旋转体体积的计算方法.pdf

3 6 2西安理工大学学报J o u r n a lo fX i 肋U n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y(2 0 0 8)V 0 1 2 4N o 3文章编号：1 0 0 6-4 7 1 0(2 0 0 8)0 3-0 2 6 2-0 4旋转体体积的计算方法李艳丽，王逸迅(西安理工大学理学院，陕西西安7 1 0 0 5 4)摘要：为解决计算旋转体体积尚无具有普遍适用性的统一公式的问题，依据古鲁金第二定理推证得到：利用曲面积分计算空间某一平面图形三绕直线(轴)L 旋转而成的旋转体体积的通用公式；利用二重积分计算x o y 面上的平面图形D 绕直线(轴)旋转而成的旋转体体积的通用公式。依据本文所证得的通用计算公式推证得到：在某些特定情形下利用定积分计算旋转体体积的具有针对性的公式。关键词：直线；平面图形；旋转体；旋转体体积中图分类号：0 1 7 2 2文献标识码：AAM e t h o df o rC a l c u l a t i n gR o t a t i n gB o d yV o l u m eL IY a n l i W A N GY i x u n(F a c u l t yo fS c i e n c e s，X i a nU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y，X i a l l7 1 0 0 5 4，C h i n a)A b s t r a c t：I no r d e rt os o l v et h ep r o b l e mo fc a l c u l a t i n gr o t a t i n gb o d yv o l u m ew i t h o u tt h eg e n e r a lu n i f i e df o r m u l a。b a s e do nG u l d i n ss e c o n dt h e o r e m，t h eg e n e r a lf o r m u l a sa r ed e d u c e do nc a l c u l a t i n gt h ev o l u m eo ft h er o t a t i n gb o d ys h a p e db yr o t a t i n gt h ep l a n ef i g u r e 三a r o u n dt h eL a x i si nt h es p a c eb yu s i n gs u r f a c ei n t e g r a la n dc a l c u l a t i n gt h ev o l u m eo ft h er o t a t i n gb o d ys h a p e db yr o t a t i n gt h ep l a n ef i g u r eDi nx o yp l a n ea r o u n dt h eL a x i sb yu s i n gd o u b l ei n t e g r a l A c c o r d i n gt ot h e s eg e n e r a lf o r m u l a s，t h et a r g e t e df o r m u l at oc a l c u l a t et h er o t a t i n gb o d yv o l u m eb yu s i n gd e f i n i t ei n t e g r a li ns o m es p e c i f i cc a s e si sd e r i v e di nt h i sp a p e r K e yw o r d s：s t r a i g h tl i n e；p l a n ef i g u r e；r o t a t i n gb o d y；r o t a t i n gb o d yv o l u m e古鲁金第二定理给出了一个平面图形绕其所在平面内与其不相交的轴(可以是它的边界)旋转一周而成的旋转体体积的求法。