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张兴华：重提数学教学心理学
不久前拜读了郑毓信教授一篇论述变式理论的文章，文中提出了“中国数学教育优秀传统的继承和发展的问题”，并倡导“理论视角下的小学数学教学”，给我许多启示。由此想起了小学数学教学心理学实在也算得上是优秀的传统理论，因为多年来许多教师的教学之所以富有成效，多半是自觉与不自觉地运用心理学的原理、规律于实践的结果。只是，近几年在理论上我们比较关注新课程理念，而数学教学心理学却渐渐淡出了我们的视线。也就是说，现在青年教师们已经缺失了数学教学心理学，我们的小学数学教学课程还没有置于科学理论的视角下。
　　数学教学心理学：经典课堂的永恒支柱
　　我们不妨留意一下，近年来省级和省级以上教育报刊发表的数学教学论文中已经很少有“数学教学心理学”的核心词。即使有，也是很成问题的。最近常见到“表象”这个词，但多作表面现象讲，如“从表象看，……”列举了一些表面现象后说“……这些都是表象，透过表象，其实质是……”天哪！表象是感知过的事物留在脑中的形象……，怎么能望文生义说成是表面现象呢？再一个就是“变式”。变式只是心理学理论沧海之一粟，不知什么时候引得大家的热捧和关注，谈得不少。有上升为“变式理论”的，有总结为“变式教学模式”的，也还有解释为变化了的式子的，像45÷9=45×3÷（9×3）之类，只要式子变化了就是变式！学科教学心理学这块刚被开垦的处女地，现在又是杂草丛生，满目荒芜了。但是，耐人寻味的是，每每经典的、引人注目的教学设计，在其背后都能找到数学教学心理学的内核。我们不妨来看看张齐华老师“认识分数”的一个片段：
　　一开始，通过分蛋糕和简短的讨论，让学生知道：把一个蛋糕平均分成两份，每份是它的1/2。接着，张老师给每位学生准备了同样的长方形纸，让学生“动手折一折”，并“涂出它的1/2”。学生折啊，涂啊。交流的时候，有的学生横着对折，涂出了其中的1/2：     ，有的学生竖着对折，涂出它的1/2：     ，
有的斜着平均折成两份，涂出了它的1/2：           ，张老师指着这些不同形状的阴影部分问学生：“这些阴影部分形状不同，为什么都是这张纸的1/2？”学生一一回答：“我把这张纸横着对折，就是把它平均分成两份，其中这一份当然是它的1/2。”“我把这张纸竖着对折，就是把它平均分成两份，每一份是它的1/2。”“我虽然是斜着折的，但是是把这张纸平均折成了两份，这一份虽然形状不同，但也是这张纸的1/2。”张老师说，不管把纸怎样折，也不管折成的每一份是什么形状，只要是把这张纸平均分成两份，每一份就是它的1/2。后来，认识1/4时，张老师给学生准备了各种不同形状的纸，要求学生折一折，并涂出其中的1/4，学生折啊，涂啊，出现了这些情况：（略）
　　张老师又问学生：这里图形的形状也不相同了，阴影部分形状和大小也都不同，为什么都是原来这个图形的1/4学生一一回答，都是说我把这张纸平均分成了4份，每一份是这张纸的1/4。最后老师总结道：不管是什么形状的纸，也不管涂色部分是什么形状，只要把它平均分成4份，每份就是这张纸的1/4。这样，学生对1/2、1/4分数的认识达到了概括化程度很高的理解。为什么呢？就是因为运用了心理学变式原理！
　　然而，当我私下里与老师们沟通时，却发现大家对这一片段的认识多着眼于当下时髦的学习方式的改善上。有的说这是让学生动手实践得好，折出那么多的1/2、1/4；有的说这是让学生自主探索得好，这是算法多样化，折法多样化，涂法多样化；有的说这是合作交流得充分。有老师甚至不理解张老师两次运用变式的奥妙，觉得两次操作后两次发问几乎一样，是不是有重复和雷同感……他们不知道，张老师在这里两次运用了变式原理，而两次的着眼点不同，第一次用同一张纸，第二次用不同的纸。
　　那什么是变式呢？心理学研究表明，抽象的概念需要熟悉广泛、众多的事物才得以形成。变式就是从不同角度组织感性材料，变换事物的非本质特征，在各种表现形式中突出事物的本质特征，从而使学生对概念的理解达到越来越高的概括化程度。
