第一节-空间几何体.doc

第一节　空间几何体

三视图的辨析
考向
聚焦
高考的常考点,主要考查:(1)不同视图之间的关系;(2)由实物图画三视图.常以选择题形式出现,难度不大,所占分值5分
备考
指津
(1)熟记三视图的绘图法则;(2)会由直观图画三视图;(3)能补全三视图,注意空间想象能力的训练

1.(2012年湖南卷,理3,5分)某几何体的正视图和侧视图均如图(1)所示,则该几何体的俯视图不可能是(　　)

解析:若该几何体的俯视图为D,则正视图与侧视图不是同一个图形,且正视图中竖长方形中应有虚线,故选D.
答案:D.
2.(2012年福建卷,理4,5分)一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是(　　)
(A)球 (B)三棱锥 (C)正方体 (D)圆柱
解析:本小题主要考查空间几何体的三视图,圆柱的三视图中,正视图与侧视图都是长方形,而俯视图是圆,即其形状不可能都相同.故选D.
答案:D.
3.(2011年全国新课标卷,理6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(　　)

解析:该几何体由正视图和俯视图可知:其为前面为三棱锥,后连一个与三棱锥等高的半圆锥,故侧视图为D选项.故选D.
答案:D.
4.(2011年山东卷,理11)

右图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如图;③存在圆柱,其正(主)视图、俯视图如图.其中真命题的个数是(　　)
(A)3 (B)2
(C)1 (D)0
解析:底面是等腰直角三角形的三棱柱,当它的一个矩形侧面放置在水平面上时,它的主视图和俯视图可以是全等的矩形,因此①正确;若长方体的高和宽相等,则存在满足题意的两个矩形,因此②正确;当圆柱侧放时(即左视图为圆时),它的主视图和俯视图可以是全等的矩形,因此③正确,故选A.
答案:A.
5.(2011年北京卷,理7)某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是(　　)

(A)8 (B)6 (C)10 (D)8

解析:由三视图可知,几何体为一条侧棱垂直于底面的三棱锥,如图所示,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,且SA=4,AB=4,BC=3,∴面积最大的为△SAC,∴S=|AC|·|SA|=10,故选C.
答案:C.

6.(2010年广东卷,理6)如图,△ABC为正三角形,AA'∥BB'∥CC',CC'⊥平面ABC且3AA'=BB'=CC'=AB,则多面体ABCA'B'C'的正视图(也称主视图)是(　　)

解析:正视图是从空间几何体的前面通过正投影得到的平面图形.故选D.
答案:D.
7.(2010年北京卷,理3)一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示,则该几何体的俯视图为(　　)

解析:根据题意,由几何体的正(主)、侧(左)视图可得几何体的直观图,如图所示,故该几何体的俯视图为C.

答案:C.
8.(2011年辽宁卷,理15)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为2,它的三视图中的俯视图如图所示,左视图是一个矩形,则这个矩形的面积是　　　　. 

解析:设各棱长为a,则体积2=×a2××a,
∴a3=8,a=2,
则在左视图矩形中一边长为2,一边长为,
∴其面积为2.
答案:2
9.(2010年湖南卷,理13)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图,则h=　　cm. 

解析:由三视图做出几何体的直观图如图,
其中SA⊥平面ABC,
BA⊥AC.
则××5×6·h=20,
∴h=4.
答案:4
10.(2010年辽宁卷,理15)如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为　　　　. 

解析:

根据三视图还原出的直观图为:
由图形可知棱SB最长,
SB=
=
=
=2.
答案:2
与三视图相关的空间几何体的表面积、体积
考向
聚焦
高考的高频考点,主要考查:(1)通过三视图获取空间几何体特征的能力;(2)通过三视图求空间几何体的表面积、体积,从而考查学生的空间想象能力和计算能力.主要以选择题、填空题形式出现,难度中档,所占分值4~5分
备考
指津
训练题型:由三视图(或三视图中的两种视图)求空间几何体的表面积、体积,加强识图能力的训练