对于某些简单特殊的情形，当平面图形形心到轴的距离以及平面图形的面积易求得时，利用古鲁金第二定理可以很方便地求得旋转体的体积。一般情形下，情况并非如此。如：问题1 求曲线Y=4 x X 2 与直线Y=名所围成的平面图形D 绕直线L：Y=戈旋转一周而成的旋转体的体积。问题2E 2 3求厂：詈=善=z(1 z 3)绕z 轴旋二J转一周而成的旋转曲面与平面z=l，：=3 所围立体的体积。利用古鲁金第二定理求解以上两个问题均不方便。平面图形绕旋转轴旋转而成的旋转体由该平面图形以及旋转轴所确定。无论在空间还是在平面上，由于旋转轴所处的位置、平面图形以及平面图形与旋转轴的相对位置的多样性，使得旋转体体积的求解问题相当繁杂。迄今为止，绝大部分高等数学以及数学分析教科书、教学辅导书均仅给出在x o y 面上平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体体积的计算公式p 4 J，各类相关文章中所介绍的求旋转体体积的公式也均为某种特定情形下求解此类问题的公式，都具有较强的针对性。笔者还未曾见到求解此类问题的具有普遍适用性的统一公式。本文将对此类问题加以研究，力求找到具有普遍适用性的统一公式。1 旋转体体积的计算依据古鲁金第二定理，若空间某一平面图形三的形心为M(x，多，三)，面积为A，则三绕其所在平面收稿日期：2 0 0 8-0 5-2 2作者简介：李艳丽(1 9 5 9-)，女，陕西渭南人，讲师，研究方向为基础数学。E m a i l：l i y a n l i x a u t e d u c a。万方数据李艳丽等：旋转体体积的计算方法3 6 3内与其不相交的直线：X-X 0：Y-Y o：三二鱼旋转一mnp周而成的旋转体的体积为：S=2 仃d A其中d 为形心膨到直线的距离。因为的方向向量为s=m，n，P ，眠(x。，y o，)在上，所以儿面等亏2 7 r一_ _-。_ _ _ _ _ _ _ _ _。_ _-_-_ _ _ _ _。，一|丽2 仃-厶r 矗7孙、丽l 互二i 歹三三钿lm以一菇o Al，毫弘一AA七p勰一At 签一t o a S，a s 一，o a s a 强一b a sz王zzzz一堑、丽ijkmnp*Z o)d S f(y-y o)d S z-z o)d s=：由以上推导可得下述定理：定理空间有界平面图形三绕其所在平面内与其不相交的直线：X-X 0：Y-Y o：苎二鱼旋转一周而成的旋转体的体m，lP积为y：纽、愿磊耳iJ丘I nnPb x o a S h 一，o 器l l z 小器：互：均成立，再视具体情况具体分析，依据旋转的实际效果以及体积的可加性，问题即可得到解决。至此，我们得到了在空间的有关问题中计算旋转体体积的具有普遍适用性的统一公式，即公式(1)。由定理可得下述推论：推论1 若空间有界平面图形三在过z 轴的平面上，则三绕名轴旋转一周而成的旋转体体积为仃怯圳证明从略。推论2 若空间简单光滑曲线F：|z2 戈：z：L y=，L=，(c s z d)在过2 轴的平面O t：A x+8 y=0 上，则厂绕z 轴旋转一周所得旋转曲面与平面彳=c，z=d 所围立体的体积为ffJ 儿仃肺l J 击胁)如爿y 沁)出l(3)证明：如图1 所示，所求立体的体积即为平面图形三绕z 轴旋转一周而成的旋转体的体积。因为三所在平面a 的方程为：A x 十8 y=0，即4 _ J、BY2 一矿戥名2 7三在删面上的投影区域为：D 1=(菇，z)l0s 茹sx(z)，C5zsd 图1 旋转体示意图F i g 1D i a g r a mo ft h er o t a t i n gb o d y(1)所以，依据第一型曲面积分计算方法得：定理给出了在空间当平面图形与旋转轴不相交时，平面图形绕旋转轴旋转而成的旋转体体积的计算公式。当平面图形与轴相交时，只需将其分成数个与轴不相交的子平面图形，对于每个子平面图形定理妒=汴F 丽曲：等孚a z e j 池IBJ c J o一一+B2ff2髫2(z)出一一一一万方数据3“西安理工大学学报(2 0 0 8)第2 4 卷第3 期所以同理，三在y o z 面上的投影区域为：D 2=(，：)10sYsr(z)，csz d 娶y d s=1 3 y、嘲d 仃=鲁2 半f 儿)如lA上。7 一*出圳=拓lI 鼎i 茹：出葫九，出I l=仃一l 舳彩出I l：X-X 0：盟时，据定理可得下述推论。