　　张老师是深谙此理的，为了使学生能深刻认识1/2、1/4，变换非本质属性，让学生用不同方法折出、涂出各种形状的1/2、1/4，从而突出不管用什么纸折，不管怎样折，只要把纸平均分成2份，每份就是它的1/2，只要把纸平均分成4份，每份就是它的1/4。理论的光芒是普照的。你真正掌握了变式原理，就可以普遍地运用于概念教学中。比如学习垂直概念，教师开始往往出示标准的垂直图形，让学生初步认识，相交成直角的两条直线互相垂直，这概念是表征得不错，但这一标准图形的提供，无形中就增加了概念的内涵：相交成直角的竖直、水平方向的两条直线，互相垂直。而看到
就不认账，这种错误的认识，常常影响到画垂线和在三角形、平行四边形、梯形中画高，而张老师教学垂直，由于深谙变式原理，不仅提供垂直的标准式，而且提供垂直的各种变式，过直线外或直线上一点画垂线，不仅要画水平方向直线的垂线，而且要画出铅直方向的、斜方向的直线的垂线。这样学生对互相垂直就达到了概括化的理解：不管直线方向如何，只要两条直线相交成直角就互相垂直。掌握教学心理的老师在概念教学中就可以自如地普遍应用变式，不懂得教学心理的老师只能是依样学样，机械克隆，如法拷贝。
　　在概念教学中，说到变式，常常还要说到“反例”。现在的教育心理学已把反例整合到变式中去了，请允许我在这里仍然沿用反例的说法。什么是反例呢？反例就是故意变换事物的本质特征，使之质变为与之形似的他事物，在比较与思辨中反衬和突出事物的本质特征，从而更准确地认识概念，在教学中反例常常和变式一并提供。例如让学生辨析：
　　下面的图形，哪些是角，哪些不是角？（略）
　　又如让学生辨析，下面哪些图形是梯形，在梯形下面的括号里打√：略）
　　如果说，变式是多方面地从正面强化概念的本质属性的话，那么，反例恰恰是从反面来反衬和激生对概念的本质属性的认识。
　　我们再来看一个教学片段：面积单位（平方分米）的教学。
　　学生学过平方厘米，知道边长是1厘米的正方形，面积是1平方厘米，而且已经形成了平方厘米的空间表象，之后我让学生用平方厘米度量相关图形的面积、邮票的面积，然后不露声色地让学生度量课始出现的镜框玻璃或凳面的面积，有的学生有点犹豫，有的学生还真的一平方厘米一平方厘米地度量，等到大家都觉得这样量很麻烦时，我问大家有什么想法，学生说：最好有一个大一点的面积单位来度量，我趁势让学生创造一个大一点的面积单位。有学生创造出了平方分米，我就说：“好，就用平方分米。”那什么是1平方分米呢？学生猜想（实际上是类比推理）：边长1分米的正方形，面积是1平方分米。我随即出示一个平方分米的模型，橘红色的（这里还有感知原理），指着比划着说：“哎！边长1分米的正方形，面积是1平方分米，现在我们来仔细观察平方分米这个面积单位。这里，平方分米是什么形状的？（生答：正方形。）它有多大？（生答：边长1分米的正方形这么大！）看清了吗？（生答：看清了。）看清了，就请大家把眼睛闭起来，在脑子里面想：刚才看到的平方分米是什么形状的？有多大？”（全体学生闭眼回想。）一会儿，我说：大家在脑子里留下了平方分米了吗？（学生仍闭着眼睛回想，答：留下了。）留下了就把眼睛睁开。现在请把信封里的平面图形拿出来（每个人的信封里预先都装着三四个正方形，边长1.2分米的、边长1分米的、边长0.8分米的……）我说：谁能很快地把平方分米挑出来。很多学生都很快地把平方分米挑了出来，相互交流。也有少数学生挑错了，我再引导纠正。
　　这个教学案例中实际上有五六个心理学原理：如何激发学习动机，如何引起联想，如何激发再造想象，如何组织首次感知，如何建立表象。但是，课上下来，老师们却较多地关注闭眼回想的环节，都觉得让学生“先观察，再闭眼睛回想，又在一堆图形中挑出”特别好，说是把平方分米的意义教活了。至于平方分米的颜色为何是显眼的橘红色，为何要闭眼，为何要挑图形，则不知底里！有的老师在后来自己的教学中竟也乐于让学生闭眼。有一次在随意听课时，我就看到这种情况，老师教的是应用题。通过例题教学，得出了一个数量关系式：总数量÷相对应的份数=平均数，课讲得很好！但是接着就见老师讲：请大家把这个数量关系式仔细观察一下，然后把眼睛闭起来，在脑子里想一想，刚才我们观察的数量关系式是怎样的，在脑子里留下来了吗？学生答：留下了。老师说：留下了就把眼睛睁开。天哪！我让学生闭眼回想是为了让学生把感知过的平方分米的样子留在脑子里，形成表象。儿童认知概念是循着“形象—表象—抽象”的过程进行的。数量关系式已是抽象规则，怎能再拽回到形象、表象的阶段，让学生闭眼回想呢？
