加减消元——解二元一次方程组.doc

七年级数学下册
第八章 8.2加减消元——解二元一次方程组

一、教学目标
知识技能：1.会用加减法解二元一次方程组。
2.进一步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”。
数学思考：通过对方程中未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成未知向已知的转化，培养观察能力和体会化归的思想。
解决问题: 通过用加减法解二元一次方程组的训练及选用合理、简捷的方法解方程组，培养运算能力。
情感态度：通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神，使学生体验到数学学习的乐趣
二、教学重点 用加减法解二元一次方程组
三、教学难点 探索如何用加减法将“二元”转化为“一元”的消元过程。
教学过程设计
一、知识回顾
1.解二元一次方程组的基本思想是什么？
2. 用代入法解二元一次方程组的步骤是什么？
（学生思考并回答问题，导入新课）
二、创设情境
王阿姨昨天在水果超市买了3千克苹果和5千克桔子共花了38元，李奶奶以同样的价格买了3千克苹果和4千克桔子共花了34元，每千克桔子的售价是多少？（比一比，看谁求的准！）
（此问题解决过程中蕴涵了加减消元的思想，为新知识的学习做了铺垫。并且通过这一实际生活中的小问题，激发了学生的学习兴趣。）

三、自主探究
问题:怎样解下面的二元一次方程组？
3x+5y=21 ①
5y-11
2
2x-5y=-11 ②
李明的思路：把②式转化为x= ③
形式，然后代入①，就是我们已经熟悉的代入消元法了。
王亮的思路：把②式转化为5y=2x+11，然后把5y看成是一个整体，就可以直接代入①，求出x了。
张华的思路：5y和－5y互为相反数
按照张华的思路，你能消去一个未知数吗？依据是什么？
学生回答：两方程两边分别相加，可以消去未知数x。依据是等式基本性质。
具体解法：
3x+5y=21 ①
2x-5y=－11 ②
解:由①+②得: 5x=10

x=2
把x=2代入①，得 3×2+5y=21

y=3
所以原方程组的解是
x=2
y=3
参考张华的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
2x-5y=－1
2x+3y=7
观察与思考
（1）二元一次方程组中未知数 x 的系数有什么特点？
（2）怎么样才能把这个未知数x消去？
（3） 你的依据是什么？
（找一学生回答以上问题，并简要叙述解题思路，教师板演解题过程。）
2x-5y=－1
2x+3y=7
解： ②－①,得:8y=8， y=1
把y =1代入①，得 2x－5×1=－1
解得: x=2
所以原方程组的解是
x=2
y=1

从上面的解答过程中，你发现了二元一次方程组的新解法了吗？
归纳概括
当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相减或相加，消去其中的一个未知数，得到一个一元一次方程，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（简称加减法）。
思考：用加减法解二元一次方程组将两方程相加还是相减看什么？
相同未知数的系数相同——减法
相同未知数的系数相反——加法
观察体验
x+y=10 ①
2x+y=16 ②
代入法：
解：由①，得y=10-x ③
把 ③代入②，得2x+（10-x）=16

x=6
把x= 6 代入① ,得 y=4
所以原方程组的解是 x=6

y=4
加减法：
解：②-①,得 x= 6
把x= 6 代入① ,得6+y=10
y=4
所以原方程组的解是
x=6

y=4
（通过代入法与加减法的对比，使学生体会到加减法的简便。）
四、合作探究
用加减法解二元一次方程组
3x+4y=16
①
5x-6y=33 ②
提示：
1.二元一次方程组中两个未知数的系数有没有特点？
2.如何将某一未知数的系数化成相同或互为相反数？
两个小组分别展示了他们的解答过程：
解法一：
①×3,得9x+12y=48 ③
②×2,得10x-12y=66 ④
③+④,得 19x=114
x=6
把x=6代入①,得3×6+4y=16
1
2
4y=-2
y=－
1
2
原方程组的解为
x=6
y=－

解法二：
①×5,得15x+20y=80 ③
②×3,得15x-18y=99 ④
1
2
③-④,得 38y=-19
y=－
1
2
1
2

把y=－ 代入①,得3x+4×(－ )=16

3x=18
x=6

1
2
原方程组的解为 x=6
y=－

（通过小组讨论交流，促进学生主动参与教学活动，培养学生合作探究的意识，及分析问题、解决问题的能力，进而使学生加深对加减消元思想的认识和理解。）
议一议：
1、上面这些方程组的特点是什么?
2、解这类方程组基本思路是什么？
3、主要步骤有哪些？
特点: 某一未知数的系数相同或互为相反数
基本思想:二元 —— 一元
主要步骤：变形——使同一个未知数的系数相同或互为相反数
加减——消去一个未知数
求解——分别求出两个未知数的值
写解——写出原方程组的解
试一试：
用加减法解下列二元一次方程组：
7x-2y=3 ① 3x-2y=11 ①
9x+2y= -19 ② 2x+3y= 16 ②
（找两名学生板演解答过程，教师订正并明确二元一次方程组的规范解答格式）
五、课堂练习
（一）.填空题：
1.已知方程组
25x-7y=16
25x+6y=10
两个方程只要两边 就可以消去未知数
（二） 选择题

1.方程组
3x+2y=13
3x-2y=5
消去y,所得方程是（ ）
A.6x=8
B.6x=18
C.6x=5
D.x=18
（三） 、指出下列方程组求解过程中有错误的步骤，并给予订正：
7x－4y=4 ①
5x－4y=－4 ②
解:①－②，得2x=4－4，
x=0
3x－4y=14 ①
5x＋4y=2 ②
解:①－②，得－2x=12
x=－6

提升训练：
若方程组 x+y=8m

x－y=2m 的解满足2x－5y=－1,则m为多少？
（通过这一系列有层次有梯度形式多样的练习，使学生可以灵活熟练地选择准确的加减法完成对二元一次方程组的求解，并能在解解答的过程中摸索运算技巧，培养计算能力与观察问题、分析问题与解决问题的能力。）
六、联系实际
王阿姨昨天在水果超市买了3千克苹果和5千克桔子共花了38元，李奶奶以同样的价格买了3千克苹果和4千克桔子共花了34元，桔子每千克的售价是多少？
解：设苹果每千克的售价为元，桔子每千克的售价为元。
3x+5y=38
①
3x+4y=34 ②
① － ②得: y=4 桔子每千克的售价为4元．

最简便的方法：抵消掉相同部分，小王比小李多买了1千克的桔子，多花了4元，故桔子每千克的售价为4元．
（回应引例，这一小问题的解决，揭示了加减消元思想在实际生活中的应用价值，使学生感受到了数学与生活的紧密联系。）
七、课堂小结
本节学习的数学知识是：
(1)加减消元法的概念
(2)用加减法解二元一次方程组的基本思想
(3)用加减法解二元一次方程组的主要步骤
本节用到的数学思想方法是:
(1)转化的数学思想
(2)类比的方法
（通过学生谈论自己的收获，疏理本节课的知识点，明确所运用的数学思想方法，使学生对本节内容有个更清晰的认识，更深入的理解。）
八、课下作业
必做题：课本第98页3小题
选做题：课本第98页5小题
（学生通过谈论自己的收获，提高了归纳概括的能力，更加明确了本节课所学数学知识中运用的数学思想方法，从而达到了知识的升华。）