上与其不相交的直线：X,-；C 0：Y-Y o 旋转一周所儿嘉导lf E m(y-y o 卜吣嘞)曲|(4)肚云等lU 似毋+c，打I 证明：当为斜面上的直线垡：Y-Y o l 耐，由于I，：_ 三兰石2+忍2lm浒一x o)d SD=南沪舳一桫(x-z o)d o 川：焘加旷小咄飞叫当L 为A x+B y+C=0 时，设M o(茹o，扎)是上的一点，则可表示为：竺=2，二挚于是y2：乏等l，B(y 一)+A(x-X o)d 矿I5：乏舄f c A 戈+B y A 省。一8 y o)如f2 秀等眇舭+B y+c，如l与对定理的讨论类似，经讨论知式(4)及式(5)均为在x o y 平面上的有关问题中计算旋转体体积的具有普遍适用性的统一公式。特别地，当x o y 平面上的有界闭区域D 已知，旋转轴为坐标轴时，依据推论3 以及二重积分的计算方法易得下述结论(特定情形下计算旋转体体积的常用公式)。证明从略。推论4 若x o y 平面上的区域为D=(菇，Y)I C t 戈6，0 g(菇)冬y 厂(石)，g(x)以髫)是 C t，b 上的单值连续函数，则D 绕O X 轴旋转一周所得旋转体的体积为：V=7 r IL 厂2(省)一9 2(戈)如当g(戈)=0 时，D 绕O X 轴旋转一周所得旋转体的体积为：y=刊f2(菇)如D 绕o y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V=2 们r I 砜菇)如推论5由0 n s 口兰J B 仃，0 r s r(口)，(0 与r 为极坐标)所确定的平面图形绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为y：孕厂r 3(p)s i n O d O。推论2、推论4 以及推论5 中的各公式均具有较强的针对性，解决相应情形下的具体问题更为快捷。2 问题的求解依据以上研究结果，我们可以顺利地解决序言中所提出的两个问题。1)问题1 的求解：因为旋转轴为L：Y=髫，平面图形D 如图2 所示。由推论3 知，所求旋转体体积为：肚隽旧(x-y)d o l=箬Ir 出厂2 y，咖l 0O硒nV，D万方数据李艳丽等：旋转体体积的计算方法3 6 5=老I图2 平面图形DF i g 2T h ep l a n ef i g u r eDWh 4 比3 地2，也I2)问题2 的求解如图3 所示，曲线厂：詈=等=z(1 z 3)所在的直线与2 轴所确定的平面为a：3 x 一2 y=0，又厂的方程可表示为：f 牡2 a z(1szs3)依据推论2 得一惭喵知=何怯T 时纠睁求解以上两个问题时，若使用古鲁金第二定理或通过坐标变换后按教学辅导书上所给公式计算均将很繁琐。使用本文所给公式计算，思路清晰、步骤简捷，大大缩减了运算量。3结语公式(I)是在空间情形下计算旋转体体积的通用公式，公式(4)和公式(5)是在x o y 面上的有关问题中计算旋转体体积的通用公式，这些公式的推得改变了计算旋转体体积没有普遍适用的统一公式的现状。定理和推论3 中所给各通用公式简明易记，更重要的是在一般情形下，利用这些公式解决与旋转体体积相关的问题时可大大简化运算量，使复杂的难以解决的问题变得相对简捷。如同推论1、推论2 以及推论4 和推论5，依据定理或推论3 可推得特定情形下计算旋转体体积的具有针对性的公式，从而使在特定情形下有关旋转体体积问题的解决更加快捷。参考文献：1 谷琼，朱莉，袁红星(G uQ i o n g，Z h uL i，Y u a nH o n g x i n g)旋转体体积的计算方法(Am e t h o do fc a l c u l a t i n gt h ev o l u m eo ft h er o t a t i n go b j e c t)J 高等数学研究(S t u d i e si nC o l l e g eM a t h e m a t i c s)2 0 0 6，9(1)：5 4 _ 5 6 2 丁殿坤(D i n gD i a n k u n)旋转曲面的面积及围成立体体积的求法(T h er e q u e s t i n go fc u r l e dc u r v e ds