第8章 电势.pdf

2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG1功能问题是物理学的各个研究领域的重要关注点，本章将讨论电场力做功的性质，给出静电场的环路定理，揭示静电场有势性，并进一步讨论静电场的能量。功能问题是物理学的各个研究领域的重要关注点，本章将讨论电场力做功的性质，给出静电场的环路定理，揭示静电场有势性，并进一步讨论静电场的能量。2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG2第第8章 电势章 电势8.1 静电场的保守性静电场的保守性8.2 电势差和电势电势差和电势8.3 电势叠加原理电势叠加原理8.4 电势梯度电势梯度8.5 电荷在外电场中的静电势能电荷在外电场中的静电势能8.6 电荷系的静电能电荷系的静电能*8.7 静电场的能量静电场的能量2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG3引力的功引力的功?11ppabababAdAGMmEErr=2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG48.1-8.3,8.5 静电场的保守性 电势静电场的保守性 电势一、静电场力的功 电势能（一、静电场力的功 电势能（8.5）1.静电场力是保守力静电场力是保守力(1)场源电荷为点电荷场源电荷为点电荷dAf dl=r rr r204Qqr dlr=r204Qqdrr=A bal dfrrdrrQqbarr=2040114abQqrr=QbaWW =2011-3-13F.Y.MENGFY.MENG51.静电场力是保守力.静电场力是保守力(2)任意带电体的电场：任意带电体的电场：可看作数个或无数个点电荷电场的叠加可看作数个或无数个点电荷电场的叠加=bal dfAvv()biafdl=vvvv)(l dfbaivv=baWW =011()4iiiaibQqrr=Wa、Wb为只与为只与q、电场有关的点函数，称为、电场有关的点函数，称为q在该点时系统（在该点时系统（q+场电荷）的场电荷）的电势能电势能babaWWA=静电场力作功等于相应电势能的减少量静电场力作功等于相应电势能的减少量001144iiiiiaibQqQqrr=2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG6静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零0=LldErr静电场的基本方程静电场是保守场，静电场力做功与路径无关静电场的基本方程静电场是保守场，静电场力做功与路径无关二、静电场的环路定理 电势二、静电场的环路定理 电势1.静电场的环路定理证明：任意点电荷在电场中沿任意闭合曲线移动一周.静电场的环路定理证明：任意点电荷在电场中沿任意闭合曲线移动一周=Lldfrv=LldEqrr02011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG7()()()()()()()()bababaWWl dEql df=rrrr()()baabWWElqqd=rrabqEr如图示点电荷在场中受力如图示点电荷在场中受力Eqfrr=与试验电荷无关，反映了电场在与试验电荷无关，反映了电场在a b两点的性质两点的性质abUU=称称ab两点电势差两点电势差()()=势能零点势能零点aaldEUrr若选若选b点的势能为参考零点，则点的势能为参考零点，则a点的电势为点的电势为2.电势.电势2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG8()()()baE dl r rr r 电势零点的选择 电势零点的选择(参考点参考点)任意（视分析问题方便而定）参考点不同电势不同任意（视分析问题方便而定）参考点不同电势不同*理论理论计算计算有限带电体有限带电体电势时选电势时选无限远无限远为参考点为参考点*实际实际应用中或研究电路问题时取应用中或研究电路问题时取大地大地、仪器、仪器外壳外壳等等*无限大带电体无限大带电体的电势选适当位置为电势零点的电势选适当位置为电势零点abUU=电势的量纲电势的量纲SI制：单位制：单位 V(伏特伏特)量纲量纲 132=IMTLqWU()()=势能零点势能零点aal dEUrr2.电势.电势2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG91.点电荷场电势公式点电荷场电势公式?球对称?标量?球对称?