函数与导函数类型专题.doc

23个函数与导函数类型专题1、函数第1题已知函数，若，且，求的取值范围.解析 将不等式化成模式由得：，化简得： 构建含变量的新函数构建函数： （，且）其导函数由求得：即： 确定的增减性先求的极值点，由得：即： 满足式的， 即：的极值点在时，由于有界，而无界故： 即：在时，单调递减；那么，在时，单调递增.满足式得恰好是 在由增减性化成不等式在区间，由于为单调递减函数，故：应用不等式：得：即：，即：的最大值是代入式得：，即：，即： 在由增减性化成不等式在区间，由于为单调递增函数，故：由于极限，故：，代入式得： 总结结论综合和式得：. 故：的取值范围是本题的要点：求出的最小值或最小极限值. 特刊：洛必达法则解析 由式，设函数当时，用洛必达法则得：，则当时，用洛必达法则得：，则当时，用洛必达法则得：其中，的最小值是，所以本题结果是，即： 关于极限将函数以为中心，以泰勒级数展开因为：；，代入泰勒公式：得：于是：上面用泰勒级数证明了.2、函数第2题已知函数，连续，若存在均属于区间的，且，使，证明：解析 求出函数的导函数函数： 其导函数： 给出函数的单调区间由于，由式知：的符号由的符号决定. 当，即：时，函数单调递增；当，即：时，函数单调递减；当，即：时，函数达到极大值. 由区间的增减性给出不等式由均属于区间，且，得到：，若，则分属于峰值点的两侧即：，.所以：所在的区间为单调递增区间，所在的区间为单调递减区间.故，依据函数单调性，在单调递增区间有： 在单调递减区间有： 将数据代入不等式由式得：；代入得：，即：，即： 代入式得：，即：，即： 总结结论结合和式得：. 证毕.本题的要点：用导数来确定函数的单调区间，利用单调性来证明本题.特刊：特值解析由已得：，且：，若：，则：即：，故：当：，时，当：，时，故：处于这两个特值之间，即：3、函数第3题已知函数.若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，试证明：.解析 求出函数导函数函数的定义域由可得：.导函数为： 确定函数的单调区间当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；当，即时，函数达到极大值. 分析图像与轴的交点，求出区间由于，若与轴交于两点，则其极值点必须.即：，即： 考虑到基本不等式及式得：即：，即：，即：结合，即：得： 求出点以及关于极值点的对称点 两点分居于极值点两侧，即：，设：，则，且（因）设：，则与处于相同得单调递减区间.于是：，即：故： 将替换成代入就得到： 比较点的函数值，以增减性确定其位置构造函数：将式代入上式得： 其对的导函数为： 由于式及，所以.即：是随的增函数，其最小值是在时，即：由式得：，故：.当时，即：由于和在同一单调递减区间，所以由得：即：，即：或 得出结论那么，由式得：即： . 证毕.本题的关键：首先求得极值点，以为对称轴看的对称点就可以得到结论. 具体措施是：设点，利用函数的单调性得到特刊：本题点评本题的解题思路：函数图象与轴有2个交点，则在之间应该有函数的极值点，于是得到极值点；以极值点为对称轴，以等宽度（）得到“对称点C”（仅横坐标对称），这样，C和B处于同一个单调区间；利用单调性比较C和B点的函数值，出现不等式.4、函数第4题已知函数.若，求的最大值.解析 求出函数的解析式由于和都是常数，所以设，利用待定系数法求出函数的解析式.设：，则：其导函数为：，则：所以：，函数的解析式为： 化简不等式即：，故： 构建新函数，并求其极值点构建函数 其导函数： 要使式得到满足，必须.即：，或的最小值等于0故当取得极值时有：，由式得极值点：此时的由得： 求的最大值由式得：，则： 令：，则式右边为： （）其导函数为： 当，即：时，单调递增；当，即：时，单调递减；当，即：时，达到极大值.