u r f a c ea n ds o l i dv o l u m eo fc o r r a l)J 大学数学(C o l l e g eM a t h e m a t i c s)2 0 0 7，2 3(4)：1 8 4 1 8 7 3 同济大学数学系(T o n g j iU n i v e r s i t yD e p a r t m e n to fM a t h e-m a t i e s)高等数学(A d v a n c e dM a t h e m a t i c s)M 北京：高等教育出版社(B e i j i n g：H i g h e rE d u c a t i o nP r e s s)，2 0 0 7 4 F M 菲赫金哥尔茨微积分学教程(C a l c u l u sC o u r s e)M 北京：高等教育出版社(B e i j i n g：H i g h e rE d u c a t i o nP r e s s)，2 0 0 6 5 王林芳，马雅琴(W a n gL i n f a n g，M aY a-q i n)空间情形下旋转体体积的计算(T h ec a l c u l a t i o na b o u tt h ev o l u m eo fb o d yo fr o t a t i o ni ns p a c es i t u a t i o n)J 数学的实践与认识(M a t h e m a t i c si nP r a c t i c ea n dT h e o r y)，2 0 0 6，3 6(5)：3 0 4-3 0 7(责任编辑杨小丽)仃歪ol 一28 一=万方数据旋转体体积的计算方法旋转体体积的计算方法作者：李艳丽，王逸迅，LI Yan-li，WANG Yi-xun作者单位：西安理工大学理学院,陕西西安,710054刊名：西安理工大学学报英文刊名：JOURNAL OF XIAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY年，卷(期)：2008，24(3)被引用次数：0次 参考文献(5条)参考文献(5条)1.谷琼.朱莉.袁红星 旋转体体积的计算方法期刊论文-高等数学研究 2006(01)2.丁殿坤 旋转曲面的面积及围成立体体积的求法期刊论文-大学数学 2007(04)3.同济大学数学系 高等数学 20074.FM菲赫金哥尔茨 微积分学教程 20065.王林芳.马雅琴 空间情形下旋转体体积的计算期刊论文-数学的实践与认识 2006(05)相似文献(10条)相似文献(10条)1.期刊论文 吴江.孟世才.WU Jiang.MENG Shi-cai 平面图形绕直线旋转所成立体的体积-重庆教育学院学报2006,19(3)用元素法求得平面图形绕直线y=kx+b旋转所成立体的体积公式.2.期刊论文 徐建丽.何汉新 平面图形的认识整理和复习教学设计与评析-小学青年教师2006,(10)一、设疑导入,激发兴趣同学们,请拿出笔和纸,画一条5厘米的直线.(直线是无限长的,不可以度量它的长度,所以没法画)今天我们就来复习平面图形的认识中有关线和角的知识.3.期刊论文 林章美.LIN Zhang-Mei 一类平面图形关于某轴对称的重心同一性-福州师专学报2001,21(5)本文给出一类平面图形关于某轴对称且重心具有同一性的某些结果(主要讨论由常见二次曲线与直线围成的图形).4.学位论文 管健 平面图形边界数据采集、处理系统 2002 该文系统地介绍了为模具加工行业研制的一套平面图形边界数据采集、显示、处理系统.它包括一个可对平面任意曲线组成的图形边界进行跟踪的装置,以及对该装置输出的信号进行记录及编辑工作的软件.跟踪装置运用黑白交界图线比较法取得数据,由步进脉冲发生器,系统控制器,信号处理器,逻辑判别器,接口电路,电机驱动器等组成可对平面图形边界进行自动跟踪控制.而系统处理软件的作用是:利用PC兼容机,将上述装置的输出信号(1)通过并行口输入(2)记录成文件(3)逐点显示出来(4)可人工进行化简,编辑(删、改点)等(5)可在给定误差范围内进行人工拟合,用直线和圆弧取代原来的点,得到一个与原图形的误差在规定范围内,又消除跟踪过程中因受到各种干扰而造成的缺陷,由尽可能少而简捷的数学曲线描述的图形(6)把这些图形转化成用于编制数控线切割加工程度及AutoCAD能够识别的文件(主要指DXF格式)(7)该软件还有一定的加密措施.5.