　　以上两个案例说明现在许多教师数学教学心理学的缺失。尽管许多优秀教师在教学过程中也都注意了解学生的学习状况，改进教学方法，研究并解决各种教学问题，但是都是凭着教学经验而为。当然，教学经验也能帮助我们解决问题，但这种经验没有经过理性思辨，并不能对学和教做出科学的解读，也就常常不具备一般意义。正如上述认识分数教学，仅认识1/2、1/4可以如是拷贝，而不能普遍运用于概念教学中。认识平方分米中的“闭眼回想”，不是包治百病的灵丹妙药，到处可用，而只是为了让学生形成平方分米的表象，把它在脑子里留下来。显然，我们的数学教学确实要置于数学教学心理学理论的视角之下了。
　　数学教学心理学关注什么
　　说到这里，究竟什么是数学教学心理学呢？数学教学心理学有哪些内容呢？今天又准备怎样重提数学教学心理学呢？
　　心理学独立地成为一门科学，至今已有130年历史。但是，从它诞生之日起，就与教育密切地结合在一起，形成了教育心理学（教学心理学）的应用性研究。把心理学原理应用于学科教学，尽管只有五六十年历史，但已成为学科教学的迫切需要。小学数学的学与教，时刻反映着人的心理活动，亟需在心理学的理论指导下进行实践。数学教学心理学作为一门科学，具有丰富的内容，很难三言两语说清楚。这里不妨从奥苏伯尔的一段话说起，来略谈一二吧！
　　关于学习的过程，著名认知心理学家奥苏伯尔说过：“假如让我把全部教育心理学仅仅归结为一条原理的话，那么我将一言以蔽之曰：影响学生学习新知的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道些什么。要探明这一点，并据此进行教学。”现在，我们不妨把这高度浓缩的一条原理化解开来，看看有哪些心理学原理，让我选择几条来重提一下。
　　第一，许多心理学原理关注“学生已经知道了什么”。
　　1． 传统的认知心理学中的准备学习就关注“学生已经知道了什么”。
　　奥苏伯尔的认知心理理论认为：“一切新的学习都是在原有学习的根基上产生的，新知总是通过与原有认知结构中的相关知识相互联系、相互作用后获得意义的。”这样，探明新知赖以建立的相关旧知，使“新知之舟泊于其锚桩上”，就成为学生获得新知的重要前提了。所以，教学某项新知前教师应在学生原有认知结构中探明：新知需要哪些旧知支撑，并且组织重现、唤起、激活，使学生学习新知处于良好的准备状态，这便是认知心理学的准备学习。
　　例如，学生学习20以内进位加法“9加几”的计算，教师组织了如下已知进行复习、激活。
    （1）

    学生逐题分解后，师说：唉，这些数都可以分成1和另外一个数。
    （2）9＋（  ）＝10
    生齐答：9＋（1）＝10
    师（强调）：唉，9加上了1，就正好凑成了10，9和1是一对好朋友。
    （3）把下面“△”外的三个数连加起来。动脑筋，很快算出结果来。

　　师：（指名算得快的学生）你们为什么算得这么快？
　　生：因为9加上1可以凑成10，我先把9加1得10，再用10加上第三个数，10加几一下就算出十几。
　　教师在亲切的谈话中复现、激活相关旧知，加上学生解答后的追问、强化，凸显了9加几转化为10加几的认知趋势。作为“先行组织者”，相关旧知的复习紧紧对准了新知，促进新旧知识充分地积极地相互作用，形成了固定新知的准备态势和积极的学习心向，把学生的认知推进了新知的门槛。
　　2. 建构主义学习理论关注的是全体学生各自的建构潜能。
