1、
2013中考数学压轴题:几何与函数例题精选
例1已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．
（1）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；
B
A
D
M
E
C
B
A
D
C
备用图
（3）联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．
【思路点拨】（1）取中点，联结；（2）先求出 DE; （3）分二种情况讨论。
解析
（1）取中点，联结，
为的中点，，．
又，．
，得；
（2）由已
2、知得．
以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，
，即．
解得，即线段的长为；
（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，
又易证得．
由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．
①当时，，．．
，易得．得；
②当时，，．
．又，．
，即，得．
解得，（舍去）．即线段的长为2．
综上所述，所求线段的长为8或2．
例2（山东青岛）已知：如图（1），在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；
（
3、3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；
A
Q
C
P
B
（4）如图（2），连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
A
Q
C
P
B
图（1） 图（2）
【思路点拨】（1）设BP为t，则AQ = 2t，证△APQ ∽△ABC；（2）过点P作PH⊥AC于H．
（3）构建方程模型，求t；（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN
4、⊥BC于N，若四边形PQP ′ C是菱形，那么构建方程模型后，能找到对应t的值
图①
B
A
Q
P
C
H
解析 （1）在Rt△ABC中，，
由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，
若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，
∴，∴，∴．
（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH ∽△ABC，
∴，∴，∴，
∴．
（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴， 解得：．
若PQ把△ABC面积平分，则， 即－＋3t=3．
∵ t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
P ′
B
A
Q
P
C
图②
M
N
（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴， ∴，
∴， ∴，
∴，解得：．
∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．
此时， ，
在Rt△PMC中，，
∴菱形PQP ′ C边长为．
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