此时，的极大值为： 得出结论将代入式得：，故：的最大值为本题的关键：利用已知的不等式得到关于的不等式即式，然后求不等式式的极值.5、函数第5题已知函数的最小值为，其中.若对任意的，有成立，求实数的最小值.解析 利用基本不等式求出利用基本不等式或，得：即：，即：已知的最小值为，故，即：或者，将的端点值代入，利用最小值为，求得 用导数法求出函数的导函数为： 当，即时，函数单调递减；当，即时，函数单调递增；当，即时，函数达到极小值.依题意，的最小值为，故当时，即：，故：函数的解析式为： 构建新函数当时，有，即：构建函数： 则函数，即的最大值为. 实数的最小值对应于的最大值点. 确定的单调区间和极值于是由式得导函数为： 当时，由式得函数；则是极值点，同时也是区间的端点.当时，即：当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；当，即时，函数达到极大值.故：从开始单调递增，直到达到的极大值，再单调递减， 所以是个极小值. 是个极大值，也是最大值. 求出最大值点将最值点代入式得：（）由的最大值为得：即：，即：，此时，即：，即： 给出结论由于，也是端点，结合的结论，所以：在区间单调递减，是个极大值，也是最大值.由得出实数的最小值为：故：实数的最小值.本题关键：用构建新函数代替不等式，通过求导得到极值点.特刊：特值解析由式，要求函数.由式可看出时，由得：，令我们只要求出在极值点的值就好.用洛必达法则：对应于的，即：实数的最小值.6、函数第6题已知函数，（），当在一定范围时，曲线上存在唯一的点，曲线在点的切线与曲线只有一个公共点，就是点，求点的坐标.解析 确定曲线的切线方程曲线： 其导函数： 设点的坐标为：，则切线方程为： 构建新函数，并求导构建函数，则切线与曲线的交点就是的零点.则： 其导函数： 由得：，代入式得： 分析时函数的单调性和极值当时：若，则，故：，单调递增；若，则，故：，单调递减；若，则，故：，达到极小值.由式得：的极小值.此时，的零点与点的取值有关，因此点的取值不唯一，所以的零点就不唯一.故当时，不满足点唯一的条件. 分析时函数的切线当时：由式，的情况分两种：a 即：，此时与的情形相同，点的取值不唯一.b ，即：，此时，即： 式的解是曲线与直线的交点.曲线恒过点，直线也恒过点，当曲线过点的切线斜率等于时，其这个切线就是曲线的切线.故：曲线过点的切线斜率为：于是：，即：，即： 得到切点的坐标当时，就存在.由于在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的.将代入式得：得到和，这就是点的唯一坐标. 结论切点的坐标：，本题要点：利用图象法解超越方程.特刊：本题点评本题的关键是解：，即：；明显的一个解，不满足“唯一点”的要求；解析得到另一个满足的解是关键；本题利用图像法得到，即：，这个方法是本题的亮点.7、函数第7题已知函数，其中. 在函数的图象上取定两点，且，而直线的斜率为.存在，使成立，求的取值范围.解析 的斜率与的导函数由、两点的坐标得到直线的斜率： 函数的导函数为： 构建新函数，并求导判断是否成立，即判断是否不小于.所以，构建函数：，若，则成立.则： 导函数： 求在区间端点的函数值由式得： 确定的零点存在利用基本不等式：，当且仅当时取等号.即： 将式应用于式得： （）将式应用于式得： （）则，证明其存在性.函数在区间是连续的，其导函数也存在.由式得：，即函数为单调递增函数.是单调函数，则证明其唯一性.由和以及函数零点存在定理得，函数必过零点，且是唯一零点. 求在区间的零点位置设函数在区间的零点位置在，则有由式得： （）即： 且： 求在区间的由式得：函数为单调递增函数，故：在区间，；在区间，；在时，.故，的区间为，即：本题要点：构建函数关系式，由其导数得出单调性、增减性，得出零点.