　　新一轮基础教育课程改革，建构主义学习理论是其重要的支撑理论。建构主义学习理论认为，学习者的知识不是由教师传授而获得的，而是学习者在一定的社会文化背景下，根据已有的知识、经验、方法（在同伴及教师的帮助下）主动地通过意义建构的方式而获得的。其间涉及情境、协作、会话和意义建构四大要素。而所谓“意义建构”，即是要使学习者将新的学习内容与自身已有的知识、经验之间建立起实质性的、非人为的联系，借助自身“已经知道了什么”赋予新知识以意义。这里，学习者已有的知识、经验对于其能否实现对新知识的意义建构具有至关重要的作用。有人会说，这与传统的准备学习不是同一回事吗？其实，这不是一回事！准备学习，是对那些支撑新知学习的已有知识进行复习、唤醒、激活，为新知学习作准备，是教师组织的；建构主义学习不是教师统一组织相关知识复习，而是在一定的情境中由学生自主地调度各自已有的知识、经验、方法（我把它叫建构潜能），与新知相互作用，建构新知意义。因为学生家庭环境、文化背景和思维方式不同，他们已有的知识、经验、方法、思维方式等建构潜能也有差异，基于各自已有经验的建构过程和结果也有不同，这样就出现了算法多样化，但是他们都在主动地建构、主动地发展。建构主义学习的一个重要意义就在于能使全体学生都能有差异地得到发展。
　　仍以9加几的教学为例，教师创设了一个问题情境，让学生计算9＋6。可怎样计算呢？老师说：“小朋友们一定能自己设法计算出结果。”这是调用学生各自的相关已知来建构新知方法。此时，基于各自原有知识经验建构起来的方法真是丰富极了！有学生说，9＋6，我就从9起，一个一个往上数6个，数得15个；有学生说，我从6里拿出1来，加到9上去，得10，再加上剩下的5，得15；有学生说，我从9里拿出4来加到6上去，得10，再加上剩下的5，得15；有学生说，我把9看成10，就多看了1（多加了1），从6里去掉1，10加5得15；还有学生说，我把9和6都看成5，5＋5得10，再加上少加的4和1，得15……有人说，这不是算法多样化吗？这是的！从教育心理学的角度说，这是建构主义学习理论，让学生在一定的情境中主动地基于各自的已有知识建构新知意义，才出现算法多样化，全体学生都能有差异地得到发展。第一种是基于他数数的经验，第二、三、四种都基于凑10、连加等已有经验建构的方法，第五种则基于朴素的假设思想而建构的方法。
　　3． 关注“学生已经知道了什么”，我们可以借助“原型启发”，解决问题。
　　我们知道，学习者进行新的学习，比如认识新事物、学习新的概念或规则、解决新的问题等，常常可以受到以前认知的某些类似事物和知识的启示，从而找到获取新知或解决新问题的途径。这种储备在学习者认知结构中的类似事物就是“原型”，它对学习者认识新事物、解决新问题所起的作用，心理学上叫作原型启发。比如，鲁班发明锯子，鸟与飞机，蝙蝠与雷达，简算42/（43×42）等，当然，学习者认知结构中是否具有鲜明的“原型”以及学习者能否根据新的学习任务的特点，自觉地调动相应的原型，以实现“原型”的启发价值对于个体的学习活动是至关重要的。
　　……
　　第二，许多心理学原理还关注着学生对相关已知的掌握程度。
　　1． 迁移。
　　迁移是一种学习对另一种学习的影响。就小学数学的学习而言，迁移主要指先前的知识、技能对后来学习新的知识、技能的影响，如果是积极影响，就称为正迁移（或简称迁移）；如果是消极影响，就称为负迁移（简称干扰）。由于数学知识都是内在联系着的，所以，迁移现象普遍存在于学生的学习活动中。从教学任务看，我们所期望并努力实现的当然是促进性的正迁移（并注意避免干扰性负迁移）。把握迁移原理的教师十分注意利用学生先前获得的认知结构对后继学习施以积极影响，迁移为新的认知结构，并使原有认知结构得以扩展和壮大。
　　从迁移的原理来看，学生原有的认知结构（也就是已经知道了什么）当然是影响迁移的最关键因素。而直接影响迁移的原有认知结构，有三个变量：可利用性，即在新的学习任务面前，学生原有认知结构中是否有适当的起固定作用的观念可以利用；可辨别性，就是新的有潜在意义的学习任务与同化它的原有概念系统的可辨别程度如何？也就是说，学习者原有知识与要学习的新知识之间的异同是否分辨清楚；稳定性，就是在新的学习任务面前，原有的起固定作用的观念的稳定性和清晰性如何？原有观念越稳固越清晰，越有助于新的学习。