期刊论文 王长远 非常5+1-平面图形初步知识-中学生数理化（初中版七年级）2006,(1)非常一:知识回顾1.直线、线段、射线的概念直线是向两个方向无限延伸着的:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段;直线上的一点和它一旁的部分叫做射线.2.角的定义(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.(2)一条射线由原来位置绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形也叫做角.6.期刊论文 李梅先 平面图形的认识和复习(一)教学片断及反思-小学青年教师2006,(10)课堂上,在复习直线、射线和线段的有关知识时,出现了一点点波折,但此波折却让课堂丰富多彩,学生学习兴趣大增!7.期刊论文 牛彦.马广韬.王志勇.沈丽萍 线面相交直线可见性规律的研究-沈阳建筑大学学报(自然科学版)2004,20(4)针对直线与平面相交,直线可见性的判断问题进行研究.首先从平面的投影特点入手,将平面分别设定为正面、背面两面,讨论了平面图形各顶点投影顺序与平面正面、背面投影的内在规律.阐述了空间直线与平面相交,彼此相对位置的不变性.提出并论证了各种位置直线与平面相交,直线在相邻两投影面上可见性的投影规律.它与用重影线法求直线与平面相交交点相结合,为直线与平面相交直线可见性判断提供了一种新方法.8.期刊论文 楼明霞 直线和线段导课设计种种-学科教育2002,(6)直线和线段是几何初步知识中的起始概念,也是进一步学习平面图形的基础,这两种线有别于学生在生活中见到的各种实物线.为使抽象的概念得到生动的掌握,笔者根据直线和线段的共性和个性,结合教学的重点难点,设计了几种既形象又有趣的导课方法,均收到了较好的效果.9.期刊论文 贺健琪 基于AutoCAD探究一般位置直线求实长的方法-陕西教育（高教）2008,(10)在机械制图画法几何部分,当空间直线处于一般位置直线时,其投影就无法反映该直线的实际长度,特别在求平面图形的实际形状时都会经常面对这样的问题,而现在好多教材都因为教学课时的不断压缩而删减甚至取消了相关内容,使学生在该知识点上形成了缺憾,本文将求一般位置直线实长的不同图解方法集锦在一起,从原理、要领和CAD作图技巧方面加以探究.10.学位论文 张贞 平面图形放缩机构的设计与仿真 2006 平面图形放缩机构能够对一个由若干条直线段构成的任意平面图形进行放大和缩小。此机构在很多领域都有着的较广的应用前景，它的研究和应用越来越引起人们的关注。本文详细阐述了平面图形放缩机构的放缩原理，介绍了机构的构造方法，阐述了放缩机构仿真软件的功能及其具体实现，介绍了BUPT字母组合图形放缩机构演示系统的搭建。最后总结论文的研究内容以及存在的不足之处，并由此得出了对未来的展望。如果一个平面图形能够设计出对应放缩机构，那么此图形必须满足一定的条件，本文指出了图形需要满足的条件，对于不满足条件的图形，提出修改图形的方法，介绍了图形放缩机构的设计方法以及设计机构需要注意的问题。在放缩机构设计原理的基础之上，从应用的角度出发编写了平面图形放缩机构仿真软件，此软件实现了放缩机构设计的自动化。它的图形分析模块可以对图形是否满足对应机构设计条件自动进行判断；它的放缩机构运动仿真模块实现机构的设计并可以仿真机构的运动，所设计出的机构示意图同时将机构的不同层次表现出来。对于一些比较复杂的图形，这种自动判断功能以及仿真功能提高了机构设计的效率和可靠性，缩短了制作周期。本文详细介绍了软件实现的各个模块以及相关算法。借助于仿真软件，设计BUPT字母组合图形放缩机构，并且不断优化机构设计。在机构的结构设计中滑动副层采用滑块滑槽单元的组合。搭建驱动系统和控制系统，最终实现了BUPT字母组合图形在一定范围内的放缩，验证了放缩机构设计的合理性，同时为以后放缩机构的设计提供了一些经验。对与平面图形放缩机构有相似性的一类机构变胞机构进行了研究，提出了任意构态变胞机构的结构综合方法。本文链接：http:/