特刊：本题点评本题的实质是拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间连续，在开区间可导，则必存在，使得.8、函数第8题已知函数.证明：当时，证明 构建新函数，并求导构建函数 导函数 即： 函数满足，现在只要证明，当时，则. 化掉式中的根号项.要保持不等号的方向不变，只有即：或. （代表某个不含根号的式子）由于有和的两种选项，所以采用化掉的方法.由均值不等式：得：代入式得：即： 求函数的极值点当取极值时，. 故由式得：，即： 令，（）（因为）则式为：，即： 分解因式法：故有：，及，即：由于，所以舍掉负值，故取所以有：，即：，由于所以函数在两个相邻极值点之间是单调的. 由单调性证明不等式由式得：，即：，由于在区间，是单调的，故：于是，函数在时达到极大值，然后递减，直到时达到极小值. 就是说在区间，函数单调递减.即：，故：. 证毕.本题要点：构建函数，由两个相邻极值点之间的区间是单调的，以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系，得出：函数在这个区间为单调递减，由此来证明本题.本题的难点在于处理式或者式.特刊：数值解析由式构建函数 其导数为方程式 直接解方程比较困难，可以化简一下.在区间，故：，即：代入式得：令：，则：即：，即：故：，. 即：在区间存在满足.这时候，分别将和代入式得：上面的计算说明的另一个零点在区间，那么对于本题，由于，所以在区间，为单调递减函数.即：在区间，. 即：9、函数第9题已知，为正整数，抛物线与轴正半轴相交于点.设抛物线在点处的切线在轴上的截距为，求证：当时，对所有都有：.证明 先求点的坐标将，代入抛物线得： 求过点的切线方程抛物线的导数为： 故点的切线方程为：即： 求切线在轴上的截距为由式，当时，. 故： 分析待证不等式，即：，即：，即：，即：，即： 将式代入上式得：，即： 证明了式，就证明了不等式 数值分析由式当时，；当时，即；当时，即；（，）因为，对式两边求对数得： 满足上式得：的最小值，就是的最大值. 构建新函数 构建函数：，求的最大值.求导得：当时，即：，即： 令，则. 代入式得： 求的最大值虽然解方程比较困难，但得到其取值范围还是可以的.由式得：，即：即：，即：于是满足式的的最大值是代入式得： 证明结论满足式，就满足式，由得证.当时，对所有都有：. 证毕.特刊：本题点评本题有3个关键点：求抛物线在点处的切线，得到：；分析法解析待证不等式，得到: 或；设得到，解析得： ，即：. 只要通过这3个关键点，问题得以解决.10、函数第10题已知函数，为的导数.设， 证明：对任意，解析 求函数的解析式函数的导函数为： 函数得： 构造新函数由基本不等式（仅当时取等号）得:代入式得： （）令： 则上式为： 分析的单调性，并求其极值由式得导函数为： 当，即时，单调递减；当，即时，单调递增；当，即时，达到最大值.的最大值是在，由式得： 证明结论故由式和式：即：对任意，. 证毕.本题要点：运用基本不等式,求函数的极值.特刊：本题点评本题组合函数包含了函数的导函数，形似复杂，其实就是“纸老虎”，因为得到的解析式并不难. 在得到不等式时采用了“指数不等式”，这是本题的一个关键点，不是难点. 构造新函数并分析其增减区间，这是难点. 遗憾的是：小于的是的最大值.11、函数第11题已知是实数，函数，和是、的导函数. 设，且，若在以为端点的开区间上恒成立，求的最大值.解析 构建新函数函数的导数为： 函数的导数为： 构建函数： 则已知条件化为：在开区间上恒成立，等价于 确定的取值范围已知，若，则区间；故：此时区间包括点.由式得：，所以不满足式，即：不成立. 故：，与同处于区间. 确定的取值范围由于，即：要满足式，在时，则必须有：，即：，即：，即：，结合得： 确定的最大值.