正弦函数的图像与性质.docx

正弦函数图象与性质
一、教学目标
1、知识与技能
（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；
（2）理解正弦诱导公式的推导过程；
（3）掌握正弦诱导公式的运用；
（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；
（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；
（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。
2、过程与方法
通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
四、教学用具
投影机、三角板
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
α的终边
P
M O x
y
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数y＝sinx的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？
作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。
【探究新知】
正弦函数线MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，
角α的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题
①线段MP的长度可以用什么来表示?
②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能，你能否设计
一种方法加以解决?引出有向线段的概念．
有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP看作是带方向的线段，y＞0时，把MP看作与y轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角α终边在一、二象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴同向)．
y＜0时，把MP看作与y轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴反向)．
师生归纳：①MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP是从M→P，而PM则是从P→M。②不论哪种情况，都有MP＝y．③依正弦定义，有sinα＝MP＝y，我们把MP叫做α的正弦线．
(投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当α终边在x轴上时，正弦线变为一个点，即 sinα＝0。
2．作图的步骤
边作边讲（几何画法）y=sinx xÎ[0,2p]
作单位圆，把⊙O十二等分（当然分得越细，图像越精确）
十二等分后得对应于0,, ,…2p等角，并作出相应的正弦线，
将x轴上从0到2p一段分成12等份(2p≈6.28)，若变动比例，今后图像将相应“变形”
取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
描图（连接）得y=sinx xÎ[0,2p]
（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx xÎ[2kp，2(k+1)p] （kÎZ，k¹0）
与函数y=sinx xÎ[0,2p]图像相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2p单位长。[来源:Z&xx&k.Com]
可以得到y＝sinx在R上的图像
[来源:学+科+网]
五点作图法：
由上图我们不难发现，在函数y=sinx，xÎ[0,2p]的图像上，起着关键作用的有以下五个关键点： (0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)。描出这五个点后，函数y=sinx，xÎ[0,2p]的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。[来源:学§科§网Z§X
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。
（1）y＝－sinx （2）y＝1＋sinx

描点得y＝－sinx 的图像：（略，见教材P22）

2．学生练习教材P22
x
6p
y
o
-p
-1
2p
3p
4p
5p
-2p
-3p
-4p
1
p
同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？

【探究新知】
让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：
（1） 正弦函数的定义域是什么？
（2） 正弦函数的值域是什么？
（3） 它的最值情况如何？
（4） 它的正负值区间如何分？
（5） ƒ(x)＝0的解集是多少？
师生一起归纳得出：
1． 定义域：y=sinx的定义域为R
2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y＝sinx的值域为[-1，1]
3．最值：1°对于y＝sinx 当且仅当x＝2kp＋ ,kÎZ时 ymax＝1
当且仅当时x＝2kp－, kÎZ时 ymin＝－1
2°当2kp＜x＜(2k+1)p (kÎZ)时 y＝sinx＞0
当(2k-1)p＜x＜2kp (kÎZ)时 y＝sinx＜0
4．周期性：（观察图象） 1°正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2°规律是：每隔2p重复出现一次（或者说每隔2kp,kÎZ重复出现）
3°这个规律由诱导公式sin(2kp＋x)＝sinx也可以说明
结论：y＝sinx的最小正周期为2p
5.奇偶性
sin(－x)＝－sinx (x∈R) y＝sinx (x∈R)是奇函数
6．单调性
x
－
…
0
…

…
π
…

sinx
－1

0

1

0

－1
增区间为[－＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。

【巩固深化，发展思维】
1.例题讲评
例1．利用五点法画出函数y＝sinx－1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。
解：（略，见教材P26）
2．课堂练习
教材P27的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：习题1—4第3、4、5、6、7题．
四、课后反思