　　知道了这一点，组织学生学习时就要注意：在学生原有认知结构中寻找和确定可以固定新知的相关旧知，为新的学习提供最佳关系和固定点。如学习一个数乘以分数的意义，可以从一个数乘以整数、一个数乘以小数的意义中类推；学习比的基本性质，可以根据比与除法、分数的内在联系，从除法的商不变规律、分数的基本性质中迁移学习。学生掌握了三角形面积计算的推导方法，再学习梯形面积，可利用拼合图形推导这一共同渠道，诱导学生自行迁移到梯形面积的推导中来。
　　2. 同化和顺应。
　　我们发现，建构主义理论只是笼统地说明学习者基于已有知识建构新知意义，并没有说明学习者是怎样利用旧知建构新知意义的。关于这一点，传统的数学教学心理学解释得清清楚楚，那就是同化和顺应。所学的新知识由于符合原有的认知结构，从而顺利地为原有认知结构所接纳，即为知识同化。如学习长方形面积计算后，学习正方形的面积计算，由于“正方形是一种特殊的长方形”这一内在联系，很快感受到新旧知识间的相关契合，顺利发生如下的同化过程：
　　（1）感知新知问题情境：正方形面积计算
　　（2）新旧知相互作用：
　　正方形是一种特殊的长方形（长和宽相等的长方形）
　　长方形的长→正方形边长
　　长方形的宽→正方形边长
　　（3）同化新知：
　　长方形面积=长×宽
　　正方形面积=边长×边长
　　正方形面积的计算就同化在长方形面积计算的方法中了。
　　又如学生在学习正方形、长方形、等腰三角形时已形成了轴对称图形的概念，学习圆时，学生发现圆具有轴对称图形的一切特征。因此圆也是轴对称图形。
　　有些知识一时无法被个体原有认知结构所直接接受，必须进行调整、重组乃至改造，重建新的认知结构，这便是顺应。
　　比如学习异分母分数加减法，教师先让学生计算：56+36，3.45+33.8，  +  ，然后逐题讨论：（1）在竖式中整数加减法为什么要数位对齐？（突出：计数位相同才能相加）（2）在竖式中计算小数加减法为什么要把小数点对齐？（突出：小数点对齐数位就对齐，计数单位相同才能加。）（3）同分母分数加减法为什么分母相同分子可直接相加？（突出：分母相同，表示分数单位相同，分子可以直接相加。）此时，学生已然明白，所有的加减法计算，只有在计数单位相同时才能直接相加。接着，出示异分母分数加法   +   ，问学生：分子能直接相加吗？生答：不能。师问：为什么呢？生答：分母不同，分子不能直接相加，还有学生说：分母不同就是计数单位不同，一个   和一个   是2个什么呢？所以不能直接相加。师问：那怎么办呢？学生经过讨论，终于想到用通分的办法，分数的计算单位相同了再相加，新知经过改造，顺应于原有的认知结构中，计数单位相同才能直接相加减。
　　所以，南京师大涂荣豹教授在其著作《数学教学认识论》中鲜明地指出，建构主义学习的基本模式就是“同化和顺应”。郑毓信教授也曾经说：“建构主义似乎并不能看成一个全新的主张。”为什么这样说？我姑妄猜之，是不是因为实现建构的途径无非是传统心理学中“同化和顺应”的缘故，意义建构的过程无非是同化和顺应。
　　至于这些“已经知道的知识”，学习者又是怎么获得的，这更关涉到许多认知心理学问题。另外，学习者是作为知、情、意统一的人参与学习活动的，那么，学习兴趣的激发、学习动机的维持、积极学习情感的培养、学习习惯的养成等也都是学习心理学研究的内容。我就不在这里一一重提了。
　　数学教学心理学对于数学教学实践来说，虽然是永恒的理论支柱之一，但不等于数学教学心理学的理论建设可以停滞不前。歌德有句名言，理论是灰色的，唯生活之树常青。广大教师鲜活的教学实践完全可以走在理论发展的前面，给理论建设提出新的命题，带来新的理性思考，反哺理论的发展。例如组织感知，为保证感知效果，以往的数学教学心理学在实践中非常强调扩大被感知对象和背景间的差异，强调发挥语言的调控作用，使感知带有明确的指向性。这样教学的暗示性太强了，会使学生失去自己收集信息、筛选信息、分析信息的机会。又例如，根据学习准备原则，原先的课堂教学中都安排有“复习铺垫”的教学环节，但是，在学习新知前，安排专门的复习铺垫，会使学生失去自我检索解决问题所需信息的机会，降低学习活动的探究性。课改实验越往深处，类似这样的新思考会越多。老师们，你们既是数学教学心理学的践行者，相信也是数学教学心理学的发展者！
　　（本文系作者在“张兴华和他的弟子们——一个名师团队的展示及其构建成因专题教研活动”中的发言稿，有删改。）