西安邮电概率论练习册第一章答案.pdf

第一次习题课 第一次习题课 作业 1 二、设作业 1 二、设,A B C是三个随机事件，试用是三个随机事件，试用,A B C的运算关系表示下列各事件：1的运算关系表示下列各事件：1A发生，发生，B与与C不发生；(不发生；(ABC,ABC)2)2A与与B发生，发生，C不发生;(不发生;(ABC,ABC)3)3A，B，C中至少有一个发生;(中至少有一个发生;(ABC,ABC+,SA B C)4)4A，B，C都发生;(都发生;(ABC)5)5A，B，C都不发生;(都不发生;(ABC)6)6A，B，C中不多于一个发生;(中不多于一个发生;(ABBCAC)7)7A，B，C中不多于两个发生;(中不多于两个发生;(SABC,ABC)8)8A，B，C中至少有两个发生;(中至少有两个发生;(ABBCAC)9.)9.A，B，C中恰有一个发生.(中恰有一个发生.(ABCABCABC)(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P2,例 2)(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P2,例 2)三、三、写出下列随机试验的样本空间 3记录一个班级一次考试的平均分数（以百分制记分）；写出下列随机试验的样本空间 3记录一个班级一次考试的平均分数（以百分制记分）；|0,1,2,100,mSmnn=?其中其中m表示班级所得总分，表示班级所得总分，n表示班级总人数;六、试用事件运算公式证明下列各式：1表示班级总人数;六、试用事件运算公式证明下列各式：1 AABABBAB=；证明 由于 =；证明 由于 ()ABBAB BABBBAB=()ABA SBASABAAB=所以 所以 AABABBAB=2 2()()ABABABBAABAB=证明 由于 证明 由于()()ABBAABBA=()()()()()()ABABABABABABAABBAB=ABBA=所以 所以()()ABABABBAABAB=作业 2 五、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？恰有两只配成一双的概率？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P8,例 15)七、朋友聚会，其中有 作业 2 五、从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？恰有两只配成一双的概率？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P8,例 15)七、朋友聚会，其中有a位男士，位男士，b位女士，大家随机的围绕圆桌就坐，求甲、乙两个人坐在一起（即座位相邻）的概率(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P6,例 9)九、设位女士，大家随机的围绕圆桌就坐，求甲、乙两个人坐在一起（即座位相邻）的概率(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P6,例 9)九、设,A B为两件事且为两件事且()0.6P A=，()0.7P B=，问 1.在什么条件下，问 1.在什么条件下()P AB取到最大值，最大值是多少？2.在什么条件下取到最大值，最大值是多少？2.在什么条件下()P AB取到最小值，最小值是多少？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P3,例 3)取到最小值，最小值是多少？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P3,例 3)十一、两艘船都停泊在同一个码头，这个码头不能同时停泊两艘船，它们可能在一个昼夜的任何时刻到达设两艘船停靠的时间分别是 1 小时和 2 小时，求有一艘船要靠位必须等待一段时间的概率 解 设第一艘船停靠的时间是 1 小时，且到达的时刻为十一、两艘船都停泊在同一个码头，这个码头不能同时停泊两艘船，它们可能在一个昼夜的任何时刻到达设两艘船停靠的时间分别是 1 小时和 2 小时，求有一艘船要靠位必须等待一段时间的概率 解 设第一艘船停靠的时间是 1 小时，且到达的时刻为x，第二艘船停靠的时间是 2 小时，且到达的时刻为，第二艘船停靠的时间是 2 小时，且到达的时刻为y.那么.那么(,)|024,024Sx yxy=(,)|024,024,01Ax yxyxy=(,)|024,024,02x yxyyx 那么所求概率 那么所求概率 2211222(24 1)(242)1391241152APS+=的面积的面积 十二、在 十二、在(0,1)中随机地取两个数，求它们乘积不大于中随机地取两个数，求它们乘积不大于14的概率.解 设的概率.解 设,x y在在(0,1)中随机地取两个数，那么中随机地取两个数，那么(,)|01,01Sx yxy=，1(,)|01,01,4Ax yxyxy=.从而所求概率.从而所求概率 APS=的面积的面积1141111ln40.597444dxx=+=+十四、某人一次写了十四、某人一次写了n封信，又分别在封信，又分别在n个信封上写了个信封上写了n(2n )个收信人的地址（不重复）.如果他随机地将这)个收信人的地址（不重复）.