由于区间是以为端点，而所以若，则，所以：，即：，故： ，代入式得： 故： 故：的最大值就是由式决定的区间长度，即本题的要点：确定，确定的取值范围式.特刊：结合图形ABxyC由式，画曲线和，且，.当时得A点横坐标为开区间的左端点，且，为开区间的右端点. 由得：. 由图形可知的最大值12、函数第12题已知函数 （），若时，求的最小值.解析 求出函数的导函数由函数得：导函数为： 依题意，若时，即在区间的最大值为0.所以，只要求出区间的最大值，使之为0，就解决问题. 由函数极值点得出相应的结果由极值点的导数为0得：所以当在区间时，函数在区间单调递减故满足的条件.于是：由于，所以，即：故：，即：求三角函数定义域得：，故：.结合，于是，即的最小值是.特刊：本题解析我们知道对数不等式有：，本题可以看出：和，即：可见，处于随变化范围之内，所以求的范围.本题要求时，即：.通过本题，我们得到一个加强的不等式：13、函数第13题已知函数（），若曲线和曲线都过点，且在点处的切线相互垂直. 若时，求的取值范围.解析 求出函数和的导函数函数的导函数： 函数的导函数： 由求出和由曲线过点得：由曲线过点得： 由点处的切线相互垂直条件得出与的关系式由点处的切线相互垂直，即切线斜率的乘积等于，即： 由得：，由得：代入上式得： 构建新函数构建函数：，即： 于是：，即： 当时，等价于. 化简求解条件只要满足，就一定满足式.于是由得： 将式代入式得：，即：而式已得：，所以只要满足就可以满足式. 化解要，即：将式代入上式得： 由得:，将上式和基本不等式，代入式得： 只要右边不小于，就满足要求. 即：即： 已知，所以.已知中，所以 ，由基本不等式得：代入式得： 解析式若：，即： i.当时，显然上式成立，则由式得成立；ii.当时，由式得：，即：由式得：，且已得，故：iii.当时，由式得：而，故：由于，这两者之和为定值，由“一正二定三相等”得：当，即时，为极大值.此时为极小值，故此时.由式得：，即：综上，由和得：可以满足式条件.本题由切线互相垂直得到式，构建函数得到式，不等关系得到式，重点是分析式得到的取值范围.特刊：本题点评由曲线和曲线都过点，得到：，；由在点处的切线相互垂直，得到式：；由时，得到式：；关键是：只要满足，就一定满足式.后面的技术是：将化成式：；分别讨论，和，同时满足此3条件的.14、函数第14题已知函数.当时，求的取值范围.解析 分析题意设，则，的意思，就是的图象在的图象之上. 设在处，与的图象相切，此时，设值为，只要，的图象永在的图象之上. 由切点的关系来建模由于点在曲线上，故： 同时点在曲线上，故： 由式得： 它们在图象相切，故：，即：故： 解超越方程式方程是一个超越方程，令（），即： 代入得：或 由于定义域为，所以，即：，故： 由基本不等式（仅当时取等号）或（仅当时取等号）代入式可得：，即：，即： 由得： 事实上，方程的解是：. 解出极值点的 由式得：，即：， 即： （） 故：，所以：当时，由的分析，本题答案是：，即，本题答案：特刊：本题点评严格来说，解超越方程得，本题答案是；实际上，函数的零点就是.本题解析式是关键，得到；由基本不等式，得到；结合两式，故：；第步解出极值点的的范围，标准答案有点勉强. 这启示我们，在不会解超越方程时，采用取范围的策略. 下面是极值点附近的函数图.（零点在，）15、函数第15题设函数，其中，求时的取值范围.解析的图象是开口向下的抛物线，于是当时，即：，即：故：的取值范围是，本题就是分析二次函数题.16、函数第16题已知，函数.若函数在区间的图像上存在两点，在点和点处的切线相互垂直，求的取值范围.解析去绝对值号 对，其导数：即：在区间，函数单调递增； 对，其导数：即：在区间，函数单调递减； 对，函数达到极小值0. 一个绝对值的极小值不小于0. 