11.(2012年新课标全国卷,理7,5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(　　)

(A)6 (B)9 (C)12 (D)18
解析:由三视图知,几何体为三棱锥,
底面积S=×6×3=9,高h=3,
∴V=S·h=×9×3=9,选B.
答案:B.
12.2012年广东卷,理6,5分)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(　　)

(A)12π (B)45π (C)57π (D)81π
解析:由三视图知原几何体是一个圆锥、圆柱的组合体,
V=×4×32π+5×32π=12π+45π=57π.
答案:C.
13.(2012年北京卷,理7,5分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(　　)

(A)28+6 (B)30+6
(C)56+12 (D)60+12

解析:由三视图知此三棱锥的直观图如图所示,
∠ACB=90°,AC=5,BC=4,
PD⊥平面ABC于D,
且D在AC上,AD=2,
DC=3,PD=4.从而可得PC⊥BC,
∴PC=5,AP=2,PB=AB=.
∴S△ABC=S△APC=S△PBC=×5×4=10.
∴S△APB=×2×=6,
∴此三棱锥的表面积为S=30+6.
答案:B.
本题考查了三视图得几何体的线面关系及数量关系,注意棱锥顶点的位置.
14.(2012年湖北卷,理4,5分)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)

(A) (B)3π (C) (D)6π
解析:根据三视图知该几何体的下面是一个圆柱,上面是圆柱的一半,所以V=2π+×2π=3π.
答案:B.
15.(2011年陕西卷,理5)某几何体的三视图如图所示,则它的体积是(　　)

(A)8- (B)8- (C)8-2π (D)
解析:如图,该几何体为棱长为2的正方体挖去一个半径为1,高为2的倒立圆锥得到,则V=23-π×12×2=8-.

答案:A.
16.(2011年湖南卷,理3)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为(　　)

(A)π+12 (B)π+18
(C)9π+42 (D)36π+18
解析:由三视图知该几何体是由一个长方体和一个球组成的组合体,∴V=π×()3+3×3×2=+18,∴选B.
答案:B.
17.(2011年安徽卷,理6)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)

(A)48 B)32+8
(C)48+8 (D)80
解析:

由三视图知几何体的直观图为以ABCD为底面的直四棱柱,如图,且AB=,AD=4,BC=2,则其侧面积为(2+4+2)×4=24+8,两底面面积为2×=24,故几何体的表面积为48+8.
答案:C.
18.(2011年广东卷,理7)如图所示,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为(　　)

(A)6 (B)9 (C)12 (D)18
解析:

由三视图可推知该几何体为平行六面体,即四棱柱,其中AD=3,AA'=2,AB=3,A'E=1,AE⊥A'B'于点E.(E为俯视图中矩形内实线与矩形的边的交点),故=SABCD·h=3×3×AE=3×3×=9.故选B.
答案:B.
19.(2012年安徽卷,理12,5分)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是　　　　. 

解析:本题考查三视图的识别以及把三视图还原为原几何体,考查多面体的表面积.

三视图对应的几何体为底面是直角梯形,高为4的直四棱柱,几何体的表面积是S=2××(2+5)×4+(2+5+4+)×4=92.
答案:92
解决三视图问题的关键是根据三视图得到对应的几何体,画出几何体的直观图,根据三视图中的数据标出直观图中对应的数据,根据三视图中的垂直、平行关系得出几何图形中的垂直、平行关系,然后利用表面积公式求几何体的表面积.
20.(2012年浙江卷,理11,4分)已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于　　　　 cm3. 

解析:由三视图可知该几何体为底面是直角三角形,高为2 的三棱锥,V=××3×1×2=1.
答案:1
21.(2012年上海数学,理8,4分)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为　　　　. 
解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
依题意知,πl2=2π,所以l=2,
又2πr=2π,所以r=1,圆锥的高h=,
因此圆锥的体积为V=×π×12×=π.
答案:π
22.(2012年天津卷,理10,5分)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为　　　　 m3. 