标量 =rldErrdrrQr =204rQU04=三、电势的计算三、电势的计算QPr Erl dr()()=PPl dEUrrrdrrQrr=204rdldrr=2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG102.任意带电体电势任意带电体电势(1)由定义式出发由定义式出发()()()()=0PPldEUrr(2)电势叠加原理电势叠加原理()()()()()()00PPiiPPUE dlEdl=r rrrrrrr=iiUU()()=rdqdUUQ04()()()()0PiiPEdl=r rr r标量叠加标量叠加（求电势方法求电势方法1）（）（求电势方法求电势方法2）三、电势的计算三、电势的计算F.Y.MENGF.Y.MENG等势区等势区例例1.计算.计算均匀带电球面均匀带电球面的电势的电势()()=Pl dEUrrdrrQodlRRr+=+204RQo解：取为势能零点解：取为势能零点Rr UrOR与电量集中在球心的与电量集中在球心的点电荷点电荷的电势分布相同的电势分布相同P电势的计算电势的计算F.Y.MENGF.Y.MENG例例2.计算电量为.计算电量为Q 的的带电球面带电球面球心球心的电势的电势RdqdU04=()()=QdUURQ04=RQo解：在球面上任取一电荷元解：在球面上任取一电荷元dqdq则电荷元在球心的电势为由电势叠加原理，球面上电荷在球心的总电势则电荷元在球心的电势为由电势叠加原理，球面上电荷在球心的总电势思考：?电量分布均匀？思考：?电量分布均匀？()()=QRdq04电势的计算电势的计算?圆环、圆弧？?圆环圆弧？2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG13例例3.无限长共轴直圆筒，半径为.无限长共轴直圆筒，半径为R1，R2，均匀带正电，单位长度电量分别为，均匀带正电，单位长度电量分别为 1，2，设外筒电势为设外筒电势为0，求各区域内的电势分布，以及两筒间的电势差。，求各区域内的电势分布，以及两筒间的电势差。解：电场具有对称性，利用叠加原理求场强：解：电场具有对称性，利用叠加原理求场强：当当rR1时时，E1=0rE0122=当当R1rR2时时,R1R2O21P然后用线积分求电势分布然后用线积分求电势分布02inEr =或：=或：电势的计算电势的计算2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG14R1R2O2121RPUE dl=rr+=+=210120RRrdr 12012RRln=+=+=121RrRRl dEl dErrrrP当当rR1时时,当当R1rR2时时220PRUE dl=rr21202rRdrr+=筒间筒间电势差电势差 U即即r=R1处的电势处的电势1201ln2RRU=注意：注意：本题如果选无穷远处为零电势点，将会出现无物理意义的情况。本题如果选无穷远处为零电势点，将会出现无物理意义的情况。R1R2O212PRE dr=vv12220ln2RUr+=P电势的计算电势的计算2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG16例例4.求电子在原子核电场中的电势能。解：考虑卢瑟夫模型：取.求电子在原子核电场中的电势能。解：考虑卢瑟夫模型：取0U=04ZeUr =+rZe204ZeWeUr =电势能的计算电势能的计算(8.5)2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG17例例5.求电偶极子在均匀场中的电势能。解：.求电偶极子在均匀场中的电势能。解：,ABWqUWqU+=E-q+q lBAWWW+=+=+maxmin;0;/20eeWp EWp EW =:0:场作的功：场作的功：12()2eeeAp Ep Ep E WW=epE=r rv v()ABq UU=cosqEl=BAqE dl=rrrr电势能的计算电势能的计算(8.5)2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG18如图所示，在与面电荷密度为如图所示，在与面电荷密度为 的无限大均匀带电平板相距为的无限大均匀带电平板相距为a处有一点电荷处有一点电荷q，求点电荷至平板垂线中点，求点电荷至平板垂线中点P处与带电板间的电势差。处与带电板间的电势差。qPaa/2PUE dl=r rr r板板思考题思考题12()PEEdl=+r rr rr r板板00qaU4a4 =20()42aa2a200qr drxdxr=+r rr rF.Y.MENGF.Y.MENG四、等势面四、等势面(一一)等势面等势面1U2312UU=nnEU()()CzyxU=,当常量当常量C取等间隔数值时,可以得到一系列的等势面取等间隔数值时,可以得到一系列的等势面2U3U等势面的疏密反映了场的强弱等势面的疏密反映了场的强弱若若 U0，则由电势相等的点组成的面叫等势面满足方程，则由电势相等的点组成的面叫等势面满足方程F.Y.MENGF.Y.MENG1.