如果他随机地将这n封信装入封信装入n个信封中.试求 1.这个信封中.试求 1.这n封信中没有一封信装对的概率；2.恰好封信中没有一封信装对的概率；2.恰好m封信装对的概率.封信装对的概率.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P13,例 23)作业 3 十一、将两信息分别编码为(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P13,例 23)作业 3 十一、将两信息分别编码为A和和B传递出去，接收站收到时，传递出去，接收站收到时，A被误收作被误收作B的概率为 0.02，的概率为 0.02，B被误收作被误收作A的概率为 0.01，信息的概率为 0.01，信息A与信息与信息B传送的频繁程度为传送的频繁程度为,1:2若接收站收到的信息为若接收站收到的信息为A，问原发信息是，问原发信息是A的概率是多少？的概率是多少？解 设解 设1B为 发 出 信 息为 发 出 信 息A，2B为 发 出 信 息为 发 出 信 息B，A为 收 到 信 息为 收 到 信 息A，则，则1212,BBS B B+=，且，且1(|)1 0.020.98P A B=，2(|)0.01P A B=，12()3P B=，21()3P B=.由贝叶斯公式得所求概率由贝叶斯公式得所求概率 111112220.98()()1963()21()()()()1970.980.0133P A BP BP B AP A BP BP A BP B=+十二、已知男人中有 5是色盲患者，女人中有 0.25是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？十二、已知男人中有 5是色盲患者，女人中有 0.25是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解 设解 设1B为男性，为男性，2B为女性，为女性，A为色盲患者。因为色盲患者。因1212,BBS B B+=且且1(|)0.05P A B=，2(|)0.0025P A B=，11()2P B=，21()2P B=.由贝叶斯公式得所求概率由贝叶斯公式得所求概率 1111122()()0.05 0.520()()()()()0.05 0.50.0025 0.521P A BP BP B AP A BP BP A BP B=+十三、有两箱同种类的零件，第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱装 30 只，其中 18 只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.试求 1.第一次取到一等品的概率；2.第一次取到一等品的条件下，第二次取到也是一等品的概率.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P19,例 36)作业 4 七、常言道：“不怕一万，就怕万一”，“久以走黑路，就要碰见鬼”，“若要人不知，除非己莫为”，请用概率论的知识解释这一现象.解 设小概率事件为十三、有两箱同种类的零件，第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱装 30 只，其中 18 只一等品.今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样.试求 1.第一次取到一等品的概率；2.第一次取到一等品的条件下，第二次取到也是一等品的概率.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P19,例 36)作业 4 七、常言道：“不怕一万，就怕万一”，“久以走黑路，就要碰见鬼”，“若要人不知，除非己莫为”，请用概率论的知识解释这一现象.解 设小概率事件为A，()P A=，事件，事件iA表示事件表示事件A在第在第i试验发生，而且试验发生，而且iA相互独立，相互独立，()iP A=，1,2,in=?.那么在那.那么在那n次试验中，次试验中，事件为事件为A至少发生一次的概率 至少发生一次的概率 1212()1()1(1)nnnP AAAP A AA=?所以 所以 12lim()lim1(1)1nnnnP AAA=?这表明小概率事件不论在一次试验中发生的概率如何小，但不断重复进行这一试验，这个小概率事件迟早会发生.九、甲、乙、丙三部机床独立工作，而由一名工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为 0.9，0.8 及 0.85.求 1.在这段时间内有机床需要工人照管的概率；2.机床因无人照管而停工的概率；3.恰有一部机床需要工人照管的概率？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P23,例 44)十、设一个系统由 5 个元件组成（如示图）.元件 这表明小概率事件不论在一次试验中发生的概率如何小，但不断重复进行这一试验，这个小概率事件迟早会发生.九、甲、乙、丙三部机床独立工作，而由一名工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为 0.9，0.8 及 0.85.