解析:本小题考查三视图及几何体体积的求法及识图能力,难度较小.
由三视图知此几何体是由一个长方体和2个球组成的组合体,故V=3×6×1+2×π()3=18+9π.
答案:18+9π
23.(2012年辽宁卷,理13,5分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为　　　. 

解析:该几何体是长方体中去掉一个圆柱而成.其表面积应为长方体的表面积中去掉圆柱的两底面面积加上圆柱的侧面积.
S表=S长方体-S圆柱底+S圆柱侧
=2(1×4+1×3+3×4)-2×π12+1×2π=38.
答案:38
24.(2011年天津卷,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为　　　　m3. 

解析:该几何体为一长方体上有一个圆锥,
又V长方体=3×2×1=6,V圆锥=π×12×3=π,
∴该几何体的体积为6+π.
答案:6+π
25.(2010年福建卷,理12)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于　　　　. 

解析:由正视图知三棱柱底面边长a=2,高h=1,
∴S侧=3×2×1=6,S底=2××22=2,
∴其表面积为6+2.
答案:6+2
26.(2010年浙江卷,理12)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是　　　　 cm3. 

解析:由三视图可知,该几何体由一个长方体和一个四棱台组成,且长方体的长、宽、高分别为4,4,2,棱台的上底面为边长为4的正方形,下底面为边长是8的正方形,高为3,所以该几何体的体积为V=4×4×2+×3×(16++64)=144(cm3).
答案:144
空间几何体的有关计算
考向
聚焦
高考常考点,高考中主要考查:(1)求几何体的面积和体积;(2)计算几何体中有关线段长;(3)各几何体的外接球、内切球的有关计算问题,在客观题与主观题中均有体现,难度中档,所占分值4~6分

27.(2012年全国大纲卷,理45分)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
(A)2 (B) (C) (D)1
解析:∵AC1∥平面BDE,
∴点A到平面BDE的距离就是直线AC1与平面BDE的距离.

如图,=××=.
S△BED=××
=2.
设点A到平面BDE的距离为h,
则=S△BEDh=h,
由等积变换得=,
∴h=,
∴h=1.
答案:D.
28.(2012年新课标全国卷,理11,5分)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为(　　)
(A) (B) (C) (D)
解析:设△ABC中心为O1,即为△ABC所在截面圆的圆心,则OO1⊥平面ABC且点S到面ABC的距离h=2OO1,连结O1C,在Rt△O1OC中,OC=1,O1C=×=,
∴OO1=,∴h=,
∴V=×(×1×)×=.
答案:A.
球与三棱锥的组合体是立体几何中的难点,突破的关键是准确把握二者的结合点,及各几何体间量的关系,如OO1⊥面ABC及高h=2OO1等.
29.(2012年重庆卷,理9,5分)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,则a的取值范围是(　　)
(A)(0,) (B)(0,)
(C)(1,) (D)(1,)
解析:设四面体ABCD中,AC=a,则BD=,AB=AD=BC=CD=1,取BD中点P,连结AP、CP,则AP⊥BD,CP⊥BD,由勾股定理得AP=CP=.
在△ACP中,AC2=a2=AP2+CP2-2AP·CPcos∠APC
=1-cos∠APC,
∵∠APC∈(0,π),
∴cos∠APC∈(-1,1),∴a∈(0,).
答案:A.
本题考查四面体中的几何关系及解三角形.三角函数的值域问题,解题的关键是明确a的解析式,此题把立体几何、正余弦定理及最值问题进行了有机结合,在今后的复习中应注意知识、方法交汇点处的复习,属于难题.
302012年湖北卷,理10,5分)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d≈.人们还用过一些类似的近似公式,根据π=3.14159…判断,下列近似公式中最精确的一个是(　　)
(A)d≈ (B)d≈
(C)d≈ (D)d≈
解析:设球的直径为d,则球的体积为V=π()3,所以d=≈,其中对于A,d≈≈;对于C,d≈≈;对于D,d≈≈;比较各选项的被开方数大小可知,选项D中的d与d=≈最接近,故选D.
答案:D.
31.(2011年辽宁卷,理12)已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥SABC的体积为(　　)
(A)3 (B)2 (C) (D)1
解析:

如图,由SC为直径,A、B为球面上两点,
可知∠SAC=∠SBC=90°,由SC=4,∠ASC=∠BSC=30°得,
AC=BC=2,SA=SB=2,
又AB=,
过点A作AD⊥SC,连接BD,
由△SAC≌△SBC知BD⊥SC,BD∩AD=D,
∴SC⊥平面ABD,且求得AD=AB=BD=,
故=×S△ABD×SC=×××××4=.故选C.
答案:C.
32.(2010年全国新课标卷,理10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(　　)
(A)πa2 (B)πa2 (C)πa2 (D)5πa2

解析:如图三棱柱A1B1C1ABC,由题意可知侧棱垂直于底面,即AA1⊥平面ABC.
又因为棱长都是a,因此上下底面是等边三角形,设△A1B1C1的中心为O1,O为球心,球半径为R,因为所有顶点都在球面上,因此有OO1AA1=,C1O=R,
C1O1=×a=a.
易知△C1O1O为直角三角形,
因此C1O2=R2=()2+(a)2=a2,
所以S球=4πR2=4π×a2=πa2,故选B.
答案:B.
33.

(2010年北京卷,理8)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,动点E,F在棱A1B1上,动点P,Q分别在棱AD,CD上.若EF=1,A1E=x,DQ=y,DP=z(x,y,z大于零),则四面体PEFQ的体积(　　)
(A)与x,y,z都有关
(B)与x有关,与y,z无关
(C)与y有关,与x,z无关
(D)与z有关,与x,y无关
解析:四面体PEFQ的体积可以以P为顶点,以△EFQ为底面来计算,因为DC∥EF,且EF=1,故△EFQ的面积为定值,体积取决于动点P到截面A1B1CD的距离,所以四面体PEFQ的体积与z有关,与x,y无关,故选D.
答案:D.
34.

(2012年山东卷,理14,4分)如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1EDF的体积为　　　. 
解析:本小题主要考查三棱锥的体积公式.
==××1×1×1=.
答案:

35.(2012年江苏数学,7,5分)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥ABB1D1D的体积为　　　 cm3. 
解析:本题考查空间几何体的体积的计算和直线与平面的垂直的判断与性质定理.
由题意知,四边形ABCD为正方形,
连接AC,交BD于O,则AC⊥BD.

由面面垂直的性质定理,可证AO⊥平面BB1D1D.
OA=,
因为四棱锥底面BB1D1D的面积为3×2=6,
所以=×OA×=6.
答案:6
36.(2012年辽宁卷,理16,5分)已知正三棱锥PABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两相互垂直,则球心到截面ABC的距离为　　　. 

解析:由正三棱锥PABC的三条侧棱两两垂直,将其补成一个正方体,此正方体的体对角线长恰等于外接球的直径,而球心到截面ABC的距离等于体对角线长的三等分的一半,即d=×2=.
答案:
此题由正三棱锥补成正方体,外接球的直径转成体对角线,利用三等分、对称性解决问题,难度较大.
37.(2011年四川卷,理15)如图,半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与该圆柱的侧面积之差是　　　. 

解析:法一:设圆柱的轴与球的半径的夹角为α,
则圆柱高为2Rcos α,圆柱底面半径为Rsin α,
∴S圆柱侧=2πRsin α·2Rcos α=2πR2sin 2α,
当sin 2α=1时,S圆柱侧最大,此时S球-S圆柱侧=4πR2-2πR2=2πR2.
法二:

如图所示.设圆柱的底面半径为r,母线长为l.
圆柱的侧面积
S=2πrl=4πr
=4π
≤4π
=2πR2.
当且仅当r2=R2-r2,即R=r时等号成立.
此时,球的表面积S'=4πR2,
圆柱的侧面积S=2πR2.
∴球的表面积与该圆柱的侧面积之差是4πR2-2πR2=2πR2.
答案:2πR2

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