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分数概念教学中不可疏忽的几个问题

作者：姜亚民    文章来源：南通市通州区实验小学    点击数：232    更新时间：2014/3/12

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分数是小学数学中的核心概念，也是小学阶段比较抽象、复杂的数学概念。笔者听课调查发现，有些教师对分数的内涵及思想方法的理解往往模糊不清，有的甚至存在一些错误观点，值得重视和研究。
一、不可淡化经历等分单位（整体）的过程
分数的原始意义，产生于“等分割及再合成其份数的活动”，这是分数概念发展的基石。分数是一个过程性概念。因此，在分数概念中，我们一定要让学生经历实际操作或心理操作等分割及再合成其份数的活动。特别是分数的初步认识阶段，要充分运用直观和形象的手段，让学生在具体的情境中动手操作，感悟意义。为了让学生更好地形成分数概念，深刻地了解分数的意义，操作活动注意“三变三不变”。一是改变分割的方式，不改变平均分的实质。如，把平均分一张长方形纸平均分成2份，可以横着对折，也可以竖着对折，还可以沿对角线斜着折，但只要分的每份的大小都相等。二是改变分割的对象，不改变整体的实质。第一阶段分割不同的连续量，如平均分割一个蛋糕、一张纸……（可改变其形状、大小）；第二阶段分割不同的离散量，如一盘、一筐苹果（可改变容器、数量）；第三阶段综合对比分割不同的量，如把一个苹果、一筐苹果、一条线段……都平均分成4份，取1份。三是改变平均分的份数和取的份数，不改变部分与整体的关系，如把一张圆形的纸平均分成2份，取1份；平均分成4份，取2份；平均分成8份，取4份……通过这些有目的、有重点、有层次的操作活动，经历平均分一个量，建立部分与整体之间的关系，逐步形成、完善对分数的认识，正确建立分数的概念。
二、分数不仅仅是部分与整体的关系
小学分数教学中往往只关注和强调分数表示部分与整体的关系。其实，分数具有多重意义：一是表示部分与整体的关系，二是表示两个量相除的结果（商），三是表示子集与集合的关系，四是表示两个量的比较结果（比值），五是表示数轴上的一个数值或点。分数具有多重意义，并不意味着要让学生一下子认识。在实施分数概念教学中，应当按照教材的安排，夯实基础，突出重点，分步推进，逐步扩充分数的内涵，不断完善分数的意义。表示部分与整体的关系是分数的基本意义，务必要教扎实。分数的这一意义也是分步扩展、逐步抽象概括的。在此基础上，要引导学生从不同的角度，全方位地认识分数。引导学生在不同意义情境下，体会分数概念共有“除的意涵”的不变性，了解其各种不同的表征方式，全面、深刻领会分数的意义，正确地建立分数概念，以后遇到分数能够根据其在具体情境中的意义，理解其不同的内涵，灵活地解决有关分数的实际问题。
三、单位“1”不能重“1”轻“单位”
单位“1”是给分数定义、建立分数概念的重要前提。正确地认识单位“1” ，对于建立分数概念至关重要。但是，在分数意义教学中，有些教师重“1”不重“单位”，单位“1”的1不加引号，甚至误认为单位“1”就是自然数“1”。其实，1979年版的《辞海》就将“分数”定义为：“把单位分成若干等分，表示这样的一份或几份的数称为‘分数’。”“ 单位‘1’”应为“单位”。 单位“1”实际是指“整体量”或“单位量”。一个物体、一个图形、一个计量单位，一些物体等等，都可以看着一个整体，我们称它为单位“1”。 单位“1”不仅表示一个，也可以表示由多个事物组成的整体，它体现了数学高度抽象概括的特征。教学分数时，我们特别要注意引导学生从微观世界到宏观世界去认识单位“1”，不要仅局限于学生熟悉的、常见的的事例，还要适当从宏观世界举些例子，如一个国家、全世界、整个地球，不论其数量多少、体积大小、质量轻重……都可以把它看作一个整体，用单位“1”表示。强化学生的整体意识、单位意识，为牢固地建立分数概念夯实基础。
四、不要让学生走进分数单位的误区
教学分数单位，不少教师以为简单，往往轻描淡写，以致学生产生一些模糊认识。例如，把4个桃子平均分给4只，每只小猴分得这盘桃的几分之几？学生写出1/4，当问他这里的“1”表示什么？不少学生回答是“1个”；12个小方块，每行4个，有3行。当要求学生看图涂色表示1/4时，有些只在一行4个方块中涂了1个。说明学生对分数的意义和分数单位并没有真正理解。没有弄清分数单位的数字与所分实物个数的关系。不知道分母是指分割的所有份数而不指个数，分子是指所取得的份数而不指个数。分数单位的意义是“把单位‘1’平均分成若干份，其中的一份叫作这个分数的分数单位”，但不宜简单说“分子是1的分数是分数的单位”。又如，有些学生以为分数单位像整数单位一样是固定不变的。其实，分数单位是可以再分割或再复制的。可以将某个分数单位分割成为数个等价的低价分数单位，也可以将数个该分数单位集聚成为一个高价的分数单位。再如，在比较分数大小时，学生往往会认为比2/5大又比3/5小的分数是没有的，其实，任意两个分数中间是存在无限多个分数的。。最大的分数单位是1/2，而不是1/1，因为一般地说，分数单位定义中所说的“若干份”不包括“1份”，否则就难以说清。分数单位没有最小的。