电力线处处垂直等势面电力线处处垂直等势面在等势面上任取两点在等势面上任取两点a、b，则，则babaE dlUU=r rr r等势等势=0Edlr rr r(二二)电力线与等势面的关系电力线与等势面的关系2.电力线指向电势降低的方向电力线指向电势降低的方向设设p1、p2为相邻等势面上的两点，场强方向如图所示为相邻等势面上的两点，场强方向如图所示21ppE dl=v vv vp1p2dlEUU+U12ppUUU=0U 21cosppEdl=0 2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG21典型等势面典型等势面2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG22电偶极势场电偶极势场2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG23电容器势场电容器势场F.Y.MENGF.Y.MENGlUEl=即电场强度在即电场强度在l方向的分量值等于电势在方向的分量值等于电势在l方向的方向的方向导数方向导数的负值的负值 21ppl dErvQdU=8.4 电势梯度电势梯度u1u2p1p2dlEUU+dUdndUE=场强沿等势面法线方向定义：场强沿等势面法线方向定义：电势在某点沿某方向（法线方向）的变化率为最大值时，该值称该点的电势在某点沿某方向（法线方向）的变化率为最大值时，该值称该点的电势梯度电势梯度21UU =l dEvvdlEl=dUEndn=vEdn=F.Y.MENGF.Y.MENGdUEndn=v在直角坐标系中在直角坐标系中dUUUUngradUUijkdnxyz=+=+v vvvvv电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度xyzUUUEUE iE jE kijkxyz=+=+rvvv$=+=+rvvv$*过电场中任意一点，沿不同方向其电势随距离的变化率一般是不等的,沿某一方向过电场中任意一点，沿不同方向其电势随距离的变化率一般是不等的,沿某一方向(等势面法线方向）其电势随距离的等势面法线方向）其电势随距离的变化率最大变化率最大，此最大值称为该点的，此最大值称为该点的电势梯度电势梯度*电势梯度是一个矢量，方向为该点附近电势升高最快的方向电势梯度是一个矢量，方向为该点附近电势升高最快的方向2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG26电场中某点的场强只与该点电势梯度有关，只有在电势处处不变的空间各点，场强才等于零;但是电势值为零的地方，场强不一定为零;反之，场强为零的地方，电势也不一定为零。电场中某点的场强只与该点电势梯度有关，只有在电势处处不变的空间各点，场强才等于零;但是电势值为零的地方，场强不一定为零;反之，场强为零的地方，电势也不一定为零。例：均匀带电球面内部电场场强为零内部为等势区（但不一定为零）表面电势处处相等（等势面）表面场强垂直于表面例：均匀带电球面内部电场场强为零内部为等势区（但不一定为零）表面电势处处相等（等势面）表面场强垂直于表面2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG27=Er(1)电势梯度的单位电势梯度的单位场强的单位场强的单位(2)等势区场强为等势区场强为0(3)匀场区电势均匀变化。匀场区电势均匀变化。(4)场强大处，电势不一定大，反之亦然。场强大处，电势不一定大，反之亦然。(5)由于电势为标量，一般情况下由电势梯度法求场强较方便。由于电势为标量，一般情况下由电势梯度法求场强较方便。说明：V/m=N/C2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG28例例1.已知一点电荷的电势为：已知一点电荷的电势为：rqU04=求：任一点的场强解：球坐标系中求：任一点的场强解：球坐标系中11sinrgradeeerrr =+=+)(rUU=UE=vrdrdU=rrq)4(20=rrq420=利用电势求场强(场强的第三种求法）利用电势求场强(场强的第三种求法）2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG29例例2.