求 1.在这段时间内有机床需要工人照管的概率；2.机床因无人照管而停工的概率；3.恰有一部机床需要工人照管的概率？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P23,例 44)十、设一个系统由 5 个元件组成（如示图）.元件 1，2，3，4，5 正常工作的概率为正常工作的概率为p p，且每个元件都各自独立工作，求系统能正常工作的概率.解 设 A、B、C、D、E 分别表示元件，且每个元件都各自独立工作，求系统能正常工作的概率.解 设 A、B、C、D、E 分别表示元件 1，2，3，4，5 正常工作.F 表示系统正常工作.方法一 正常工作.F 表示系统正常工作.方法一 FABCDADEBCE=()()P FP ABCDADEBCE=()()()()()()()P ABP CDP ADEP BCEP ABCDP ABDEP ABCE=+()()()()()P ACDEP BCDEP ABCDEABCDEP ABCDE+()()()P ABCDEP ABCDEP ABCDE+23452252pppp=+方法二 方法二 ()()()FABCD EAC BD E=+()()()()P FPABCD EAC BD E=+()()()P ABCD EPAC BD E=+()()()()()P ABCD P EP AC BD P E=+()()()()()()()P ABP CDP ABCD P EP AC P BD P E=[phone]pppp=+十二、将十二、将A、B、CA、B、C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 0.8，而输出为其它一字母的概率都是 0.1.今将字母串三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为 0.8，而输出为其它一字母的概率都是 0.1.今将字母串AAAA、BBBB、CCCCAAAA、BBBB、CCCC之一输入信道，输入之一输入信道，输入AAAA、BBBB、CCCCAAAA、BBBB、CCCC的概率分别为 0.5、0.3、0.2，已知输出为 ABCA，问输入的是的概率分别为 0.5、0.3、0.2，已知输出为 ABCA，问输入的是AAAAAAAA的概率是多少？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P26,例 51)十三、有两个裁判组，第一组由 3 个人组成，其中两个人独立以概率的概率是多少？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P26,例 51)十三、有两个裁判组，第一组由 3 个人组成，其中两个人独立以概率p p做出正确的裁定，而第三个人以掷硬币决定，最后结果根据多少人的意见决定.第二组由一人组成，他以概率做出正确的裁定，而第三个人以掷硬币决定，最后结果根据多少人的意见决定.第二组由一人组成，他以概率p p做出正确的裁定.试问这两个组哪一组做出正确的概率大？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P29,例 56)做出正确的裁定.试问这两个组哪一组做出正确的概率大？(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P29,例 56)单元练习 单元练习 三、计算题（65=30 分）三、计算题（65=30 分）4.向区间4.向区间0,1内随机投入两点,将区间分成三段，求三段可以构成三角形的概率.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P内随机投入两点,将区间分成三段，求三段可以构成三角形的概率.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P1414,例,例2424)四、综合题（85=40 分）四、综合题（85=40 分）2.甲、乙、丙 3 人各自加工 1 个产品,检查的结果是在 3 个产品中发现 1 个次品.设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是 0.1,0.2,0.3,求这个次品是甲加工的概率.解 设2.甲、乙、丙 3 人各自加工 1 个产品,检查的结果是在 3 个产品中发现 1 个次品.设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是 0.1,0.2,0.3,求这个次品是甲加工的概率.解 设A表示检查 3 个产品中发现 1 个次品，表示检查 3 个产品中发现 1 个次品，123,B B B分别表示甲、乙、丙3 人自加工的产品是次品。由已知条件 分别表示甲、乙、丙3 人自加工的产品是次品。由已知条件 1()0.01P B=，2()0.02P B=，3()0.03P B=12312311111()()()()()(|)()()()P B B BP B P B P BP ABP A BP BP BP B=23()()0.7 0.80.56P B P B=类似可求得类似可求得 213(|)()()0.9 0.70.63P A BP B P B=312(|)()()0.9 0.80.72P A BP B P B=那么贝叶斯公式克的所求概率那么贝叶斯公式克的所求概率 111112222()(|)28(|)()(|)()(|)()(|)199P B P A BP BAP B P A BP B P A BP B P A B=+3.