若点和点处的切线相互垂直，即： 则点和点分居于两个不同的单调区域.设，则，于是式就是：，即：即： 解析式得式由式得： 因为，所以，代入式得：，即：，即： 因为，所以，结合式得：即：，故： 解析式得式因为，所以，即：，代入式得：，即： 因为，所以代入式得：，即： 综上和式得，的取值范围是.本题要点：由已知条件演绎出式，由式演绎出的取值范围.特刊：本题点评自从得到式后，解析式得式和解析式得式，都是逻辑推理，没有什么计算. 所以本题是“函数与逻辑”综合性的题目，这是本题的特点.17、函数第17题已知函数，为常数且. 若条件1：满足；条件2：. 则满足这2个条件，称为函数的二阶周期点，如果有两个二阶周期点，试确定的取值范围.解析 函数去绝对值号得出和当时， 记： 当时，记： 条件1： 条件2： 在及时解析式对二阶周期点，当，函数用式：；当时，复合函数仍用式：故：， 条件1：，即：，即：；条件2：，即：，即：.此时，条件1和条件2对立，函数不能同时满足，故没有二阶周期点. 在及时解析式对二阶周期点当，函数用式：当时，函数用式： 故：，条件1：，即：；条件2：，即：，即：.则： 在及时解析式将条件1：代入得：即：，即：，即： 将代入得：即：，即：，即：故： 结合式和式及得：所以，式为一个二阶周期点，记为：此时，的取值范围是，二阶周期点 在及时解析式对，函数用式： 对时，应用式得：故：，条件1：，即：；条件2：，即：.则：，即：，即： 且i将代入得：即：，即：，即：即：ii 将代入得：即：，即：，即：结合i和ii及，得：所以，为另一个二阶周期点，记为：此时，的取值范围是，二阶周期点 在及时解析式对，函数用式：对时，应用式得：即： 条件1：，即： 当时，上式即：条件2：，即： 此时，函数不能同时满足条件1和条件2，故没有二阶周期点.综上，如果有两个二阶周期点，则的取值范围是.本题要点：两个条件要同时满足；分类讨论特刊：本题点评在得到式之后，列出两个条件，然后分别讨论，得到：在及时，条件1为，条件2为，无解；在及时，条件1为，条件2为；在及时，条件1为，条件2为，故；在及时，条件1为，条件2为.经过分析得：二阶周期点在及时，条件1为，条件2为，无解.18、函数第18题已知函数，当时，若恒成立，求实数的取值范围.解析 解读题意由于，所以有（）.故可以考虑将函数化为幂函数来解决.由于，构建函数：则题目化为：当时，求实数的取值范围. 将函数化为幂函数形式构建函数：，满足条件1： 构建函数：，条件1成为： 则：导函数： 要满足时，必须是：故由式： 解析式因为式，记，则：当时，是的单调递增函数.故：，则由式：；且：，则由式：.由于，所以满足区间时，取的最大值，则： 构建函数化解 由于是偶函数，且函数在中的不等号方向是：，即：，即：应构建函数，且也是偶函数.构建函数：，满足条件2： 构建函数构建函数：，条件2成为：则：，导函数： 要满足时，必须是：故由式：，则： 当时，当时，由式得：取满足式得的最大值， 构建函数：构建函数：即： 因为，则： 构建函数，求的范围构建函数：若，因为，所以 于是：要使，则，故：此时，若要，即：，则：，即所以，当时，若恒成立，实数的取值范围.本题的实质是：将函数化为幂级数形式进行.基本上初等函数是连续函数，当时，都可以用幂级数形式来表达，即：特刊：本题点评这类函数题的判断，一般用两点即可：在点的函数值和；在点的导数值和.本题，即：. 其导数值，即： ，即： 由于，函数的级数一般是收敛的，若使恒成立，则必，即：，即：.19、函数第19题已知函数，其中是实数. 设，为该函数图像上的两点，且.若函数的图像在点处的切线重合，求的取值范围.解析函数的导函数为：如果图像在点处的切线重合，则点分处于两个不同区间.因，故点在区间，点在区间. 设过点的切线方程为： 则： 将式代入式得：即： 设过点的切线方程为： 则： ， 将式代入式得：，即： 由两个切线方程重合得，式与式相等.