应用电势梯度的概念，求半径为应用电势梯度的概念，求半径为R、电荷面密度为、电荷面密度为 的均匀带电圆盘轴线上一点P的场强的均匀带电圆盘轴线上一点P的场强解：取半径为解：取半径为r，宽度为宽度为dr的圆环，圆环上电量为的圆环，圆环上电量为dq=2 rdr,它在它在P点的电势为点的电势为2204xrdqdU+=+=整个圆盘在整个圆盘在P点的电势：点的电势：=dUU+=+=Rxrrdr02202)(2220 xxR+=+=+=+=Rxrdq02204利用电势求场强利用电势求场强xRxPdrr2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG30E整个圆盘在整个圆盘在P点的电势：点的电势：220()2URxx=+dxdUEx=220()2dRxxdx=+=+)1(2220 xRx+=+=即为即为P点的场强点的场强利用电势求场强利用电势求场强xRxPdrr2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG31例例3.如图所示，长为如图所示，长为L，均匀带电为，均匀带电为Q的细棒，求的细棒，求z轴上一点轴上一点P(0,a)的电势及场强的的电势及场强的z 轴分量轴分量解：将棒分成无数小段，其中任一小段解：将棒分成无数小段，其中任一小段dx距离坐标原点距离坐标原点x2204axdqdU+=+=则：则：+=+=LpaxdxdUU02204aaLL220ln4+=+=220ln4pQLLzULz+=+=z轴上任一点轴上任一点P的电势为的电势为zUEz=22014zLzQ+=+=QL注注:Ex 0 zLxapdxx利用电势求场强利用电势求场强2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG32真空中静电场小结真空中静电场小结EUr r?两个基本方程两个基本方程00iiSLqE dsE dl =rrrrrrrr?两个物理量两个物理量2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG33测验题测验题1、真空中有两个点电荷、真空中有两个点电荷M、N，相互作用力为，相互作用力为FrFr当另一个点电荷当另一个点电荷Q移近这两个点电荷时，移近这两个点电荷时，M、N两个点电荷相互作用力为两个点电荷相互作用力为A、大小不变，方向改变、大小不变，方向改变B、大小改变，方向不变、大小改变，方向不变C、大小和方向都不变、大小和方向都不变D、大小和方向都改变（、大小和方向都改变（C）2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG342、判断下列说法是否正确、判断下列说法是否正确:A、如高斯面上、如高斯面上E处处为零处处为零,则该面内必无电荷则该面内必无电荷;B、如高斯面内无电荷、如高斯面内无电荷,则高斯面上则高斯面上E处处为零处处为零;C、如高斯面上、如高斯面上E处处不为零处处不为零,则该面内必有电荷则该面内必有电荷;D、如高斯面内有电荷、如高斯面内有电荷,则高斯面上则高斯面上E处处不为零处处不为零.(都不对都不对)测验题测验题2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG353、面电荷密度为、面电荷密度为 的两个无限大带电平板平行放置。则每个板上单位面积受到的静电力大小为的两个无限大带电平板平行放置。则每个板上单位面积受到的静电力大小为.0?Ei=rr-x202F=r测验题测验题2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG364、一个细玻璃棒被弯成半径为、一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量+Q,沿其下半部分均匀分布有电量沿其下半部分均匀分布有电量 Q.试求圆心试求圆心O处的电场强度和电势。处的电场强度和电势。204dqdER=测验题测验题dEv 0yEdE=方向：方向：j204RdR=2024QRdRR=2202QdR=?2200sin2QdR=220QR=00U=2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG37解：解：将带电平面分解成无数个宽将带电平面分解成无数个宽dx的平行细条，每个细条可视为无限长带电直棒的平行细条，每个细条可视为无限长带电直棒5、无限长无限长均匀带电均匀带电平面平面,宽度为宽度为b,面电荷密度面电荷密度,p点与带电平面共面点与带电平面共面,到平面邻边距离为到平面邻边距离为a.