在 3.在1-2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被6整除，又不能被整除，又不能被8整除的概率是多少整除的概率是多少?(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P1111,例,例2020)4.排球竞赛规则规定:发球方赢球时得分,输球时则被对方夺得发球权.甲、乙 2 个排球队进行比赛,已知当甲队发球时,甲队赢球和输球的概率分别是 0.4和 0.6;当乙队发球时,甲队赢球和输球的概率都是 0.5.无论哪个队先发球,比赛进行到任一队得分时为止,求当甲队发球时各队得分的概率.解 方法一)4.排球竞赛规则规定:发球方赢球时得分,输球时则被对方夺得发球权.甲、乙 2 个排球队进行比赛,已知当甲队发球时,甲队赢球和输球的概率分别是 0.4和 0.6;当乙队发球时,甲队赢球和输球的概率都是 0.5.无论哪个队先发球,比赛进行到任一队得分时为止,求当甲队发球时各队得分的概率.解 方法一 nA表示第表示第n次甲队发球时甲队赢球，次甲队发球时甲队赢球，nB表示第表示第n次乙队发球时乙队赢球，次乙队发球时乙队赢球，A表示当甲队发球时甲队得分.那么 表示当甲队发球时甲队得分.那么 1112112231122334AAAB AAB A B AAB A B A B A=+?于是 于是 1112112231122334()()P AP AAB AAB A B AAB A B A B A=+?1112112231122334()()()()P AP AB AP AB A B AP AB A B A B A=+?111211223()()()()()()()()()P AP A P B P AP A P B P A P B P A=+1122334()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A+?22330.40.6 0.5 0.4(0.6)(0.5)0.4(0.6)(0.5)0.4=+?140.41 0.37=43()1()177P AP A=方法二 设两次发球为一轮，方法二 设两次发球为一轮，1A表示比赛中甲队发球甲队赢球，表示比赛中甲队发球甲队赢球，2A表示比赛中甲队发球甲队输球，且乙队发球甲队赢球.表示比赛中甲队发球甲队输球，且乙队发球甲队赢球.A表示甲队得分.即 表示甲队得分.即 11111()()(|)1()()P AAP AP A AP AP A=，2(|)()P A AP A=，1()0.4P A=，2()0.6 0.5P A=，所以，所以 1122()()(|)()(|)P AP A P A AP A P A A=+0.4 1 0.3()P A=+因此 因此 4()7P A=5.设考生的报名表来自于三个地区，各有 10 份、15 份、25 份，其中女生的分别为 3 份、7 份、5 份.随机地从一地区先后任取两份报名表.求(1)先取到一份报名表是女生的概率；(2)已知后取到的一份报名表是男生的而先取到的一份报名表是女生的概率.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P 5.设考生的报名表来自于三个地区，各有 10 份、15 份、25 份，其中女生的分别为 3 份、7 份、5 份.随机地从一地区先后任取两份报名表.求(1)先取到一份报名表是女生的概率；(2)已知后取到的一份报名表是男生的而先取到的一份报名表是女生的概率.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P1919,例,例3737)作业 5 五、一只袋中装有 5 只球，编号为)作业 5 五、一只袋中装有 5 只球，编号为.5,4,3,2,1在袋中同时取 3 只，以在袋中同时取 3 只，以X表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量表示取出的 3 只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P的分布律.(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P3535,例,例1 1)八、从含有 10 个黑球及 3 个白球的袋中一个一个随机摸球，在下列三种情形下，分别求出直到摸得黑球为止所需次数)八、从含有 10 个黑球及 3 个白球的袋中一个一个随机摸球，在下列三种情形下，分别求出直到摸得黑球为止所需次数X的分布律：1.每次取出的球，待观察颜色后，立即放回袋中再取下一个；2.每次取出的球都不放回袋中；3.每次取出一个球后总是放回一个黑球(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P的分布律：1.每次取出的球，待观察颜色后，立即放回袋中再取下一个；2.每次取出的球都不放回袋中；3.每次取出一个球后总是放回一个黑球(参考概率论与数理统计辅导，陕西教育出版社，2009.6，P3636,例,例4 4)