-、-、-一J、。一丢+恶黔.。.(.+,:)叼:.2A。一酉/e二ZA。一百解(B3)式(精确到6,项)得占二礼e o。/甲畜咧。e os(0 0+动1),故得:所以光栅对TEMI模的分辨本领为:瓮一零瓮黔(B.。将(B5)式与(19)式相 比可见光栅对TE域模的分3辨本领比光栅对TEMO模的分辨本领 减少了方倍。对于更高阶模,光栅的分辨本领都可进行类似的计算,因此从略。(B.3)加。二2 乙口:+6 了百杨。o。盯“、翎氏与00 5侧百,。的s(8。+刁01)参考文献1G.0.Oho王。;J哪A,1970,6 O,1 6弘;R.e.氏ben时成;了06刁,1971,61,缸.【2V.人.工沁功b ro v.kli 时酩.;御才.角卯时r口吕 司岑,1 978,4拐,N心.5,801.aIM,王七rn,E.劝、I P;Pr加。iPl e so fopti。,Perg a功o n介创拍,196 4,p,40 1,45.E.日iegm an;I n饭o dnc饭o n切I启朋r san dMa阳丈日,1971.6.曰,0 月,0口卜0司户0.,0.卜。口,0.,0口,0月卜。口.0.,0闷,.口,O 叨,二,.月,0.卜 0.,o口,.月,0 心卜。门,0口卜0.,0.,0口.0月卜。口,0曰卜。口.0司,0.,0口户0口卜0月,(上接第12页)感谢本所计算机房周忠益、赵东焕等同志的协助。四、讨论自相似传输模的计算方法,适用于光场变化较为平滑的情况。当光场变化激烈 时,不能采用这种方法,若采用这种方法需另加调制因子。即该方法适合于模拟近理想光学系统的光传输。该方法利用拉盖尔多项 式 求解展开 系数,对于近场的快速调制,由于拉盖尔多项式中的平方项而互相抵消了,因此该方法不能给出费涅耳衍射图象。但是,该方法能够直接给出传输系统的像面和焦 面附近 的 场 分布,而且计算速度也较快,因此该方法具有一定的实用价值。参考文献11B.B.Aa r o n;A即艺.御.,1980,1.,No.10,1 597LZ岛.M吕加刀.时 公;P孙夕含.及”,石时云.,19 75,3 4,No.12,721.3人.E.压eg man时璐.;三卯考.如t.,19汉,主 3,No.12,277 5.4朱 如曾 编著;“激光物理”,国防工业出版社,1974年,P.196 5L LL取脚rt,L侧拍r及。咨甩m人n刀u alR e卯r t,1976,2扮.61J.T.H仙七。君成、:A妙、御云.,197 6,15,N O6,14 5 8.7L LL助户万t,La班 汀巧滋叨h。邵am足 泊I nia刀皿lR e和rt,1973.年8 王桂英等;激光,1981,.,NO.9,57