求求p点的场强点的场强xbapoba+bx x+dxEdrr在在x处任取宽为处任取宽为dx的无限长带电棒，它在的无限长带电棒，它在P点产生的场强为：点产生的场强为：rdE02=方向如图其中：方向如图其中：=xbar+=+=dx 1 dx=测验题测验题2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG38xbaPoba+bx x+dxEdrr0022()dxdErabx=+=PE0ln2PabEa+=dEdxxbab+=+=00)(2测验题测验题2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG39arO一均匀带电球体，半径为一均匀带电球体，半径为R，电荷体密度为，电荷体密度为，在球内挖去半径为，在球内挖去半径为r 的小球体，如图所示。图中的小球体，如图所示。图中a为带电球体球心引向空洞球心的矢量。求空洞内的电场。为带电球体球心引向空洞球心的矢量。求空洞内的电场。均匀带电球体内部任一点的电场？均匀带电球体内部任一点的电场？03rEr=r内03r=rbrcr补偿法求场强补偿法求场强P0033Ebc=rrr03a=r洞内是均匀场洞内是均匀场2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG4040保守力的功保守力的功=其势能增量的其势能增量的负值负值 8.5电荷在外电场中的静电势能电荷在外电场中的静电势能从而根据电势的定义，电荷从而根据电势的定义，电荷q0在电场中的电势能在电场中的电势能W W 等于该点的电势等于该点的电势 与电荷量与电荷量q0的乘积,的乘积,W=q0 该电荷该电荷q0在电场中具有的电势能是一种相互作用能，为在电场中具有的电势能是一种相互作用能，为q0和外电场共有。国际单位制中，电势能的单位是焦耳和外电场共有。国际单位制中，电势能的单位是焦耳(J)，还有一种常用的能量单位是电子伏，还有一种常用的能量单位是电子伏(eV)1 eV=1.60 10 19J2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG4141说明说明电势能电势能=势能零点势能零点aal dEqWrr1)电势能的大小取决于电势能的大小取决于势能零点势能零点的选择与场和外电荷的性质有关的选择与场和外电荷的性质有关2)电势能属于电势能属于整个系统整个系统，而不能说属于电荷，而不能说属于电荷qq能否能用能否能用电势能电势能Wa来表示来表示a点点电场的性质电场的性质呢呢?提问:提问:2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG42例例8.8求电矩求电矩p=ql的点偶极子在均匀外电场的点偶极子在均匀外电场E中的电势能。中的电势能。解解:均匀外电场中电偶极子的正负电荷分别具有电势能均匀外电场中电偶极子的正负电荷分别具有电势能W+=q A 和和 W=q B电偶极子在外电场中的电势能为电偶极子在外电场中的电势能为W=W+W=q(A B)=qlEcos =pEcos Wp E=rrl q+qABErmaxmin;0;/20eeWp EWp EW =:0:场作的功：场作的功：12()2eeeAp Ep Ep E WW=2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG43例例8.9电子与原子核距离为电子与原子核距离为r，电子带电量，电子带电量 e，原子核带电量为，原子核带电量为Ze，求电子在原子核电场中的电势能。，求电子在原子核电场中的电势能。解解:以无限远为电势零点，在原子核的电场中，电子所在处的电势为以无限远为电势零点，在原子核的电场中，电子所在处的电势为04Zer =电子在原子核电场中的电势能为电子在原子核电场中的电势能为204ZeWer =2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG44 8.6 电荷系的静电能电荷系的静电能对于对于n个静止电荷组成的电荷系，将各电荷从现有位置彼此分散到无限远时，它们之间的静电力所作的功，即电荷系的静电能个静止电荷组成的电荷系，将各电荷从现有位置彼此分散到无限远时，它们之间的静电力所作的功，即电荷系的静电能(相互作用能，简称相互作用能，简称“互能互能”)一、一、2个距离个距离 r 的静止电荷的静止电荷 q1 和和 q2 的互能的互能ddrrrr121230044rrrq qq qWFrrrrr=2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG45二、二、3个静止电荷个静止电荷 q1,q2和和 q3的互能的互能先固定电荷先固定电荷q1 和和q2 的，计算将的，计算将q3移到无限远过程中电场力作的功；然后固定移到无限远过程中电场力作的功；然后固定q1，计算将，计算将q2移到无限远过程中电场力作的功，两份功的总和即电荷系初态互能移到无限远过程中电场力作的功，两份功的总和即电荷系初态互能3231120 210 320 31444q qq qq qWrrr=+=+q1q2q3r12r23r312011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG46三、三、n个点电荷组成的电荷系的相互作用能个点电荷组成的电荷系的相互作用能112niiiWq=式中，式中，i为为q i所在处的由所在处的由q i以外的其它电荷所产生的电势。