五、不要忽视分数独特的性质特点
不同的分数，可以有相等的值；相同的分数，实际大小可能不等值。例如，在比较1/2和2/4的大小时，常常有学生误以为分母大的分数，其值比较大。其实，由于分数是表示部分与整体的关系，如果等分整体的方法不同，分割的所有份数和所取得的份数会发生变化，会得到不同的分数，但是它们的量没有变化，其值是相等的。也就是说，分数可以有不同的名字，但却代表相同的量，这就体现分数的基本性质，这是与整数完全不同的。另一方面，有些学生误以为分数相同，其表示的实际大小是相同的。其实，相同分数表示的实际大小并不一定相等。
六、不要忽视分数符号、名称、读写顺序与分数意义的一致性
教学分数时，有些教师不太关注分数符号、名称、读写顺序与分数意义的一致性。学生受已有知识和经验的影响，往往发生错误。如，把一个分数符号看成是两个孤立的数，写分数从上往下写，等。分数是一个过程概念，简单地说，就是先分后数，具体地说，先等分整体，再数一数分了多少份，取了多少份。通俗地说，分数就是表示等分整体所取部分结果的数。分数符号由三部分组成一个整体，它包含了分法、总份数、表示的份数这三个要素，比较形象、直观地体现分数的意义。分数的写法是与分数形成的程序及意义是一致的。写分数不能按照汉字书写笔顺从上往下写，而应先写分数线，再写分母，最后写分子。这样写有三个好处：一是与分数意义相一致，先要表示平均分，再表示平均分了多少份，最后表示取了多少份，有利于理解分数的意义；二是与分数的读法（顺序）保持一致，便于读得准，读得快。三是便于确定分数线的位置，易于居中，在一行中不会因写得偏上或偏下而不美观。分数的读法，也是与分数形成及意义是一致的，先读分母上的数，再读分子上的数，而且要读出“分”，而不能读成“份”。
七、不能忽视分数概念蕴含的数学思想
有些教师在分数概念教学中往往忽视分数概念所蕴含的数学思想，这样不仅不利于学生正确地建立分数概念，而且不利于发展学生的数学思维。分数概念蕴含着转换思想、等价类思想、公理化思想、函数思想数形结合思想等。我们特别要关注它所蕴含的转换思想、等价类思想。分数的转换思想体现在分数的化聚，通分等方面。如3个1/4可以合成3/4，3/4可以看作是3个1/4合成的结果。又如，比较3/4和5/8的大小，要将3/4转换为6/8再比较。再如，分数与除法、比的沟通，就涉及到表现形式的转换。分数具有无量纲性（不带单位的量）它们是等价的。根据分数的等价思想，可以把许多不可比的状态变成可比的状态，比如，一盒饼干的1/2与一张纸的1/2，虽然它们所代表的实际意义是不相同的，但是从部分与整体的关系来看，却是等价的。
八、不可忘却分数的文化因素
分数是人类文明的产物，我国很早就有了分数，最初用分成上下两部分的算筹表示一个分数。后来，印度人发明了数字，用和我国相似的方法，以上下两部分的数字表示一个分数。再往后，阿拉伯人借用除号中间的短横线，放在上下两部分数字的中间，变成现在这样形式的分数。这样让学生了解分数的发展史，有利于学生知道分数是不断简化、优化的，分数是表现较为复杂过程最简明的符号。分数的读法隐含了古汉语的知识，如“二分之一”就是一个古汉语词语，其中“分”是“等分”的意意思，“之”是“的”的意思，整个词语就是“等分成二份中的一份”的意思，教学时可以先说具体完整的意思，再用“二分之一”来概括，这样既有利于学生真正了解“二分之一”的含义，又能让学生从中体会古汉语的简练。分数各部分的名称蕴含现实生活和汉语修辞的元素，表示(取)的份数与分的份数之间的关系，好像孩子与母亲之间关系，有了母亲才有孩子，孩子是母亲身上掉下的肉。前人借用这种关系，将分的份数称之为“分母”，表示(取)的份数称之为“分子”，通俗易懂好记，这样既能激发学生学习兴趣，又有利于学生理解分数的意义。
“概念是儿童乃至成人建构复杂能力的基石。孩子可以运用认识或理解的主要概念，扩展到探究其他问题上，触类旁通地解决学习和生活中遇到的某些问题。”对核心概念的深刻理解和切实掌握，不仅影响到学生能否真正明确概念的内涵，而且关乎到师生的数学素养。