即： 由,得：，即：，故：由得：，即：，故：由得： 求的取值范围由式可知，随，单调递增则有最小值，当，时，最小值.故：，即：本题答案：的取值范围是本题重点是：两个方程系数相等；由区间得出和的取值范围，代入求得的极值.特刊：本题点评本题第、第是重点，首先用,及得到的区间：，；然后用区间和求得的最小值.20、函数第20题设函数，其中为实数若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围.解析函数的导函数为： 函数的导函数为： 由在上是单调减函数得： 代入式得：，即：考虑到，故：，即： 由在上有最小值，是最值点为则：，代入式得：，即：，即：考虑到，故：，即：，综上，的取值范围特刊：本题点评本题看如何建模.原题：若在上是单调减函数，建模： ；原题：在上有最小值，建模：，；原题：求的取值范围，建模： . 由此得到：.由于，即：，故：.21、函数第21题设函数 (其中).当时,求函数在上的最大值.解析函数的最大值出现在两个地方：一个是区间的端点，另一个是导数的地方. 在区间端点处，函数值为： 在区间端点处，函数值为： 因为：，所以：即：因为：，所以：，即： 在极值点处，当取极值时，其导数即：则：和，即：故：时，或，函数的极值点. 当时，函数值与式相同. 当时令：则其导函数为：即：故：是随单调递减函数，其最大值为即：的最大值是 通过这所有情况的对比，式表明式为最大值.当时，答案：当时，达到最大值.本题要点：函数最值出现在区间端点或极值点处22、函数第22题若函数在区间内为减函数，在区间上为增函数，试求实数的取值范围.解析由导函数的正负来判定函数的增减.函数的导函数为： 若导函数在区间内为负值，则在该区间为减函数.故：当时，则：为开口向上的二次函数，其两个零点分别是和于是化为解二次方程：由韦达定理得：，即： 故当：时，在区间为减函数. 若导函数在区间内为正值，则在该区间为增函数.故：当时，则：当时， ，即：故：，即：，即： 综上，由式得，实数的取值范围是.特刊：本题点评本题的函数是一个幂函数. 在5种初等函数中（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数），幂函数是相对最简单、最实用的一种. 以幂函数出题，基本上是求“参数范围”、“区间范围”、“参数最值”、“函数值域”，以增加一些难度. 掌握幂函数的导数求法、增减性分析（或者是不等式）、最值求法（包括判别式法），是基本要求.23、函数第23题已知在区间上是增函数，实数的值组成的集合. 设关于的方程的两个非零实根为. 若存在实数，使得不等式对任意及恒成立，求的取值范围.解析 函数与其导函数函数： 其导函数： 分析增减性得出在区间上是增函数，即：，A 当时， B 当时，即，欲使即：，即：，即： 记：，则：即：是随单调递增的，即：故由式得： C 当时，即，欲使即：，即：，即： 记：，则：即：是随单调递增的，即：故由式得： 综合式得： 解关于的方程关于的方程，即： （）即：，即： 设两个非零实根为，则由韦达定理得：，于是： 解析不等式将代入不等式得：，即：构建函数：则是开口向上的抛物线，其解为，于是不等式的解为和则方程的解为：， 分析因为字母的前面是负号，则越大越小，其中已知；根号项前面是负号, 则越大越小;故：的最小值出现在，处，即：同样，因为字母的前面是负号，则越小越大；根号项前面是正号, 则越大越大;故：的最大值出现在，处，即： 给出的取值范围由得是开口向上的抛物线，其解为于是不等式的解为和，本题要点：由韦达定理得出特刊：本题点评本题是含有2个参数的函数求解. 由在区间上是增函数，即：，得到：；解关于的方程的两个非零实根为，得到：及，. 故：；由对任意及恒成立，得到：，.结语第 45 页