以外的其它电荷所产生的电势。d12qWq=四、连续分布带电体的互能四、连续分布带电体的互能(静电能静电能)上式中积分号内上式中积分号内 为带电体上所有电荷在电荷元为带电体上所有电荷在电荷元dq处产生的电势，积分遍及所有电荷。处产生的电势，积分遍及所有电荷。2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG47例例8.10 一均匀带电球面，半径一均匀带电球面，半径R，总电量，总电量Q，求这一带电系统的静电能。，求这一带电系统的静电能。解解:带点球面是等势面，其电势为带点球面是等势面，其电势为04QR =此电荷系的静电能为此电荷系的静电能为dd820011224QQQQWqqRR=此能量表现为均匀带电球面系统的自能。此能量表现为均匀带电球面系统的自能。2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG48例例8.11 一均匀带电球体，半径为一均匀带电球体，半径为R，总带电量，总带电量Q，求此带电体的静电能。，求此带电体的静电能。解解:已知带点球体的场强分布为已知带点球体的场强分布为130,4qEr rRR=rr球体内电势分布球体内电势分布rrrrR22123rR0dd(3)8qErErRrR=+=+=230,4qEr rRr=rr2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG49此均匀带点球体的静电能为其中此均匀带点球体的静电能为其中023q20R =qq11ddV22Wq=223q01(3)dV28qRrR=3/q4 R3=球壳体积元球壳体积元rrVd4d2=2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG50 8.7 静电场的能量静电场的能量前面的讨论意味着静电能集中在电荷上面，下面将指出另一观点：静电能存储在电场中。前面的讨论意味着静电能集中在电荷上面，下面将指出另一观点：静电能存储在电场中。考虑一均匀带电的气球球面，总带电量考虑一均匀带电的气球球面，总带电量Q，半径为，半径为R，此带电气球的静电能，此带电气球的静电能dd820011224QQQQWqqRR=因电荷斥力，气球膨胀半径增加因电荷斥力，气球膨胀半径增加dR，静电能减少，静电能减少220-dd8QWRR=2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG51气球膨胀前后，半径为气球膨胀前后，半径为R，厚度为，厚度为dR的球壳内的电场消失了，若认为静电能储存在电场中，则原来这个球壳层内的静电能为的球壳内的电场消失了，若认为静电能储存在电场中，则原来这个球壳层内的静电能为引入电场能量密度引入电场能量密度we，即单位体积的静电能则球壳层内的静电能可以表示为，即单位体积的静电能则球壳层内的静电能可以表示为220dd8QWRR=edwdWV=ddd42eeW=w V=wRR 对照上下两个对照上下两个dW公式公式224032eQwR =2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG52考虑到球面电荷的场强为这里的电场能量密度考虑到球面电荷的场强为这里的电场能量密度we 可表示为可表示为042QER=上式在特例中导出，但可证明适用于静电场一般情况。任意电场中上式在特例中导出，但可证明适用于静电场一般情况。任意电场中V空间内的静电能积分为空间内的静电能积分为202eEdWwdV=20V=dd2eVEWwVV=d12qWq=此公式与前面的静电能公式此公式与前面的静电能公式是完全等效的。是完全等效的。2011-3-13F.Y.MENGF.Y.MENG53例例8.12 一均匀带电球体，半径为一均匀带电球体，半径为R，总带电量，总带电量q，求利用电场能量公式求此带电体的静电能。，求利用电场能量公式求此带电体的静电能。解解:球内和球外两个区域分别积分静电能球内和球外两个区域分别积分静电能220102VrR=dd+d22eEEWwVVV=将例将例8.11所列出的场强带入所列出的场强带入32020qWR =此结果与例此结果与例8.11的结果相同。的结果相同。